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ベクトル・行列連立方程式複素数関数・数列微分積分微分方程式統計maxima

※高校から大学初年度レベルの「微分方程式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．

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■全微分とは
　２変数の関数z=F(x, y)について，x, yの増分をΔx, Δyとするとき，zの増分Δzは
.Δz≒.∂z∂xnnΔx+.∂z∂ynnΔy
で表されます．
　この式において，Δx→0, Δy→0となる極限を形式的に
.dz=.∂z∂xnndx+.∂z∂ynndy…(1)
で表し，dzをzの全微分といいます．

　.∂z∂xnnはzのxに関する偏導関数で，yを定数と見なし
て，xで微分したものを表し，x方向の傾きに対応します．
　同様にして，.∂z∂ynnはzのyに関する偏導関数で，xを
定数と見なして，yで微分したものを表し，y方向の傾きに対応します．

例えば .dydxnn=−.2xynn
y dy=−2 dx
2x dx+y dy=0
の変形において，『形式的に分母を払って』変形する場合においても，このような式が登場しています．

【偏導関数の例】
　z=x3y2のとき，
..∂z∂xnn=3x2y2 , .∂z∂ynn=2x3y
【全微分の例】
　z=x3y2のとき，
.dz=3x2y2dx+2x3ydy

■全微分方程式，完全微分形とは
　微分方程式が .P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0…(2)
の形で与えられているとき，この微分方程式を全微分方程式といいます．

　(2)の形の全微分方程式で，P(x,y) , Q(x,y)が１つの関数
F(x,y)のx偏導関数とy偏導関数になっているとき，すなわち
..∂F∂xnn=P(x,y) , .∂F∂ynn=Q(x,y)
が成り立っているとき，この微分方程式は完全微分形と呼ばれます．

　完全微分形の微分方程式の一般解は
.F(x,y)=C…(3)
で与えられます．

このように,全微分方程式が完全微分形になっていて，これを満たす関数F(x,y)が見つかる場合，全微分方程式の一般解は直ちに求まります．
例えば，全微分方程式
.(3x2y2)dx+(2x3y)dy=0
については，F(x,y)=x3y2を想定すると，完全微分形であることが分かるので，この微分方程式の一般解は
.x3y2=C
になります．

(1) 完全微分形である場合に，F(x,y)を見つける方法は？

(2) 完全微分形になっていない全微分方程式を変形して完全微分形に直す方法は？

【例題１】
.微分方程式.dydxnn=.xynすなわちxdx−ydy=0を
(1) 変数分離形として解いてください．
(2) 全微分方程式として解いてください．

【例題２】
.微分方程式exsiny dx+excosy dy=0を
(1) 変数分離形として解いてください．
(2) 全微分方程式として解いてください．

ただし，行きがかり上 .∫wng(y)dyではなく
∫wn.dyg(y)nnnをG(y)と定義
していることに注意

【問題１】
　次の微分方程式は完全微分形になっています．
積分形F(x,y)の見当をつけて一般解を求めてください． .y3dx+3xy2dy=0
1x+y3=C 23x+y2=C

3xy3=C 4x2y3=C 解説

F(x,y)=xy3とおくと
..∂F∂xnn=y3 , .∂F∂ynn=3xy2になるから
.xy3=C→3

【問題２】
　次の微分方程式は完全微分形になっています．
積分形F(x,y)の見当をつけて一般解を求めてください． .(y+2x)dx+xdy=0
1x+y2=C 2xy+x2=C

32xy=C 4x2y=C 解説

F(x,y)=xy+x2とおくと
..∂F∂xnn=y+2x , .∂F∂ynn=xになるから
.xy+x2=C→2

■完全微分形であるための必要十分条件
(1)
　全微分方程式
.P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
が完全微分形となっているための必要十分条件は
..∂P∂ynn=.∂Q∂xnn
が成立することである．
(2)
.P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
が完全微分形であるとき，その一般解は
.∫wnP(x,y)dx+∫wnQ(x,y)−.∂∂ynn∫wnP(x,y)dxdy=C
で求められる．
(3)は下に分けて示す．

(A)と(B)の条件を満たせば，完全微分形になることが言えます．
(A)により
..∂F∂xnn=P(x,y)
(B)により
..∂F∂ynn=Q(x,y)
したがって，与えられた全微分方程式の左辺はF(x,y)の全微分になっています．･･･■(1)の証明完了

(1)

