ベルヌーイ形微分方程式

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ベクトル・行列連立方程式複素数関数・数列微分積分微分方程式統計 maxima

※高校から大学初年度レベルの「微分方程式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓変数分離形
↓同(2)
↓同次形

↓１階線形微分方程式
↓ベルヌーイ形微分方程式-現在地
↓リッカチ形微分方程式
↓全微分方程式
↓変数変換による解き方

↓定数係数２階線形微分方程式（同次）
定数係数２階線形（非同次）

== ベルヌーイ形微分方程式 ==

■ベルヌーイ形の微分方程式
　次の形の微分方程式はベルヌーイの微分方程式とよばれ，y1−n=uとおくことにより線形微分方程式に直して解くことができます．

n=0の場合は線形微分方程式になり，n=1の場合は変数分離形になりますので，ここではこれらの場合は考えないことにします．

dydxnn+P(x)y=Q(x)yn (n≠0, 1)…(1)

（解説）
　(1)の両辺をynで割ると

.y−n .

dydxnn+P(x)y1−n=Q(x)

合成関数の微分法

dudxnn=.

dudynn.

dydxnn

　ここで，u=y1−nとおくと

dudxnn=(1−n)y−n .

dydxnn

となるから

11−nnnn .

dudxnn+P(x)u=Q(x)

dudxnn+(1−n)P(x)u=(1−n)Q(x)

ここで，(1−n)P(x)=S(x) , (1−n)Q(x)=T(x)と見ると

dudxnn+S(x)u=T(x)

は線形微分方程式となります．

【例１】

dydxnn+y=exy2の一般解を求めてください．

上の公式においてP(x)=1 , Q(x)=ex , n=2となる場合になっています．

（解答）
両辺をy2で割ると

.y−2 .

dydxnn+y−1=ex…(1)

u=y−1…(2)とおくと

dudxnn=−y−2 .

dydxnn

となるから

.−.

dudxnn+u=ex

dudxnn−u=−ex…(3)

(3)式はuについて線形微分方程式となるのでこれを解く．

はじめに同次方程式

dudxnn−u=0…(3')

を解く

dudxnn=u

duunn=dx

.∫wn.

duunn=∫wndx

.log|u|=x+C1
.|u|=ex+C1=eC1ex
.u=±eC1ex=C2ex

そこで非同次方程式(3)に対して定数変化法により
u=z(x)ex…(4)の形の解を求める．

.u'=z'ex+zexだから
(3)は次の形になる．
.z'ex+zex−zex=−ex
.z'ex=−ex
.z'=−1

.z=−∫wndx=−x+C

(4)に戻すと
.u=ex(C−x)

さらに(2)に戻すと

.y=.

1ex(C−x)nnnnnnn…（答）

○　１階の常微分方程式のうちで，初等的に（有限回の変形と積分計算によって）解く方法が解明されているものは限られていますが，この頁に登場するベルヌーイ(Bernoulli)の微分方程式は，変数変換によって線形微分方程式に直して解くことができます．

○　ただし，「理論上は解ける」ということと，実際に多項式や指数関数，対数関数，三角関数などの合成として示すことができるかどうかということの間には大きな溝かあります．左の欄のP(x), Q(x)の組合せによって，例えば次のような積分計算が登場する場合には，その結果を多項式や指数関数，対数関数，三角関数などの合成として示すことはできません．

∫wne−x2dx , ∫wn.

exxndx , ∫wn.

dxlogxnnnn , ∫wn.

logxx+1nnnndxなど多数

○　このような関数が必要になるときは，その不定積分（または積分区間の上端または下端をxとする定積分）によって新たに関数を定義して使うことになります．
　次のような関数があります．

.∫wn.

dxlogxnnnn=Li x …（積分対数関数）

.∫wn.

exxndx=Ei x …（積分指数関数）

√π√ninn x∫0wwwe−x2dx=erf(x) …（誤差関数）

　これらの関数において，それぞれのxに対する具体的な値を求めたいときは，数値積分が利用できます．（必要な精度で求めるとよい）■■

【例２】

dydxnn−.

y2xnn=y3sinxの一般解を求めてください．

上の公式においてP(x)=−.

12xnn , Q(x)=sinx , n=3となる場合になっています．

（解答）
両辺をy3で割ると

.y−3 .

dydxnn−.

