← PC用は別頁
窶ｻ鬮俶�｡縺九ｉ螟ｧ蟄ｦ蛻晏ｹｴ蠎ｦ繝ｬ繝吶Ν縺ｮ縲悟ｾｮ蛻�婿遞句ｼ上€�縺ｫ縺､縺�※�後％縺ｮ繧ｵ繧､繝医↓縺ｯ谺｡縺ｮ謨呎攝縺後≠繧翫∪縺呻ｼ�
縺薙�鬆√∈Google繧ШAHOO ! 縺ｪ縺ｩ縺ｮ讀懃ｴ｢縺九ｉ逶ｴ謗･譚･縺ｦ縺励∪縺｣縺溘�縺ｧ縲悟燕謠舌→縺ｪ縺｣縺ｦ縺�ｋ蜀�ｮｹ縺悟�縺九ｉ縺ｪ縺�€阪→縺�≧蝣ｴ蜷医ｄ縲後％縺ｮ鬆√�蛻�°縺｣縺溘′繧ゅ▲縺ｨ蠢懃畑蝠城｡後ｒ隕九◆縺�€阪→縺�≧蝣ｴ蜷医��御ｻ悶�鬆√ｒ隕九※縺上□縺輔＞��縲€ 縺檎樟蝨ｨ蝨ｰ縺ｧ縺呻ｼ�

== 微分方程式:変数変換による解き方 ==
○　１階の常微分方程式について，何らかの変数変換を行うことによって解きやすい形に変えることは，この頁以前にも登場しています．
◆◆◆ 復習 ◆◆◆
(I)同次形の微分方程式
..dydxnn=f(.yxn)の形に書けるものは，z=.yxnとおけば
zがxに関して変数分離形になります．
［ポイント］
.z=.yxn ⇔ y=zxとおけば
..dydxnn=.dzdxnnx+z　だから
..dzdxnnx+z=f(z)　となって
..dzdxnnx=f(z)−z　右辺がzだけの式になり
..dzf(z)−znnnnn=.dxxnn　変数分離形になります
【例】
x2y'−xy+2y2=0
.y'=.xy−2y2x2nnnnn=.yxn−2(.yxn)2　
において，z=.yxnとおけば
一般解は
.y=.xlog(x2)+Cnnnnnnnn
になります．
.z'x+z=z−2z2
.z'x=−2z2
..dzdxnn=−.2z2xnn
..dzz2nn=−.2xndx
となって変数分離形になります．


(II)ベルヌーイ形の微分方程式
.y'+P(x)y=Q(x)yn. (n≠0, 1)
の形に書けるものは，
.y−n y'+P(x)y1−n=Q(x)
と変形してz=y1−nとおけば，
zがxに関して線形微分方程式になります．
［ポイント］
.z=y1−nとおけば
.z'=(1−n)y−n y'　となって
..11−nnnnz'+P(x)z=Q(x)　
は線形微分方程式になります．
【例】
xy'+y=xy2
.y'+.yxn=y2
一般解は
..1xynn=−log|x|+C
になります．
.y−2 y'+.1xny−1=1
においてz=y−1とおけば
.z'=−y−2 y'
だから
.−z'+.1xnz=1
.z'−.1xnz=−1
は線形微分方程式になります．（この結果は同次形と見なしても解けます．）


(III)リッカチ形の微分方程式
.y'+P(x)y2+Q(x)y+R(x)=0
の形に書けるものは，その１つの特別解y1がわかれば，y=y1+zとおくことにより，zがxに関してベルヌーイ形の微分方程式になります．
［ポイント］
.y1'+P(x)y12+Q(x)y1+R(x)=0
だから，y1がR(x)を”持って行ってしまう”ので，残りのzについては
.z'+S(x)z2+T(x)z=0
となってベルヌーイ形になります．
【例】
xy'−y+y2=x2
.y1=xが１つの特別解になるから，y=x+uとおくと，uは次のベルヌーイ形の微分方程式を満たします．
.u'+(2−.1xn)u=−.u2xn
.u−2 u'+(2−.1xn)u−1=−.1xn
においてw=u−1とおけば
.w'+(.1xn−2)w=.1xn
は線形微分方程式になります．
一般解は，順に