与えられた全微分方程式が完全微分形であるかどうかを見分ける方法

⇒完全微分形になっていれば，上で練習したような積分F(x,y)を見つけられる可能性がありますが，そうでなければ探す努力が無駄になるからです

(2)

完全微分形である場合の一般解の求め方

⇒ここまでに示したものは比較的簡単に積分F(x,y)が見つけられるものばかりでしたが，複雑な式になるともっと系統的に見つける方法がないと対応できません

(3)

完全微分形でないときに，微分方程式の両辺に掛ければ完全微分形に変形できるような因子M(x,y)の見つけ方

⇒1.2や1.3を1.1に変形するには，各々の両辺にM(x,y)=x, 1/xを掛ければよい.
　2.2や2.3を2.1に変形するには，各々の両辺にM(x,y)=y, 1/yを掛ければよい.
　このように，全微分方程式の両辺に適当な関数M(x,y)を掛ければ全微分形にできるとき，M(x,y)は積分因子と呼ばれます．この積分因子の見つけ方が分かれば全微分方程式が解けることになります．

【例題３】
.微分方程式(2x−3y)dx+(4y−3x)dy=0を解いてください．

【例題４】
.微分方程式2xydx+(x2−2y)dy=0を解いてください．

【問題３】
　微分方程式(2x+y)dx+xdy=0の一般解を求めてください．
1x2+xy=C 2xy+y2=C

3x2+2xy=C 4y2−2xy=C 解説

○　はじめに完全微分形であることを確かめる
..∂P∂ynn=1 , .∂Q∂xnn=1
だから，完全微分形である．
○　一般解を求める
.∫wnP(x,y)dx=∫wn(2xy+y)dx=x2+xy
.Q(x,y)−.∂∂ynn∫wnP(x,y)dx=x−x=0
.∫wnQ(x,y)−.∂∂ynn∫wnP(x,y)dxdy=∫wn0dy=0
ゆえに
.x2+xy=C→1

【問題４】
　微分方程式(2x+3y)dx+(3x−2)dy=0の一般解を求めてください．
1x2−3xy+2y=C 2x2+3xy−2y=C

3x2−2xy+3y2=C 4x2+2xy−3y2=C 解説

○　はじめに完全微分形であることを確かめる
..∂P∂ynn−.∂Q∂xnn=3−3=0
だから，完全微分形である．
○　一般解を求める
.∫wnP(x,y)dx=∫wn(2x+3y)dx=x2+3xy
..∂∂ynn∫wnP(x,y)dx=.∂∂ynn(x2+3xy)=3x
.Q(x,y)−.∂∂ynn∫wnP(x,y)dx=3x−2−3x=−2
.∫wnQ(x,y)−.∂∂ynn∫wnP(x,y)dxdy=∫wn(−2)dy=−2y
ゆえに
.x2+3xy−2y=C→2

【問題５】
　微分方程式(siny−sinx)dx+xcosydy=0の一般解を求めてください．
1xsiny+cosx=C 2ysinx+cosx=C

3xcosy−sinx=C 4ycosx−siny=C 解説

○　はじめに完全微分形であることを確かめる
..∂P∂ynn−.∂Q∂xnn=cosy−cosy=0
だから，完全微分形である．
○　一般解を求める
.∫wnP(x,y)dx=∫wn(siny−sinx)dx=xsiny+cosx
..∂∂ynn∫wnP(x,y)dx=.∂∂ynn(xsiny+cosx)=xcosy
.Q(x,y)−.∂∂ynn∫wnP(x,y)dx=xcosy−xcosy=0
.∫wnQ(x,y)−.∂∂ynn∫wnP(x,y)dxdy=∫wn0dy=0
ゆえに
.xsiny+cosx=C→1

【問題６】
　微分方程式yexdx+(ex−cosy)dy=0の一般解を求めてください．
1xex+siny=C 2xex−cosy=C

3yex−siny=C 4yex+cosy=C 解説

○　はじめに完全微分形であることを確かめる
..∂P∂ynn−.∂Q∂xnn=ex−ex=0
だから，完全微分形である．
○　一般解を求める
.∫wnP(x,y)dx=∫wn(yex)dx=yex
..∂∂ynn∫wnP(x,y)dx=.∂∂ynn(yex)=ex
.Q(x,y)−.∂∂ynn∫wnP(x,y)dx=ex−cosy−ex=−cosy
.∫wnQ(x,y)−.∂∂ynn∫wnP(x,y)dxdy=∫wn(−cosy)dy=−siny
ゆえに
.yex−siny=C→3