12xnny−2=sinx

合成関数の微分法

dudxnn=.

dudynn.

dydxnn

により

dudxnn=−2y−3 .

dydxnn

u=y−2…(1)とおくと

dudxnn=−2y−3 .

dydxnn

となるから

.−.

12n.

dudxnn−.

12xnnu=sinx

dudxnn+.

1xnu=−2sinx…(2)

(2)式はuについて線形微分方程式となるのでこれを解く．

はじめに同次方程式

dudxnn+.

uxn=0…(2')

を解く

dudxnn=−.

uxn

duunn=−.

dxxnn

.∫wn.

duunn=−∫wn.

dxxnn

.log|u|=−log|x|+C1
.log|u|+log|x|=C1
.log|ux|=C1
.|ux|=eC1
.ux=±eC1=C2

.u=.

C2xnn

そこで非同次方程式(2)に対して定数変化法により

.u=.

z(x)xnnn…(3)の形の解を求める．

.I=∫wnxsinx dx

は，部分積分法により求めることができます．

f=x	f '=1
g'=sin x	g=−cos x

.I=−x cos x+∫wncosx dx

.=−x cos x+sinx+C3

.u'=.

z'xn−.

zx2nnだから

(2)は次の形になる．

z'xn−.

zx2nn+.

zx2nn=−2sinx

z'xn=−2sinx

.z=−2∫wnxsinx dx

=−2(−x cos x+sinx+C3 )
=2x cos x−2sinx+C

(3)に戻すと

.u=.

2xcosx−2sinx+Cxnnnnnnnnnnnnnnn

さらに(1)に戻すと

1y2n=.

2xcosx−2sinx+Cxnnnnnnnnnnnnnnn

.y2(2xcosx−2sinx+C)=x…（答）

【問題１】

　微分方程式.

dydxnn+2y=exy3の一般解を求めてください．

1y=2e−x+Ce−2x 2y=.

23ne−x+Ce−3x

1y2nn=2ex+Ce2x 4.

1y2nn=.

23nex+Ce4x

変数の変換?同次方程式?非同次方程式?解答

元の方程式の両辺をy3で割ると

.y−3 .

dydxnn+2y−2=ex

そこで，u=y−2…(1) とおくと

dudxnn=−2y−3 .

dydxnn

となるから，uに関する方程式は

.−.

12n.

dudxnn+2u=ex

dudxnn−4u=−2ex…(2)

となり，線形微分方程式になります．

はじめに，同次方程式.

dudxnn−4u=0を解く．

duunn=4dx

∫wn.

duunn=4∫wndx

log|u|=4x+C1
|u|=e4x+C1=eC1e4x
u=±eC1e4x=C2e4x

次に，定数変化法を使ってu=z(x)e4x…(3)の形で(2)の解を求める．

積の微分法により

dudxnn=.

dzdxnne4x+4ze4xだから(2)は次の形になる．

dzdxnne4x+4ze4x−4ze4x=−2ex

dzdxnne4x=−2ex

dzdxnn=−2e−3x

z=−2∫wne−3xdx=.

23ne−3x+C

(3)に戻すと

u=(.

23ne−3x+C)e4x

23nex+Ce4x

(1)に戻すと

1y2n=.

23nex+Ce4x→4

【問題２】

　微分方程式.

dydxnn+.

yxn=.

23ny4の一般解を求めてください．

1y3=x+Cx3 2y3=x3+Cx

1y3nn=x+Cx3 4.

1y3nn=x3+Cx

変数の変換?同次方程式?非同次方程式?解答

元の方程式の両辺をy4で割ると

.y−4 .

dydxnn+.

1xny−3=.

23n

そこで，u=y−3…(1) とおくと

dudxnn=−3y−4 .

dydxnn

となるから，uに関する方程式は

.−.

13n.

dudxnn+.

uxn=.

23n

dudxnn−.

3uxnn=−2…(2)

となり，線形微分方程式になります．

はじめに，同次方程式.

dudxnn−.

3uxnn=0を解く．

duunn=.

3xndx

∫wn.

duunn=∫wn.

3xndx

log|u|=3log|x|+C1=log|x3|+C1
=log|x3|+log eC1=log|eC1x3|
|u|=|eC1x3|
u=±eC1x3=C2x3

次に，定数変化法を使ってu=z(x)x3…(3)の形で(2)の解を求める．

積の微分法により

dudxnn=.

dzdxnnx3+3zx2だから(2)は次の形になる．

dzdxnnx3+3zx2−.

