微分方程式.変数変換

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== 微分方程式:変数変換による解き方 == ○　１階の常微分方程式について，何らかの変数変換を行うことによって解きやすい形に変えることは，この頁以前にも登場しています．
◆◆◆ 復習 ◆◆◆

(I)同次形の微分方程式

dydxnn=f(.

yxn)の形に書けるものは，z=.

yxnとおけば

zがxに関して変数分離形になります．

［→この頁参照］

［ポイント］

.z=.

yxn ⇔ y=zxとおけば

dydxnn=.

dzdxnnx+z　だから

dzdxnnx+z=f(z)　となって

dzdxnnx=f(z)−z　右辺がzだけの式になり

dzf(z)−znnnnn=.

dxxnn　変数分離形になります

【例】

x2y'−xy+2y2=0

.y'=.

xy−2y2x2nnnnn=.

yxn−2(.

yxn)2　

において，z=.

yxnとおけば

一般解は

.y=.

xlog(x2)+Cnnnnnnnn

になります．

.z'x+z=z−2z2
.z'x=−2z2

dzdxnn=−.

2z2xnn

dzz2nn=−.

2xndx

となって変数分離形になります．

(II)ベルヌーイ形の微分方程式

.y'+P(x)y=Q(x)yn. (n≠0, 1)

の形に書けるものは，

.y−n y'+P(x)y1−n=Q(x)

と変形してz=y1−nとおけば，
zがxに関して線形微分方程式になります．

［→この頁参照］

［ポイント］
.z=y1−nとおけば
.z'=(1−n)y−n y'　となって

11−nnnnz'+P(x)z=Q(x)　

は線形微分方程式になります．

【例】

xy'+y=xy2

.y'+.

yxn=y2

一般解は

1xynn=−log|x|+C

になります．

.y−2 y'+.

1xny−1=1

においてz=y−1とおけば
.z'=−y−2 y'
だから

.−z'+.

1xnz=1

.z'−.

1xnz=−1

は線形微分方程式になります．（この結果は同次形と見なしても解けます．）

(III)リッカチ形の微分方程式
.y'+P(x)y2+Q(x)y+R(x)=0
の形に書けるものは，その１つの特別解y1がわかれば，y=y1+zとおくことにより，zがxに関してベルヌーイ形の微分方程式になります．

［→この頁参照］

［ポイント］
.y1'+P(x)y12+Q(x)y1+R(x)=0
だから，y1がR(x)を”持って行ってしまう”ので，残りのzについては
.z'+S(x)z2+T(x)z=0
となってベルヌーイ形になります．

【例】

xy'−y+y2=x2

.y1=xが１つの特別解になるから，y=x+uとおくと，uは次のベルヌーイ形の微分方程式を満たします．

.u'+(2−.

1xn)u=−.

u2xn

.u−2 u'+(2−.

1xn)u−1=−.

1xn

においてw=u−1とおけば
.w'+(.

1xn−2)w=.

1xn

は線形微分方程式になります．

一般解は，順に
$w=\frac{Ce^{2x}-1}{2x}$
$u=\frac{2x}{Ce^{2x}-1}$
$y=x\frac{Ce^{2x}+ 1}{Ce^{2x}-1}$
になります．

◆◆◆この頁で扱う内容◆◆◆
…上記以外で，変数変換によって既知の解き方に持ち込めるもの

(IV).y'=f(ax+by+c)
の形に書けるものは，z=ax+by+cとおくことにより，zがxに関して変数分離形の微分方程式になります．

［ポイント］

.z'=a+by' ⇔ y'=.

z'−abnnnだから，

←yが全部取れたらＯＫ

z'−abnnn=f(z)

.z'=bf(z)+a
は変数分離形になります．

【例IV.１】

.y'=.

2x+y−13nnnnnnの一般解を求めてください．

（解答）
z=2x+y−1とおくと
z'=2+y' ⇔ y'=z'−2になるから

.z'−2=.

z3n

一般解は

y=Ce.

x3n−2x−5

.z'=.

z+63nnn

は変数分離形になります．

【例IV.２】

.y'=.

