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■リッカチ形の微分方程式
（解説）次の形の微分方程式はリッカチの微分方程式とよばれ，１つの特別解（特殊解）y1を見つけると，y=y1+uとおくことによりuがベルヌーイの微分方程式になります．  dydx+P(x)y2+Q(x)y+R(x)=0…(1)(1)の１つの特別解をy1とすると  dy1dx+P(x)y12+Q(x)y1+R(x)=0…(2)
が成り立つ．ここで，y=y1+uとおくと(1)は次の形になります． ( dy1dx+dudx)+P(x)(y1+u)2+Q(x)(y1+u)+R(x)=0
dy1dx+dudx+P(x)y12+2P(x)y1u+P(x)u2+Q(x)y1+Q(x)u+R(x)=0 dy1dx+P(x)y12+Q(x)y1+R(x)+ dudx+2P(x)y1u+P(x)u2+Q(x)u=0
(2)により青で示した項は消えるからdudx+2P(x)y1u+P(x)u2+Q(x)u=0
したがってdudx+(2P(x)y1+Q(x))u=−P(x)u2
これは，既知の関数S(x)=2P(x)y1+Q(x) , T(x)=−P(x)とおけばdudx+S(x)u=T(x)u2
の形に表されているからベルヌーイ形の微分方程式になります．したがって，ベルヌーイ形の微分方程式の解き方に沿って解けば一般解が求められます．
【例１】
dydx+y2+2y−3=0の一般解を求めてください．
P(x) , Q(x) , R(x)が定数項である場合には，変数分離形として解くことができます（後出参考）が，ここでは「特別解の見当を付ける」ための簡単な例としてリッカチ形として解いてみます．
（解答）y1=k（定数）の場合は，y'=0となるから，この方程式の特別解は２次方程式 y2+2y−3=0 を解くことによって得られます． (y+3)(y−1)=0 により，例えば y1=1 が１つの特別解になります．（y1=−3でもよい） y=1+u…(1)とおいて元の方程式に代入すると dudx+4u+u2=0
dudx+4u=−u2…(2)
はベルヌーイ形の微分方程式になります．（変数分離形としても解けます）
(2)の両辺をu2で割ると
（この方程式も変数分離形としても解けますが）ここでは定数変化法の復習を兼ねて線形微分方程式として解いてみます．u−2  dudx+4u−1=−1…(3)
v=u−1とおくとdvdx=−u−2dudx
となるから− dvdx+4v=−1
dvdx−4v=1…(4)
(4)に対応する同次方程式
さらに(1)によりyに戻すとdvdx−4v=0
の解を求めるとv=C1 e4x になるから，定数変化法により(4)の解をv=z(x)e4x…(5)の形で求めます． 積の微分法により v'=z'e4x+4ze4x だから，(4)は次の形になります． dzdxe4x+4ze4x−4ze4x=1dzdxe4x=1dzdx=e−4xdz=e−4xdx ∫dz=∫e−4xdx z=− 14e−4x+C2(5)に戻すと v=(− 14e−4x+C2 )e4x=−14+C2 e4xuに戻すと 1u=4C2e4x−14=Ce4x−14u= 4Ce4x−1y=1+ 4Ce4x−1=Ce4x+3Ce4x−1…（答）
（参考）
初めの微分方程式を変数分離形として解くと，次のようになります． dydx=−(y2+2y−3)
dyy2+2y−3=−dx
∫dy(y+3)(y−1)=−∫dx
14∫(1y−1−1y+3)dy=−x+C1
log|y−1y+3|=−4x+4C1=−4x+C2
|y−1y+3|=−4x+4C1=e−4x+C2=eC2e−4x
y−1y+3=±eC2e−4x=C3 e−4x
y−1=(y+3)C3 e−4x=C3 e−4xy+3C3 e−4xC3 e−4xy−y=−3C3 e−4x−1 (C3 e−4x−1)y=−3C3 e−4x−1 y=− 3C3e−4x+1C3e−4x−1=−3C3+e4xC3−e4x=e4x+3Ce4x−Cこの式において1/CをCとすると上記の答と一致します． |
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【例２】
（略解）dydx+(2x+3)y−(x+2)y2=x+1の一般解を求めてください．
y1=1は方程式を満たすから１つの特別解になっています． そこで，y=1+uとおくと，元の方程式はuについてベルヌーイ形の微分方程式になります． dudx−u=(x+2)u2
両辺をu2で割るとu−2 dudx−u−1=x+2
ここでv=u−1とおくとvの線形微分方程式になります．dvdx+v=−x−2
