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■リッカチ形の微分方程式
(解説)次の形の微分方程式はリッカチの微分方程式とよばれ,1つの特別解(特殊解)y1を見つけると,y=y1+uとおくことによりuがベルヌーイの微分方程式になります. ![]() (1)の1つの特別解をy1とすると ![]() ここで,y=y1+uとおくと(1)は次の形になります. ( ![]() ![]() ![]() ![]() +Q(x)y1+Q(x)u+R(x)=0 ![]() + ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
【例1】
![]()
P(x) , Q(x) , R(x)が定数項である場合には,変数分離形として解くことができます(後出参考)が,ここでは「特別解の見当を付ける」ための簡単な例としてリッカチ形として解いてみます.
(解答)y1=k(定数)の場合は,y'=0となるから,この方程式の特別解は2次方程式 y2+2y−3=0 を解くことによって得られます. (y+3)(y−1)=0 により,例えば y1=1 が1つの特別解になります.(y1=−3でもよい) y=1+u…(1)とおいて元の方程式に代入すると ![]() ![]()
(2)の両辺をu2で割ると
(この方程式も変数分離形としても解けますが)ここでは定数変化法の復習を兼ねて線形微分方程式として解いてみます.u−2 ![]() ![]() ![]() − ![]() ![]()
(4)に対応する同次方程式
さらに(1)によりyに戻すと![]() v=C1 e4x になるから,定数変化法により(4)の解をv=z(x)e4x…(5)の形で求めます. 積の微分法により v'=z'e4x+4ze4x だから,(4)は次の形になります. ![]() ![]() ![]() dz=e−4xdx ∫ dz=∫ e−4xdx z=− ![]() (5)に戻すと v=(− ![]() ![]() uに戻すと ![]() ![]() ![]() u= ![]() y=1+ ![]() ![]()
(参考)
初めの微分方程式を変数分離形として解くと,次のようになります. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() C3 e−4xy−y=−3C3 e−4x−1 (C3 e−4x−1)y=−3C3 e−4x−1 y=− ![]() ![]() ![]() この式において1/CをCとすると上記の答と一致します. |
【例2】
(略解)![]() y1=1は方程式を満たすから1つの特別解になっています. そこで,y=1+uとおくと,元の方程式はuについてベルヌーイ形の微分方程式になります. ![]() u−2 ![]() ![]() v=C1 e−x となるので,定数変化法により元の非同次方程式の解を v=z(x)e−x の形で求めます. z=C−(x+1)ex となるから, v=(C−(x+1)ex)e−x=Ce−x−x−1 ![]() ![]() ![]() ![]() y= ![]() ![]() ![]()
【例3】
(略解)![]()
1つの特別解を求めるにはP(x), Q(x), R(x)の形から類推して,幾つか試します.
y1=exは方程式を満たすから1つの特別解になっています.そこで,y=ex+uとおくと,元の方程式はuについてベルヌーイ形の微分方程式になります. ![]() u−2 ![]() ![]() v=C1 e−x となるので,定数変化法により元の非同次方程式の解を v=z(x)e−x の形で求めます. z=−x+C となるから, v=(−x+C)e−x u= ![]() ![]() ![]() |
【問題1】
微分方程式 ![]() 1y= ![]() ![]() 3y= ![]() ![]()
1つの特別解はy1=1
y=1+uとおくとuは次のベルヌーイ形微分方程式を満たす.
![]()
両辺をu2で割ると
u−2 ![]() v=u−1とおくと線形微分方程式になり ![]() この解は v=Ce−x+1
はじめから,変数分離形として解くこともできます.
u=![]() y=1+u= ![]() ![]() |
【問題2】
微分方程式y'− ![]() ![]() 1y=x+ ![]() ![]() 3y=2x+ ![]() ![]()
1つの特別解はy1=2x
y=2x+uとおくとuは次のベルヌーイ形微分方程式を満たす.
![]() ![]() ![]()
両辺をu2で割ると
u−2 ![]() ![]() ![]() v=u−1とおくと線形微分方程式になり ![]() ![]() ![]() この解は v= ![]()
u=
![]() y=2x+u=2x+ ![]() |
【問題3】
微分方程式y'+exy2+y−e−x=0の一般解を求めてください. 1y=e−x+ ![]() ![]() 3y=ex+ ![]() ![]()
1つの特別解はy1=e−x
y=e−x+uとおくとuは次のベルヌーイ形微分方程式を満たす.
![]()
両辺をu2で割ると
u−2 ![]() v=u−1とおくと線形微分方程式になり ![]() この解は v= ![]()
u=
![]() y=e−x+u=e−x+ ![]() |
【問題4】
∫ ![]() ![]() ![]() 1y=x+ ![]() ![]() 3y=x+ ![]() ![]()
1つの特別解はy1=x
y=x+uとおくとuは次のベルヌーイ形微分方程式を満たす.
![]() ![]()
両辺をu2で割ると
u−2 ![]() ![]() v=u−1とおくと線形微分方程式になり ![]() ![]() この解は v=(C−Eix)e−x
u=
![]() y=x+u=x+ ![]() |
![]() ![]() |
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