4x−2y+32x−y+1nnnnnnnの一般解を求めてください．

（解答）

※この問題のように，右辺の分子と分母のx,yの係数について，a'x+b'y+c' / ax+by+cとしたときに
a'=ka, b'=kbを満たすとき
すなわち分母＝0が表す直線と分子＝0が表す直線が平行になっているとき（定数項cは同じ比でない）
a'x+b'y+c'=k(ax+by+c)+...の形に書くことができます．

（解答）
4x−2y+3=2(2x−y+1)+1だから
z=2x−y+1とおくと

.（右辺）=.

2z+1znnnn

また，z'=2−y'だから
.（左辺）=2−z'
したがって方程式は

一般解は
(2x−y+1)2+2x=C
になります．

.2−z'=.

2z+1znnnn

.z'=−.

1zn

となって，変数分離形になります．

(V).y'=f(.

a'x+b'y+c'ax+by+cnnnnnnnnn).だたしa:a'≠b:b'

の形に書けるものは，

a'x+b'y+c'=0
ax+by+c=0
の連立方程式の解をx=p, y=qとするとき（a:a'≠b:b'だから２直線は交わる）

x=X+p, y=Y+q すなわち X=x−p, Y=y−q

とする変換により，定数項が消えて

Y'=f(.

a'X+b'YaX+bYnnnnnn)の形になるので

z=.

YXnとおけば，変数分離形になります．

［ポイント］

a'p+b'q+c'=0
ap+bq+c=0
が成り立つ場合は

a'(X+p)+b'(Y+q)+c'=a'X+b'Y+(a'p+b'q+c')
a(X+p)+b(Y+q)+c=aX+bY+(ap+bq+c)

において，定数項が消えます．

【例V.１】

.y'=−.

4x+3y−103x−4y+5nnnnnnnnの一般解を求めてください．

（解答）

4x+3y−10=0
3x−4y+5=0
の解はx=1, y=2だから，

.y'=−.

4(x−1)+3(y−2)3(x−1)−4(y−2)nnnnnnnnnnnnnと変形でき，

X=x−1, Y=y−2とおくと

dYdXnn=−.

4X+3Y3X−4Ynnnnn

の右辺の分母分子をXで割り，z=.

YXnとおくと

.z'X+z=−.

4+3z3−4znnnn

.z'X=−.

2(z−2)(2z+1)4z−3nnnnnnnnnnn

4z−3(z−2)(2z+1)nnnnnnnnnndz=−.

2XndX

は変数分離形になります．

一般解は
(x+2y−5)(2x−y)=C
になります．

【問題１】

dydxnn=.

x−2y+12nnnnnnの一般解を求めてください．

1y=.

x+Ce−x2nnnnnn 2y=.

x+Cex2nnnnnn

3(x+2y)e−x=C 4(x+2y)ex=C

解説

z=x−2y+1とおくと

.z'=1−2y' ⇔ y'=.

1−z'2nnn

1−z'2nnn=.

z2n

dzdxnn=1−z

dzz−1nnn=−dx

.∫wn.

dzz−1nnn=−∫wndx

.log|z−1|=−x+C1
.|z−1|=e−x+C1=eC1e−x
.z−1=±eC1e−x=C2e−x
.x−2y+1−1=C2e−x
.x−2y=C2e−x

.y=.

x−C2e−x2nnnnnn=.

x+Ce−x2nnnnnn

.→1

【問題２】

dydxnn=.

1(x−y)2nnnnnの一般解を求めてください．

x−y−1x−y+1nnnnn=Ce2x 2.

x−y+1x−y−1nnnnn=Ce2x

x−y−1x−y+1nnnnn=Ce2y 4.

x−y+1x−y−1nnnnn=Ce2y

解説

z=x−yとおくと
.z'=1−y' ⇔ y'=1−z'

.1−z'=.

1z2n

dzdxnn=1−.

1z2n

z2z2−1nnndz=dx

は変数分離形

.∫wn.

z2z2−1nnndz=∫wndx

これを計算して，最後にx,yに戻す

x−y−1x−y+1nnnnn=Ce2y→3

【問題３】

dydxnn=−.