この方程式の右辺を0とおいた同次方程式の解はv=C1 e−x となるので，定数変化法により元の非同次方程式の解を v=z(x)e−x の形で求めます． z=C−(x+1)ex となるから， v=(C−(x+1)ex)e−x=Ce−x−x−1 1u=Ce−x−x−1
u=1Ce−x−x−1
y=1+u=1+1Ce−x−x−1=Ce−x−xCe−x−x−1
最後の形は，分母分子にexを掛けた形で答えてもよい．y= C−xexC−(x+1)ex=xex−C(x+1)ex−C=xex+C'(x+1)ex+C'
【例３】
（略解）dydx−e−xy2+y−ex=0の一般解を求めてください．
１つの特別解を求めるにはP(x), Q(x), R(x)の形から類推して，幾つか試します．
y1=exは方程式を満たすから１つの特別解になっています．そこで，y=ex+uとおくと，元の方程式はuについてベルヌーイ形の微分方程式になります． dudx−u=e−xu2
両辺をu2で割るとu−2 dudx−u−1=e−x
ここでv=u−1とおくとvの線形微分方程式になります．dvdx+v=−e−x
この方程式の右辺を0とおいた同次方程式の解はv=C1 e−x となるので，定数変化法により元の非同次方程式の解を v=z(x)e−x の形で求めます． z=−x+C となるから， v=(−x+C)e−x u= 1(−x+C)e−x=exC−x
y=ex+u=ex+exC−x
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【問題１】
微分方程式 dydx+y2−3y+2=0の一般解を求めてください．1y= ex+C2ex+C
2y=2ex+Cex+C3y= ex−C2ex+C
4y=2ex+Cex−C
特別解?ベルヌーイ方程式?線形方程式?解答
１つの特別解はy1=1
y=1+uとおくとuは次のベルヌーイ形微分方程式を満たす．
dudx−u=−u2
両辺をu2で割ると
u−2 dudx−u−1=−1v=u−1とおくと線形微分方程式になり dvdx+v=1この解は v=Ce−x+1
はじめから，変数分離形として解くこともできます．
u=1Ce−x+1y=1+u= Ce−x+2Ce−x+1=2ex+Cex+C |
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【問題２】
微分方程式y'− yx+y2x=4xの一般解を求めてください．1y=x+ xCex+1
2y=x+2xCex−13y=2x+ 2xCe2x−1
4y=2x+4xCe4x−1
特別解?ベルヌーイ方程式?線形方程式?解答
１つの特別解はy1=2x
y=2x+uとおくとuは次のベルヌーイ形微分方程式を満たす．
dudx+(4− 1x)u=−u2x
両辺をu2で割ると
u−2 dudx+(4−1x)u−1=−1xv=u−1とおくと線形微分方程式になり dvdx+(1x−4)v=1xこの解は v= Ce4x−14x
u=
4xCe4x−1y=2x+u=2x+ 4xCe4x−1 |
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【問題３】
微分方程式y'+exy2+y−e−x=0の一般解を求めてください． 1y=e−x+ 2e−xCe2x−1
2y=e−x+2exCe2x+13y=ex+ 2e−xCe2x−1
4y=ex+2exCe2x+1
特別解?ベルヌーイ方程式?線形方程式?解答
１つの特別解はy1=e−x
y=e−x+uとおくとuは次のベルヌーイ形微分方程式を満たす．
dudx+3u=−exu2
両辺をu2で割ると
u−2 dudx+3u−1=−exv=u−1とおくと線形微分方程式になり dvdx−3v=exこの解は v= Ce2x−12ex
u=
2Ce2x−1e−xy=e−x+u=e−x+ 2e−xCe2x−1 |
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【問題４】
∫ exxdx=Ei x+Cとするとき，次の微分方程式の一般解
をEi xを用いて表してください．dydx−y2x+y=11y=x+ Eixex−C
2y=x+Eixe−x−C3y=x+ exC−Eix
4y=x+e−xC−Eix
特別解?ベルヌーイ方程式?線形方程式?解答
１つの特別解はy1=x
y=x+uとおくとuは次のベルヌーイ形微分方程式を満たす．
dudx−u=u2x
両辺をu2で割ると
u−2 dudx−u−1=1xv=u−1とおくと線形微分方程式になり dvdx+v=−1xこの解は v=(C−Eix)e−x
u=
exC−Eixy=x+u=x+ exC−Eix |
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