3xnzx3=−2

dzdxnnx3=−2

dzdxnn=−2x−3

z=x−2+C

(3)に戻すと
u=(x−2+C)x3=x+Cx3

(1)に戻すと

1y3n=x+Cx3→3

【問題３】

　微分方程式.

dydxnn+.

yxn=y2logx (x>0)の一般解を求めてください．

1yn={−.

(logx)22nnnnnn+C}x 2.

1yn={ log(logx)+C }x

1y2n={−.

(logx)22nnnnnnn+C}x 4.

1y2n={log(logx)+C}x

変数の変換?同次方程式?非同次方程式?解答

元の方程式の両辺をy2で割ると

.y−2 .

dydxnn+.

1xny−1=log x

そこで，u=y−1…(1) とおくと

dudxnn=−y−2 .

dydxnn

となるから，uに関する方程式は

.−.

dudxnn+.

uxn=log x

dudxnn−.

uxn=−log x…(2)

となり，線形微分方程式になります．

はじめに，同次方程式.

dudxnn−.

uxn=0を解く．

duunn=.

dxxnn

∫wn.

duunn=∫wn.

dxxnn

log|u|=log|x|+C1=log|x|+log eC1=log|eC1x|
|u|=|eC1x|
u=±eC1x=C2x

次に，定数変化法を使ってu=z(x)x…(3)の形で(2)の解を求める．

積の微分法により

dudxnn=.

dzdxnnx+zだから(2)は次の形になる．

∫wn.

logxxnnnndxは，log x=t

とおく置換積分で求められます．

dtdxnn=.

1xnだから

∫wn.

logxxnnnndx=∫wn.

txnx dt

=∫wnt dt=.

t22n+C

(logx)22nnnnnn+C

dzdxnnx+z−z=−log x

dzdxnnx=−log x

dzdxnn=−.

logxxnnnn

z=−∫wn.

logxxnnnndx

=−(.

(logx)22nnnnnn+C3 )

=−.

(logx)22nnnnnn+C

(3)に戻すと
u=(−.

(logx)22nnnnnn+C)x

(1)に戻すと

1yn=(−.

(logx)22nnnnnn+C)x→1

【問題４】

　微分方程式.

dydxnn+.

y2n=y3cosxの一般解を求めてください．

1yn=sinx−cosx+Ce−x 2.

1yn=cosx−sinx+Ce−x

1y2n=sinx−cosx+Cex 4.

1y2n=cosx−sinx+Cex

変数の変換?同次方程式?非同次方程式?解答

元の方程式の両辺をy3で割ると

.y−3 .

dydxnn+.

12ny−2=cosx

そこで，u=y−2…(1) とおくと

dudxnn=−2y−3 .

dydxnn

となるから，uに関する方程式は

.−.

12n.

dudxnn+.

u2n=cosx

dudxnn−u=−2cosx…(2)

となり，線形微分方程式になります．

はじめに，同次方程式.

dudxnn−u=0を解く．

duunn=dx

∫wn.

duunn=∫wndx

log|u|=x+C1=log ex+C1=log(eC1ex)
|u|=eC1ex
u=±eC1ex=C2ex

次に，定数変化法を使ってu=z(x)ex…(3)の形で(2)の解を求める．

積の微分法により

dudxnn=.

dzdxnnex+zexだから(2)は次の形になる．

I=∫wne−xcos x dxは，

部分積分を２回行って求めることができます．

f=e−x	f '=−e−x
g'=cos x	g=sin x

I=e−xsin x+∫wne−xsin x dx

p=e−x	p'=−e−x
q'=sin x	q=−cos x

I=e−xsin x+(−e−xcos x

−∫wne−xcos x dx)
I=e−xsin x−e−xcos x−I
2I=e−xsin x−e−xcos x

I=.