4x+2y+52x+y+3nnnnnnnの一般解を求めてください．

1(2x+y+3)2+2x=C 2(2x+y+3)2−2x=C

3(2x+y+3)2+2y=C 4(2x+y+3)2−2y=C

解説

z=2x+y+3とおくと

.z'=2+y' ⇔ y'=z'−2

.z'−2=−.

2z−1znnnn

.z'=.

1zn

は変数分離形になる．
これを解くと
.z2=2x+C
.(2x+y+3)z2−2x=C

.→2

【問題４】

dydxnn=.

6x−5y+215x+4y−7nnnnnnnnの一般解を求めてください．

1(2y+x+7)(y+3x)=C 2(2y+x+7)(y−3x)=C

3(2y−x+7)(y+3x)=C 4(2y−x−7)(y+3x)=C

解説

連立方程式6x−5y+21=0 , 5x+4y−7=0の解はx=−1 , y=3

dydxnn=.

6(x+1)−5(y−3)5(x+1)+4(y−3)nnnnnnnnnnnnn

X=x+1 , Y=y−3とおくと，dX=dx , dY=dy

dYdXnn=.

6X−5Y5X+4Ynnnnn

右辺の分母分子をXで割って，z=.

YXnとおくと

.z'X+z=.

6−5z5+4znnnn

.z'X=−.

2(2z−1)(z+3)4z+5nnnnnnnnnnn

4z+5(2z−1)(z+3)nnnnnnnnnndz=−.

2XndX

は変数分離形になる．
これを解くと
.(2y−x−7)(y+3x)=C→4

(VI)..

dydxnn=.

yxnf(xy)

の形に書けるものは，z=xyとおくと変数分離形になります．

［ポイント］

z=xyのときz'=y+xy' ⇔ y'=.

z'−yxnnn

z'−yxnnn=.

yxnf(z)

.z'−y=yf(z)

.z'−.

zxn=.

zxnf(z)

.z'=.

zxn(f(z)+1)

dzz(f(z)+1)nnnnnnn=.

dxxnn

となって変数分離形になります．

【例VI.１】

dydxnn=.

yxn(x2y2−1)の一般解を求めてください．

（解答）

z=xyとおくとz'=y+xy' ⇔ y'=.

z'−yxnnn

z'−yxnnn=.

yxn(z2−1)

.z'−y=y(z2−1)
.z'=y(z2−1+1)=yz2=.

z3xn

dzz3nn=.

dxxnn

は変数分離形になるので，これを解いて，最後にx,yに戻します．

.y2=.

1x2(C−log(x2))nnnnnnnnnn

になります．

【問題５】

.(xy2+y)dx+(x−x2y)dy=0の一般解を求めてください．

yxn=Ce−xy 2.

yxn=Ce−.

1xynn

xyn=Ce−xy 4.

xyn=Ce−.

1xynn

解説

dydxnn=.

yxn(.

xy+1xy−1nnnn)

と変形できるので，z=xyとおくと変数分離形になります．
…（途中経過略）…

z−1z2nnndz=.

2xndx

になり，これを解くと

zx2n=Ce−.

1xynn

変数をx,yに戻すと

yxn=Ce−.

1xynn→2

【問題６】

.ydx−(x2y+x)dy=0の一般解を求めてください．

1x2+.

2yxnn=C 2x2+.

2xynn=C

3y2+.

2yxnn=C 4y2+.

2xynn=C

解説

dydxnn=.

yxn(.

1xy+1nnnn)

と変形できるので，z=xyとおくと変数分離形になります．
…（途中経過略）…

z+1z(z+2)nnnnnndz=.

dxxnn

になり，これを解くと

z(z+2)x2nnnnnn=C

変数をx,yに戻すと

.y(xy+2)=Cx→3

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分方程式:変数変換による解き方について／17.4.4］

例Ⅳ2の解答にz&aposと表示されていますが、z'の誤りではないかと思われます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ブラウザ用の文字符号でセミコロンが１つ抜けていましたので訂正しました（&apos → '）

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