.P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
が完全微分形でなくても，適当な関数M(x,y)を掛けると
.M(x,y)P(x,y)dx+M(x,y)Q(x,y)dy=0
が完全微分形になることがあります．
　このときM(x,y)を積分因子といいます．

　積分因子を一般的に求めるのは難しく，積分因子がただ１通りに定まるとも限りません．
　しかし，積分因子M(x,y)がxだけの関数になっているものM(x)やyだけの関数になっているものM(y)があれば，次のようにして求められます．
　積分因子が１つでも見かれば，それを使って解けばよいので，yだけの関数になっているものM(y)はM(x)が求まらないときに考えればよいでしょう．

　左のように未知の関数M(x)を既知の関数P(x,y) , Q(x,y)で表して，M(x)を求めていく

【重要】　この(6)式において，左辺がxだけの関数になっていれば，以下のように変形して積分因子M(x)が求められます．しかし，左辺がxだけの関数になっていなければ，（右辺はxだけの関数なので）この形で求めることはできないと判断します．

[1]の手順でxだけの関数になっている積分因子M(x)が求まらないときは，同様の手順でyだけの関数になっているものM(y)を探すことになります．

【重要】　この(6')式において，左辺がyだけの関数になっていれば，以下のように変形して積分因子M(y)が求められます．

　下記の【例題６】において求める積分因子をM(x,y)=xmynとおくと，次のようにして次数m, nが定まります．
.xmynydx+xmyn(2x+y)dy=0
.xmyn+1dx+(2xm+1yn+xmyn+1)dy=0
..∂P∂ynn=(n+1)xmyn
..∂Q∂xnn=2(m+1)xmyn+mxm−1yn+1
これらが等しくなるためには，
.m=0, n+1=2m+2 → m=0, n=1
したがって，M(x,y)=yが積分因子

【例題５】
.(x+y2+1)dx+2y dy=0について，積分因子を求めて微分方程式を解いてください．

【例題６】
.ydx+(2x+y)dy=0について，積分因子を求めて微分方程式を解いてください．

【問題７】
　微分方程式(1+xy)dx+x2dy=0の一般解を求めてください．
1ex+xy=C 2ex+.yxn=C

3logx+xy=C 4logx+.yxn=C 解説

.P(x,y)=1+xy , Q(x,y)=x2とおくと
..∂P∂ynn=x , .∂Q∂xnn=2x
..1Qn(.∂P∂ynn−.∂Q∂xnn)=.−xx2nn=−.1xn
はxだけの関数だから積分因子M(x)が存在する．
.∫wn.1Qn(.∂P∂ynn−.∂Q∂xnn)dx=−∫wn.1xndx=−log x=log.1xn
.log.1xn=log M(x)より
.M(x)=.1xnが積分因子
○　積分因子を掛けて完全微分形の方程式にする．
.(.1xn+y)dx+xdy=0
改めて，P(x,y)=.1xn+y , Q(x,y)=xとおくと
.∫wnP(x,y)dx=log x+xy
..∂∂ynn∫wnP(x,y)dx=x
.Q(x,y)−.∂∂ynn∫wnP(x,y)dx=x−x=0
.∫wnQ(x,y)−.∂∂ynn∫wnP(x,y)dxdy=∫wn(0)dy=0
ゆえに
.log x+xy=C→3

【問題８】
　微分方程式ydx+(y−x)dy=0の一般解を求めてください．
1.yxn+log x=C 2.xyn+log y=C

3xy+ex=C 4xy+logx=C 解説

.P(x,y)=y , Q(x,y)=y−xとおくと
..∂P∂ynn=1 , .∂Q∂xnn=−1
..1Qn(.∂P∂ynn−.∂Q∂xnn)=.2y−xnnnはxだけの関数でない
..1Pn(.∂Q∂xnn−.∂P∂ynn)=.−2ynnはyだけの関数
だからyだけの関数となる積分因子M(y)が存在する．
.∫wn.1Pn(.∂Q∂xnn−.∂P∂ynn)dy=−∫wn.2yndy=−2log y=log.1y2n
.log.1y2n=log M(y)より
.M(y)=.1y2nが積分因子
○　積分因子を掛けて完全微分形の方程式にする．
..1yndx+(.1yn−.xy2n)dy=0
改めて，P(x,y)=.1yn , Q(x,y)=.1yn−.xy2nとおくと
.∫wnP(x,y)dx=.xyn
..∂∂ynn∫wnP(x,y)dx=−.xy2n
.Q(x,y)−.∂∂ynn∫wnP(x,y)dx=.1yn−.xy2n−(−.xy2n)=.1yn
.∫wnQ(x,y)−.∂∂ynn∫wnP(x,y)dxdy=∫wn.1yndy=log y
ゆえに
..xyn+log y=C→2
※１　この問題は，同次形の微分方程式として解くこともできます．また，積分因子をM(x,y)=xmynとおいて，次数m, nに関する方程式として係数比較法で解くこともできます．m=0 , n=−2

