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【準備１】

1. ２階微分方程式の一般解は２つの任意定数を含んだ形になります．
2. ２階微分方程式の２つの１次独立な解をy1, y2とするとき，それらの１次結合
   y=C1y1+C2y2
   
   も解となります．

• ２階斉次微分方程式に対して２つの１次独立な解y1, y2を見つけると，一般解は
  y=C1y1+C2y2
  
  の形で表すことができます．

【例】
y”=0 ⇔ y’=C1 ⇔ y=C1x+C2

【例】
２つの関数y=2xとy=3xとは１次従属です：3x=(2x)
しかし，２つの関数y=e2xとy=e3xとは１次独立です：
y=e2x=(ex)2=exex
y=e3x=(ex)3=exexex
一方が他方の定数倍では表されません．

　この頁では高校物理の力学や電磁気学でしばしば登場する定数係数の２階線形常微分方程式の解き方を扱います．
　通常，高校の数学（数学�V）では２階微分方程式の解き方は扱われませんが，重要な物理学の法則は２階微分方程式で表され，２階微分方程式の解き方を学ぶとそれらを深く理解することができます．
　２階以上の微分方程式は変数分離形１階微分方程式の場合のような，移項や割り算などの変形による形式的な処理で解くことはできませんが，以下に述べるように指数関数の特徴を手掛かりとして解くことができます．

第１階導関数までが含まれる微分方程式y’+f(x)y=g(x)
あるいは=f(x, y)
は１階微分方程式と呼ばれます．
第１階導関数y’をさらにもう一回微分した第２階導関数は，記号y”
あるいはで表されます．
第２階導関数までが含まれる微分方程式y”+f(x)y’+g(x)y=h(x)
あるいは=f(x, y, y’)
は２階微分方程式と呼ばれます．

この頁では
y”+ay’+by=0　（a, bは定数）
の形の微分方程式を扱います．この形の微分方程式は，上記の約束に沿って言うと，定数係数の２階線形斉次常微分方程式ということになります．

【準備２】
定数係数の２階線形斉次常微分方程式を解く上では，指数関数の次の特徴が鍵になります．
y=erx（rは定数）のとき
y’=rerx
y”=r2erx
したがってy=erx（rは定数）のとき
y”+ay’+by=0 …(1)
r2erx+arerx+berx=erx(r2+ar+b)=0
は，erx>0, ≠0に注意すると，次の２次方程式と必要十分になります．
r2+ar+b=0 …(2)
(2)の２次方程式の解を使えば(1)の微分方程式の解が求められます．

【要点】
　微分方程式
y”+ay’+by=0　（a, bは定数）…(1)
の一般解は，２次方程式
r2+ar+b=0 …(2)
の解によって表すことができ，

1. (2)式が異なる２つの実数解p, qをもつとき
   y=C1epx+C2eqx
2. (2)式が異なる２つの虚数解h±kiをもつとき
   y=ehx(C1coskx+C2sinkx)
3. (2)式が重解pをもつとき
   y=epx(C1+C2x)

となる．

(2)式が異なる２つの虚数解h±kiをもつとき，(1)の解は
y1=e(h+ki)x, y2=e(h−ki)x
となります．
これらは
y1=ehxekxi, y2=ehxe−kxi
と書けます．
オイラーの公式
eix=cosx+i sinx （iは虚数単位）
を用いると
ekxi=cos kx+i sinkx
e−kxi=cos(kx)+i sin(−kx)=coskx−i sin kx
だから
y1=ehxekxi=ehx(coskx+i sinkx)
y2=ehxe−kxi=ehx(coskx−i sin kx)
実数のみで表すためには，次のy3, y4を２つの解とすればよい．
y3==ehxcoskx
y4==ehxsinkx
これらを使って一般解は
y=C1ehxcoskx+C2ehxsinkx
と表せることになります．

x=pが２次方程式x2+ax+b=0の重解であるとき，解と係数の関係から
2p=−a, p2=b
これにより，微分方程式をpで表すと
y”−2py’+p2y=0…(1)
関数y2=xepxの導関数，第２次導関数を求めると
y2’=epx+xpepx=epx(1+px)
y2”=pepx(1+px)+epx·p=epx(2p+p2x)
このとき
y2”−2py2’+p2y2

=epx(2p+p2x)−2pepx(1+px)+p2xepx

=epx(2p+p2x−2p−2p2x+p2x)=0

eix=1+(ix)+++++...

=1+ix−−i++i−...

=(1−+−...)+i(x−+...)

