 ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る*** 大区分 *** 数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 中区分 *** ベクトル・行列連立方程式複素数関数・数列微分積分微分方程式統計maxima ※高校から大学初年度レベルの「微分方程式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください． が現在地です． |
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この頁では高校物理の力学や電磁気学でしばしば登場する定数係数の２階線形常微分方程式の解き方を扱います．
■定数係数の２階線形微分方程式（同次）通常，高校の数学（数学Ⅲ）では２階微分方程式の解き方は扱われませんが，重要な物理学の法則は２階微分方程式で表され，２階微分方程式の解き方を学ぶとそれらを深く理解することができます． ２階以上の微分方程式は変数分離形１階微分方程式の場合のような，移項や割り算などの変形による形式的な処理で解くことはできませんが，以下に述べるように指数関数の特徴を手掛かりとして解くことができます．
【準備１】
（解説）
1. １回の積分で任意定数が１つ登場しますので，２回積分すると任意定数は２つ登場します．
【例】
このように２階導関数を含む微分方程式から関数yを求めると２つの任意定数を含む式になります．y”=0 ⇔ y’=C1 ⇔ y=C1x+C2 2. ２つの関数y1, y2が一方が他方の定数倍になっているときは それらは１次従属と呼ばれ，そうでないとき１次独立と呼ばれます．
【例】
斉次方程式２つの関数y=2xとy=3xとは１次従属です：3x=  32(2x)しかし，２つの関数y=e2xとy=e3xとは１次独立です： y=e2x=(ex)2=exex y=e3x=(ex)3=exexex 一方が他方の定数倍では表されません． y”+ay’+by=0 （a, bは定数） の異なる２つの１次独立な解をy1, y2とするとき y1”+ay1’+by1=0 y2”+ay2’+by2=0 だから (C1y1+C2y2)”+a(C1y1+C2y2)’+b(C1y1+C2y2) =C1(y1”+ay1’+by1)+C2(y2”+ay2’+by2) =0 が成り立ちます． |
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○ 微分方程式中の最高階の導関数の階数を微分方程式の階数といいます．
第１階導関数までが含まれる微分方程式y’+f(x)y=g(x)
○ 独立変数が１個のときは常微分方程式，２個以上のときは偏微分方程式と呼ばれます．この頁では独立変数がxあるいはtのように１つの場合を扱うので，以下に述べるのは常微分方程式です．あるいは dydx=f(x, y)は１階微分方程式と呼ばれます． 第１階導関数y’をさらにもう一回微分した第２階導関数は，記号y” あるいは d2ydx2で表されます．ddx(dydx)はd2ydx2と書きます．dy2dx2やd2yd2xではないことに注意してください． あるいは d2ydx2=f(x, y, y’)は２階微分方程式と呼ばれます． ○ y, y’, y”, ...などの積や商を含まない y”+f(x)y’+g(x)y=h(x) のような形の微分方程式は線形微分方程式と呼ばれます． ○ y”+f(x)y’+g(x)y=h(x)の形の微分方程式のうちでh(x)=0の場合を斉次（同次）方程式といいます．
この頁では
y”+ay’+by=0 （a, bは定数） の形の微分方程式を扱います．この形の微分方程式は，上記の約束に沿って言うと，定数係数の２階線形斉次常微分方程式ということになります． |
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【準備２】
(2)を微分方程式(1)の特性方程式といいます．
定数係数の２階線形斉次常微分方程式を解く上では，指数関数の次の特徴が鍵になります． y=erx（rは定数）のとき y’=rerx y”=r2erx したがってy=erx（rは定数）のとき y”+ay’+by=0 …(1) r2erx+arerx+berx=erx(r2+ar+b)=0 は，erx>0, ≠0に注意すると，次の２次方程式と必要十分になります． r2+ar+b=0 …(2) |
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【例１】 微分方程式 y”−4y’+3y=0 …(1) に対して，y=erx（rは定数）の形の解を求める場合，rは次の２次方程式の解となります． r2−4r+3=0 …(2) 特性方程式(2)を解くと (r−1)(r−3)=0 r=1, 3 したがって y=ex, e3x が(1)の２つの解となります． したがって y=C1ex+C2e3x …(3) が一般解になります． |
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【要点】
（解説）微分方程式 y”+ay’+by=0 （a, bは定数）…(1) の一般解は，２次方程式 r2+ar+b=0 …(2) の解によって表すことができ，
1. ←上記の準備２の通り 2. 高校では指数が複素数になる形や複素数の微分積分は習わないが，途中経過が複素数になるだけで結果は実数に戻すことができるので，難しく感じるときは結果だけを利用すればよい．
(2)式が異なる２つの虚数解h±kiをもつとき，(1)の解は