【問題９】
　微分方程式(x2+2x−y2)dx−2ydy=0の一般解を求めてください．
1e−x(x2+y2)=C 2ex(x2+y2)=C

3e−x(x2−y2)=C 4ex(x2−y2)=C 解説

.P(x,y)=x2+2x−y2 , Q(x,y)=−2yとおくと
..∂P∂ynn=−2y , .∂Q∂xnn=0
..1Qn(.∂P∂ynn−.∂Q∂xnn)=.−2y−2ynnn=1はxだけの関数
だからxだけの関数となる積分因子M(x)が存在する．
.∫wn.1Qn(.∂P∂ynn−.∂Q∂xnn)dx=∫wndx=x
.x=log M(x)より
.M(x)=exが積分因子
○　積分因子を掛けて完全微分形の方程式にする．
.ex(x2+2x−y2)dx−2exydy=0
改めて，P(x,y)=ex(x2+2x−y2) , Q(x,y)=−2exyとおくと
.I=∫wnP(x,y)dx=∫wnex(x2+2x−y2)dxとおく
次のように２回の部分積分で求めることができます．

f=x2+2x−y2	f '=2x+2
g'=ex	g=ex

.I=ex(x2+2x−y2)−∫wnex(2x+2)dx
.I=ex(x2+2x−y2)−Jとおく

p=2x+2	p'=2
q'=ex	q=ex

.J=ex(2x+2)−2∫wnexdx=ex(2x+2)−2ex=2xex
.I=ex(x2+2x−y2)−2xex=ex(x2−y2)
..∂∂ynn∫wnP(x,y)dx=−2yex
.Q(x,y)−.∂∂ynn∫wnP(x,y)dx=(−2yex)−(−2yex)=0
.∫wnQ(x,y)−.∂∂ynn∫wnP(x,y)dxdy=∫wn(0)dy=0
ゆえに
.ex(x2−y2)=C→4

【問題10】
　微分方程式(x2y2−y)dx−xdy=0の一般解を求めてください．
1xy+.1xn=C 2xy+.1yn=C

3x+.1xynn=C 4y+.1xynn=C 解説

.P(x,y)=x2y2−y , Q(x,y)=−xとおくと
..∂P∂ynn=2x2y−1 , .∂Q∂xnn=−1
..1Qn(.∂P∂ynn−.∂Q∂xnn)=.2x2y−xnnnn=−2xyはxだけの関数ではない
..1Pn(.∂Q∂xnn−.∂P∂ynn)=.−2x2yx2y2−ynnnnnはyだけの関数ではない
しかし，P(x,y), Q(x,y)が多項式であるから，M(x,y)=xmynの形の積分因子を調べる余地がある．
.xmyn(x2y2−y)dx−xmynxdy=0
の形の微分方程式について，
改めてP(x,y)=xmyn(x2y2−y) , Q(x,y)=−xm+1ynとおき
..∂P∂ynn=.∂Q∂xnn
の条件を満たすようにm, nを定める．
..∂P∂ynn=(n+2)xm+2yn+1−(n+1)xmyn
..∂Q∂xnn=−(m+1)xmyn
だからn+2=0, −(n+1)=−(m+1) → m=n=−2
.M(x,y)=.1x2y2nnnが積分因子となる．

○　積分因子を掛けると完全微分形の方程式になるので，これまでと同様の方法で解けばよい．
（途中経過省略）
.x+.1xynn=C→3

初めまして、ミスタイプがあると思われるのでご連絡申し上げます。ご確認をお願い致します。 以下のところで、 ○　変数分離形の微分方程式としても解釈できる問題を，変数分離形として解く場合と，全微分方程式として解く場合とでは，別々に積分するかまとめて積分するかの違いがあります． ○　変数分離形の微分方程式を変数分離形として解く場合には 　　dy/dx=f(x)g(x) →dy/dx=f(x)g(y) と思われます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．