=cosx+i sinx

y’=ieix
y”=i2eix=−eix
したがって
y=eix ⇔ y”=−y
つまり,２階微分方程式y”=−yの１つの解はy=eixであると言えます．
（ただ，このままでは関数が複素数で表されているので，これを実数値をとる関数に直すために，前述のy3, y4で表すようにします．）

【例１】
　微分方程式y”−5y’−6y=0の一般解を求めてください．

【例２】
　微分方程式y”+2y’+5y=0の一般解を求めてください．

【例３】
　微分方程式y”−6y’+9y=0の一般解を求めてください．

(1) y”−y’−2y=0 help

(2) y”−4y’+5y=0 help

(3) y”=−4y help

(4) y”+4y’+4y=0 help

(5) y”=4y help

y=C1e−2x+C2e2x

y=C1e−x+C2e2x

y=e−x(C1cos2x+C2sin2x)

y=e2x(C1cos x+C2sin x)

y=C1cos2x+C2sin2x

y=e−2x(C1+C2x)

y=ex(C1+C2x)

非常に丁寧に解説されており理解しやすい内容になっています。 今後もさらに高度な内容を判りやすく提供お願いいたします。 　　　　　　69歳の数学好きです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

dx^2/dt^2=-a＾2xとなっているときに解がｘ＝Ｃcos(at＋δ)と表されることについても書いてほしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．【要点】2の場合で
すなわち
に対応する2次方程式は
解は
次に数学�Uの三角関数の合成公式により
と変形します

要点より解が異なる実数解をもつときそれを、A,Bとしたときy=C1epx+C2eqx の式に代入するのはA<Bの場合pにはA、qにはBですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

は任意定数倍の和なので，どちらが前でも順序に影響されません．
例えば，例１の場合，が解だから
…(1)
…(2)
のどちらでもよい．（の役割が入れ代わるだけです）

一般解にはどうして三角関数が登場するのですか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．まさにその説明が書いてあるのに「どうして」と尋ねるということは，オイラーの公式とかド・モアブルの定理が分からないのでその部分を読み飛ばしているということじゃないのか？
複素数を習っていない場合，その説明は無理ですが，一般解になっているかどうかは，逆算としてその解を２階微分，定数項消去で微分方程式を満たしていることを確かめることができます．- - 微分方程式の話では，答を知っていないと問題が解けないというのは「よくある話」だと考える人も多い．
※ほんとのことを言ったらよい子になれないのを覚悟で言えば：三角関数は指数関数だからです．

定数係数の２階線形微分方程式（同次）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．内容的には高卒程度なのですが，初めに教材を作ったときに，高卒程度という分類がなかったので，とりあえず高校に入れておいたようです．高卒程度は後から足していってできたもの．そんな訳で了解しました．

準備1の1と2から、「y=c1y1+c2y2が解になる」という命題の十分性は理解しましたが、必要性が分かりません。つまり、ある解として方程式を満たすことは分かっても、なぜそれが一般解にもなるのか、他に解は無いのかが分かりません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにそのページには，解の一意性が書いてありませんが，それは次のような考えによります． あなたの知りたいことは，ほとんどの入門書に書かれていますが，その要点は次の通りです．
一般に，ｘのある値に対するｙとｙ’が与えられた２階常微分方程式の解はただ１つ存在します．（解の存在と一意性の定理）
そこで，x=pのとき，y=q, y'=rという初期条件を満たす２階の常微分方程式の解 yが存在したとすると，そのページに書かれた２つの特別解 y₁，y₂を用いて，y=C₁y₁+C₂y₂となる定数 C₁，C₂が定まることを述べます．
ここで，y₁，y₂は一次独立な２つの解です．

だから

すなわち，

このとき，連立方程式は係数行列の行列式が０でないから，C₁，C₂がただ1通りに定まり，これにより，どんな解 y もの形に書けることになります．
（一般にはロンスキアンを使って示されます）

特性方程式の重解になる場合の一般解の形と、ｘの関数を掛けたものものが解の一つになると言う点がどうしても理解できません。こうなる的に覚えて過ごしてきました。何か補足説明を頂けたら幸いです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そこに書いてあります．

特性方程式の重解になる場合の一般解の形と、ｘの関数を掛けたものものが解の一つになると言う点がどうしても理解できません。こうなる的に覚えて過ごしてきました。何か補足説明を頂けたら幸いです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そこに書いてあります．

1階微分方程式の場合、例えばy'-y=xのようなものは解が1つしかないので重解と考え、y=e^px(C1+C2x)と考えるのですか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は２階微分方程式の頁です．１階微分方程式と２階微分方程式とでは解き方が違いますので，１階微分方程式の頁を見てください．その頁の【例題１】にほぼ同じ（係数が２になっているだけ）問題がありますので見てください．なお，あなたの問題の解はy=−x−1+Cexになります．（１階微分方程式の一般解の任意定数は１つです）．
その教材は，分類の都合で高校数学の応用のような箇所に置いてありますが，もしあなたが高校生なら１階線形微分方程式も２階微分方程式も範囲外です．

大学の授業でわからなかった内容がとてもわかりやすく書かれていたので、とても助かりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

助かりました(`_`)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．