になります．

◆◆◆この頁で扱う内容◆◆◆
…上記以外で，変数変換によって既知の解き方に持ち込めるもの
(IV).y'=f(ax+by+c)
の形に書けるものは，z=ax+by+cとおくことにより，zがxに関して変数分離形の微分方程式になります．
［ポイント］
.z'=a+by' ⇔ y'=.z'−abnnnだから，
←yが全部取れたらＯＫ
..z'−abnnn=f(z)
.z'=bf(z)+a
は変数分離形になります．
【例IV.１】
.y'=.2x+y−13nnnnnnの一般解を求めてください．
（解答）
z=2x+y−1とおくと
z'=2+y' ⇔ y'=z'−2になるから
.z'−2=.z3n
一般解は
y=Ce.x3n−2x−5
.z'=.z+63nnn
は変数分離形になります．
【例IV.２】
.y'=.4x−2y+32x−y+1nnnnnnnの一般解を求めてください．
（解答）
※この問題のように，右辺の分子と分母のx,yの係数について，a'x+b'y+c' / ax+by+cとしたときに
a'=ka, b'=kbを満たすとき
すなわち分母＝0が表す直線と分子＝0が表す直線が平行になっているとき（定数項cは同じ比でない）
a'x+b'y+c'=k(ax+by+c)+...の形に書くことができます．
（解答）
4x−2y+3=2(2x−y+1)+1だから
z=2x−y+1とおくと
.（右辺）=.2z+1znnnn
また，z'=2−y'だから
.（左辺）=2−z'
したがって方程式は
一般解は
(2x−y+1)2+2x=C
になります．
.2−z'=.2z+1znnnn
.z'=−.1zn
となって，変数分離形になります．
(V).y'=f(.a'x+b'y+c'ax+by+cnnnnnnnnn).だたしa:a'≠b:b'
の形に書けるものは，
a'x+b'y+c'=0
ax+by+c=0
の連立方程式の解をx=p, y=qとするとき（a:a'≠b:b'だから２直線は交わる）
x=X+p, y=Y+q すなわち X=x−p, Y=y−q
とする変換により，定数項が消えて
Y'=f(.a'X+b'YaX+bYnnnnnn)の形になるので
z=.YXnとおけば，変数分離形になります．
［ポイント］
a'p+b'q+c'=0
ap+bq+c=0
が成り立つ場合は
a'(X+p)+b'(Y+q)+c'=a'X+b'Y+(a'p+b'q+c')
a(X+p)+b(Y+q)+c=aX+bY+(ap+bq+c)
において，定数項が消えます．
【例V.１】
.y'=−.4x+3y−103x−4y+5nnnnnnnnの一般解を求めてください．
（解答）
4x+3y−10=0
3x−4y+5=0
の解はx=1, y=2だから，
.y'=−.4(x−1)+3(y−2)3(x−1)−4(y−2)nnnnnnnnnnnnnと変形でき，
X=x−1, Y=y−2とおくと
..dYdXnn=−.4X+3Y3X−4Ynnnnn
の右辺の分母分子をXで割り，z=.YXnとおくと
.z'X+z=−.4+3z3−4znnnn
.z'X=−.2(z−2)(2z+1)4z−3nnnnnnnnnnn
..4z−3(z−2)(2z+1)nnnnnnnnnndz=−.2XndX
は変数分離形になります．
一般解は
(x+2y−5)(2x−y)=C
になります．


【問題１】
..dydxnn=.x−2y+12nnnnnnの一般解を求めてください．
1y=.x+Ce−x2nnnnnn 2y=.x+Cex2nnnnnn
3(x+2y)e−x=C 4(x+2y)ex=C

【問題２】
..dydxnn=.1(x−y)2nnnnnの一般解を求めてください．
1.x−y−1x−y+1nnnnn=Ce2x 2.x−y+1x−y−1nnnnn=Ce2x
3.x−y−1x−y+1nnnnn=Ce2y 4.x−y+1x−y−1nnnnn=Ce2y