y1=e(h+ki)x, y2=e(h−ki)x となります． これらは y1=ehxekxi, y2=ehxe−kxi と書けます． オイラーの公式 eix=cosx+i sinx （iは虚数単位） を用いると ekxi=cos kx+i sinkx e−kxi=cos(kx)+i sin(−kx)=coskx−i sin kx だから y1=ehxekxi=ehx(coskx+i sinkx) y2=ehxe−kxi=ehx(coskx−i sin kx) 実数のみで表すためには，次のy3, y4を２つの解とすればよい． y3=  y1+y22=ehxcoskxy4= y1−y22i=ehxsinkxこれらを使って一般解は y=C1ehxcoskx+C2ehxsinkx と表せることになります． |
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3. ２次方程式が（実数の）重解を持つときは，そのままでは一般解を表すための２つの異なる解が得られませんが，（なぜ思いつくのかは別として）解y1=epxにxを掛けた関数y2=xepxを考えると，y2も微分方程式の解になることを確かめることができます．
x=pが２次方程式x2+ax+b=0の重解であるとき，解と係数の関係から
2p=−a, p2=b これにより，微分方程式をpで表すと y”−2py’+p2y=0…(1) 関数y2=xepxの導関数，第２次導関数を求めると y2’=epx+xpepx=epx(1+px) y2”=pepx(1+px)+epx·p=epx(2p+p2x) このとき y2”−2py2’+p2y2 =epx(2p+p2x)−2pepx(1+px)+p2xepx =epx(2p+p2x−2p−2p2x+p2x)=0 ※ オイラーの公式はべき級数展開を用いて証明することができます．
eix=1+(ix)+
※ y=eixのような複素数で表される関数もiを普通の文字式と同様に扱えば微分・積分することができます（ただし，i2=−1）．(ix)22!+(ix)33!+(ix)44!+(ix)55!+(ix)66!...=1+ix− x22!−ix33!+x44!+ix55!−x66!...=(1− x22!+x44!−x66!...)+i(x−x33!+x55!...)=cosx+i sinx
y’=ieix
y”=i2eix=−eix したがって y=eix ⇔ y”=−y つまり,２階微分方程式y”=−yの１つの解はy=eixであると言えます． （ただ，このままでは関数が複素数で表されているので，これを実数値をとる関数に直すために，前述のy3, y4で表すようにします．） |
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【例１】
（解答）微分方程式y”−5y’−6y=0の一般解を求めてください． 特性方程式r2−5r−6=0を解くと (r+1)(r−6)=0より r=−1, r=6 微分方程式の一般解は y=C1e−x+C2e6x…（答）
【例２】
（解答）微分方程式y”+2y’+5y=0の一般解を求めてください． 特性方程式r2+2r+5=0を（解の公式で）解くと r=−1± √−4=−1±2i微分方程式の一般解は y=e−x(C1cos2x+C2sin2x)…（答） |
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【例３】
（解答）微分方程式y”−6y’+9y=0の一般解を求めてください． 特性方程式r2−6r+9=0を解くと (r−3)2=0より r=3（重解） 微分方程式の一般解は y=e3x(C1+C2x)…（答） |
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【問題】次の微分方程式の一般解を求めてください． （はじめに問題を選び，続けて右欄の中から一般解を選んでください．）
y=C1e−2x+C2e2x
y=C1e−x+C2e2x y=e−x(C1cos2x+C2sin2x) y=e2x(C1cos x+C2sin x) y=C1cos2x+C2sin2x y=e−2x(C1+C2x) y=ex(C1+C2x) |
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／18.9.12］
非常に丁寧に解説されており理解しやすい内容になっています。
今後もさらに高度な内容を判りやすく提供お願いいたします。
69歳の数学好きです。
■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／18.7.26］
＝＞［作者］：連絡ありがとう． dx^2/dt^2=-a＾2xとなっているときに解がｘ＝Ｃcos(at＋δ)と表されることについても書いてほしい
■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／17.10.27］
＝＞［作者］：連絡ありがとう．【要点】2の場合で に対応する2次方程式は 解は 次に数学Ⅱの三角関数の合成公式により 要点より解が異なる実数解をもつときそれを、A,Bとしたときy=C1epx+C2eqx の式に代入するのはA<Bの場合pにはA、qにはBですか？
■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／17.9.27］
＝＞［作者］：連絡ありがとう． は任意定数倍の和なので，どちらが前でも順序に影響されません． 例えば，例１の場合， のどちらでもよい．（ 一般解にはどうして三角関数が登場するのですか。