【問題３】
..dydxnn=−.4x+2y+52x+y+3nnnnnnnの一般解を求めてください．
1(2x+y+3)2+2x=C 2(2x+y+3)2−2x=C
3(2x+y+3)2+2y=C 4(2x+y+3)2−2y=C

【問題４】
..dydxnn=.6x−5y+215x+4y−7nnnnnnnnの一般解を求めてください．
1(2y+x+7)(y+3x)=C 2(2y+x+7)(y−3x)=C
3(2y−x+7)(y+3x)=C 4(2y−x−7)(y+3x)=C


(VI)..dydxnn=.yxnf(xy)
の形に書けるものは，z=xyとおくと変数分離形になります．
［ポイント］
z=xyのときz'=y+xy' ⇔ y'=.z'−yxnnn
..z'−yxnnn=.yxnf(z)
.z'−y=yf(z)
.z'−.zxn=.zxnf(z)
.z'=.zxn(f(z)+1)
..dzz(f(z)+1)nnnnnnn=.dxxnn
となって変数分離形になります．
【例VI.１】
..dydxnn=.yxn(x2y2−1)の一般解を求めてください．
（解答）
z=xyとおくとz'=y+xy' ⇔ y'=.z'−yxnnn
..z'−yxnnn=.yxn(z2−1)
.z'−y=y(z2−1)
.z'=y(z2−1+1)=yz2=.z3xn
..dzz3nn=.dxxnn
は変数分離形になるので，これを解いて，最後にx,yに戻します．
.y2=.1x2(C−log(x2))nnnnnnnnnn
になります．

【問題５】
.(xy2+y)dx+(x−x2y)dy=0の一般解を求めてください．
1.yxn=Ce−xy 2.yxn=Ce−.1xynn
3.xyn=Ce−xy 4.xyn=Ce−.1xynn

【問題６】
.ydx−(x2y+x)dy=0の一般解を求めてください．
1x2+.2yxnn=C 2x2+.2xynn=C
3y2+.2yxnn=C 4y2+.2xynn=C


...（携帯版）メニューに戻る

...（PC版）メニューに戻る

■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分方程式:変数変換による解き方 について／17.4.4］
例Ⅳ2の解答にz&aposと表示されていますが、z'の誤りではないかと思われます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ブラウザ用の文字符号でセミコロンが１つ抜けていましたので訂正しました（&apos → '）

隨�ｿｽ邵ｺ阮呻ｿｽ郢ｧ�ｵ郢ｧ�､郢昜ｺ･�ｽ邵ｺ�ｮGoogle隶€諛�ｽｴ�｢隨�ｿｽ

隨�ｽｳ邵ｺ阮呻ｿｽ郢晏｣ｹ�ｽ郢ｧ�ｸ邵ｺ�ｮ陷育｣ｯ�ｽ�ｭ邵ｺ�ｫ隰鯉ｽｻ郢ｧ驫€辟｡
邵ｲ�ｽ 郢ｧ�｢郢晢ｽｳ郢ｧ�ｱ郢晢ｽｼ郢晉｣ｯﾂ€竏ｽ�ｿ�｡ 邵ｲ�ｽ
… 邵ｺ阮呻ｿｽ郢ｧ�｢郢晢ｽｳ郢ｧ�ｱ郢晢ｽｼ郢晏現�ｽ隰ｨ蜻取駁隰ｾ�ｹ陜滂ｿｽ�ｽ陷ｿ繧環€�ｽ竊鍋ｸｺ霈披雷邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ笳�ｸｺ�ｽ邵ｺ髦ｪ竏ｪ邵ｺ�ｽ

隨�ｿｽ邵ｺ阮呻ｿｽ鬯��竊鍋ｸｺ�､邵ｺ�ｽ窶ｻ�ｽ迹壽�邵ｺ�ｽ蝨抵ｿｽ譴ｧ縺檎ｸｺ�ｽ蝨抵ｿｽ遒∽ｿ｣鬩戊ｼ費ｼ樒ｸｺ�ｮ隰厄ｿｽ驕ｭ�ｽ蠕娯落邵ｺ�ｮ闔画じ�ｽ隲｢貊鳶ｦ邵ｺ蠕娯旺郢ｧ蠕鯉ｿｽ鬨ｾ竏ｽ�ｿ�｡邵ｺ蜉ｱ窶ｻ邵ｺ荳岩味邵ｺ霈費ｼ橸ｿｽ�ｽ
隨ｳ蛹ｺ譫夐��ｽ邵ｺ�ｮ陟厄ｽ｢郢ｧ蛛ｵ��邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ�玖ｫ｢貊鳶ｦ邵ｺ�ｯ陷茨ｽｨ鬩幢ｽｨ髫ｱ�ｭ邵ｺ�ｾ邵ｺ蟶吮€ｻ郢ｧ繧�ｽ臥ｸｺ�｣邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ竏ｪ邵ｺ蜻ｻ�ｼ�ｽ
隨ｳ蛹ｺ笏€隲��ｳ邵ｺ�ｮ陷€�ｽ縲抵ｿｽ蠕娯�邵ｺ�ｮ陜�蝓趣ｽ｡蠕娯€ｲ邵ｺ�ｩ邵ｺ�ｽ縲堤ｸｺ繧�夢邵ｺ貅伉ｰ郢ｧ蜻茨ｽｭ�｣驕抵ｽｺ邵ｺ�ｪ隴�ｿｽ�ｫ�ｽ邵ｺ�ｧ闔ｨ譏ｴ竏ｴ邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ笳�ｸｺ�ｽ邵ｺ�ｽ笳�ｬｾ�ｹ陜滂ｿｽ�ｦ竏ｵ謔咲ｸｺ�ｫ陝�ｽｾ邵ｺ蜉ｱ窶ｻ邵ｺ�ｯ�ｽ謔溷ｺ�妙�ｽ邵ｺ�ｪ鬮ｯ闊鯉ｽ願汞�ｾ陟｢諛岩�郢ｧ荵晢ｽ育ｸｺ�ｽ竊鍋ｸｺ蜉ｱ窶ｻ邵ｺ�ｽ竏ｪ邵ｺ蜻ｻ�ｼ雜｣�ｼ驕ｺﾂ€�ｻ邵ｺ�ｪ邵ｺ螂�ｽｼ譴ｧ蛻､隰ｦ�ｽ蝎ｪ邵ｺ�ｪ隴�ｿｽ�ｫ�ｽ邵ｺ�ｫ邵ｺ�ｪ邵ｺ�｣邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ�玖撻�ｴ陷ｷ蛹ｻ�ｽ�ｽ蠕娯落郢ｧ蠕鯉ｽ定怦�ｬ鬮｢荵昶�郢ｧ荵昶�驕ｲ�ｽﾂ€�ｽ笆｡邵ｺ莉｣縲堤ｸｺ�ｪ邵ｺ蜑ｰ�ｪ�ｭ髢��ｽ�る坡�ｭ郢ｧﾂ€邵ｺ阮吮�邵ｺ�ｫ邵ｺ�ｪ郢ｧ鄙ｫ竏ｪ邵ｺ蜷ｶ�ｽ邵ｺ�ｧ�ｽ譴ｧ豐ｻ騾包ｽｨ邵ｺ蜉ｱ竏ｪ邵ｺ蟶呻ｽ難ｿｽ雜｣�ｼ�ｽ


髮会ｽｪ陜�荳岩�陝�ｽｾ邵ｺ蜷ｶ�玖摎讓抵ｽｭ譁撰ｿｽ闕ｳ�ｭ陝�ｽｦ霑壼現�ｽ邵ｺ阮呻ｿｽ鬯�ｿｽ�ｽ遒�ｽｫ菫ｶ�ｽ�｡霑壼現�ｽ邵ｺ阮呻ｿｽ鬯�ｿｽ邵ｺ�ｫ邵ｺ繧�ｽ顔ｸｺ�ｾ邵ｺ�ｽ