■［個別の頁からの質問に対する回答］[について／17.9.24］
＝＞［作者］：連絡ありがとう．まさにその説明が書いてあるのに「どうして」と尋ねるということは，オイラーの公式とかド・モアブルの定理が分からないのでその部分を読み飛ばしているということじゃないのか？ 複素数を習っていない場合，その説明は無理ですが，一般解になっているかどうかは，逆算としてその解を２階微分，定数項消去で微分方程式を満たしていることを確かめることができます．- - 微分方程式の話では，答を知っていないと問題が解けないというのは「よくある話」だと考える人も多い． ※ほんとのことを言ったらよい子になれないのを覚悟で言えば：三角関数は指数関数だからです． 定数係数の２階線形微分方程式（同次）
■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／17.8.22］
＝＞［作者］：連絡ありがとう．内容的には高卒程度なのですが，初めに教材を作ったときに，高卒程度という分類がなかったので，とりあえず高校に入れておいたようです．高卒程度は後から足していってできたもの．そんな訳で了解しました． 準備1の1と2から、「y=c1y1+c2y2が解になる」という命題の十分性は理解しましたが、必要性が分かりません。つまり、ある解として方程式を満たすことは分かっても、なぜそれが一般解にもなるのか、他に解は無いのかが分かりません。
■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／17.6.20］
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにそのページには，解の一意性が書いてありませんが，それは次のような考えによります．
Ｗｅｂ教材では，読者はいつ何時でも学習を放棄して逃げる準備ができていると考えられます（戻るボタンを押すだけで放棄完了）．そうすると，このページのような入門的な内容を扱っている場合に，無駄なく厳密に・正確に記述しても理解の助けにはなりません．（どちらかと言えば，伝統的な数学の教科書の無駄なく厳密に・正確に書かれた記述で分からなかったから，Ｗｅｂ上で調べている人がほとんどです．）
あなたの知りたいことは，ほとんどの入門書に書かれていますが，その要点は次の通りです．このような状況では，簡単な例を多用して具体的なイメージをつかんでもらう方が分からない読者に手がかりを与えることになると考えています．論理的に正確な証明に踏み込んだときに学習を放棄する人が多いと予想されるときは，別ページに参考として記述するかまたは何も書かない方がよい． 一般に，ｘのある値に対するｙとｙ’が与えられた２階常微分方程式の解はただ１つ存在します．（解の存在と一意性の定理） そこで，x=pのとき，y=q, y'=rという初期条件を満たす２階の常微分方程式の解 yが存在したとすると，そのページに書かれた２つの特別解 y1，y2を用いて，y=C1y1+C2y2となる定数 C1，C2が定まることを述べます． ここで，y1，y2は一次独立な２つの解です． だから すなわち， このとき，連立方程式 （一般にはロンスキアンを使って示されます） 特性方程式の重解になる場合の一般解の形と、ｘの関数を掛けたものものが解の一つになると言う点がどうしても理解できません。こうなる的に覚えて過ごしてきました。何か補足説明を頂けたら幸いです。
■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／17.6.20］
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そこに書いてあります． 特性方程式の重解になる場合の一般解の形と、ｘの関数を掛けたものものが解の一つになると言う点がどうしても理解できません。こうなる的に覚えて過ごしてきました。何か補足説明を頂けたら幸いです。
■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／17.5.9］
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そこに書いてあります． 1階微分方程式の場合、例えばy'-y=xのようなものは解が1つしかないので重解と考え、y=e^px(C1+C2x)と考えるのですか。
■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／17.4.26］
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は２階微分方程式の頁です．１階微分方程式と２階微分方程式とでは解き方が違いますので，１階微分方程式の頁を見てください．その頁の【例題１】にほぼ同じ（係数が２になっているだけ）問題がありますので見てください．なお，あなたの問題の解はy=−x−1+Cexになります．（１階微分方程式の一般解の任意定数は１つです）． その教材は，分類の都合で高校数学の応用のような箇所に置いてありますが，もしあなたが高校生なら１階線形微分方程式も２階微分方程式も範囲外です． 大学の授業でわからなかった内容がとてもわかりやすく書かれていたので、とても助かりました。
■［個別の頁からの質問に対する回答］[定数係数の２階線形微分方程式（同次）について／17.1.10］
＝＞［作者］：連絡ありがとう． 助かりました(`_`)
＝＞［作者］：連絡ありがとう． |
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