e−x2nn(sin x−cos x)+C3

dzdxnnex+zex−zex

=−2cos x

dzdxnnex=−2cos x

dzdxnn=−2e−xcos x

z=−2∫wne−xcos x dx

=−e−x(sin x−cos x)−2C3

=e−x(cos x−sin x)+C

(3)に戻すと
u=cos x−sin x+Cex

(1)に戻すと

1y2n=cos x−sin x+Cex→4

ベルヌーイ型の微分方程式［例と解］

$\frac{dy}{dx}+ P(x)y=Q(x)y^n\hspace{10}(n\ne 0\hspace{2}1)$
において

$P(x)=1.\hspace{3}\rm{const},\hspace{5}2.\hspace{3}\frac{1}{x},\hspace{5}3.\hspace{3}x^{n},\hspace{5}4.\hspace{3}e^{x},$
$5.\hspace{3}\sin x,\hspace{3}\cos x,\hspace{5}6.\hspace{3}\log kx$
$Q(x)=(1)\hspace{3}\rm{const},\hspace{3}(2)\hspace{3}x^n,\hspace{3}(3)\hspace{3}e^{x},\hspace{3}(4)\hspace{3}\sin x,\hspace{3}\cos x$
$(5)\hspace{3}\log x$
$y^n=i)\hspace{3}y^2,\hspace{3}ii)\hspace{3}y^3,\hspace{3}iii)\hspace{3}y^4$

のできるだけ多くの組合せで方程式と解を示す．

1.(1)i)
$\frac{dy}{dx}+ 2y=3y^2$

両辺を $y^2$ で割る
$\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}+ \frac{2}{y}=3$
$u=\frac{1}{y}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-y^{-2}\frac{dy}{dx}$
$-\frac{du}{dx}+ 2u=3$
$\frac{du}{dx}-2u=-3$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=2u$ の１つの解は $u=e^{2x}$
①の解は $u=e^{2x}\left(\int\frac{-3}{e^{2x}}dx+ C\right)=Ce^{2x}+\frac{3}{2}$
元の方程式の解は
$y=\frac{1}{Ce^{2x}+\frac{3}{2}}$ …（一般解）

1.(2)ii)
$\frac{dy}{dx}+ 3y=xy^3$

両辺を $y^3$ で割る
$\frac{1}{y^3}\frac{dy}{dx}+ \frac{3}{y}=x$
$u=\frac{1}{y^2}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-2y^{-3}\frac{dy}{dx}$
$\frac{1}{-2}\frac{du}{dx}+ 3u=x$
$\frac{du}{dx}-6u=-2x$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=6u$ の１つの解は $u=e^{6x}$
①の解は $u=e^{6x}\left(\int\frac{-2x}{e^{6x}}dx+ C\right)=e^{6x}\{C+\frac{(6x+ 1)e^{-6x}}{18}\}$
元の方程式の解は
$\frac{1}{y^2}=e^{6x}\{C+\frac{(6x+ 1)e^{-6x}}{18}\}$
$y=\frac{e^{-3x}}{\sqrt{\frac{(6x+ 1)e^{-6x}}{18}+ C}}$ …（一般解）

1.(3)iii)
$\frac{dy}{dx}+ 4y=e^{2x}y^4$

両辺を $y^4$ で割る
$\frac{1}{y^4}\frac{dy}{dx}+ \frac{4}{y^3}=e^{2x}$
$u=\frac{1}{y^3}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-3y^{-4}\frac{dy}{dx}$
$\frac{1}{-3}\frac{du}{dx}+ 4u=e^{2x}$
$\frac{du}{dx}-12u=-3e^{2x}$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=12u$ の１つの解は $u=e^{12x}$
①の解は $u=e^{12x}\left(\int\frac{-3e^{2x}}{e^{12x}}dx+ C\right)=e^{12x}(\frac{3}{10}e^{-10x}+ C)$
元の方程式の解は
$\frac{1}{y^3}=e^{12x}(\frac{3}{10}e^{-10x}+ C)$
$y=\frac{e^{-4x}}{\sqrt[3]{\frac{3}{10}e^{-10x}+ C}}$ …（一般解）

1.(4)i)
$\frac{dy}{dx}+ y=y^2\sin 2x$

両辺を $y^2$ で割る
$\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}+ \frac{1}{y}=\sin 2x$
$u=\frac{1}{y}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-y^{-2}\frac{dy}{dx}$
$-\frac{du}{dx}+ u=\sin 2x$
$\frac{du}{dx}-u=-\sin 2x$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=u$ の１つの解は $u=e^{x}$
①の解は $u=e^{x}\left(\int\frac{-\sin 2x}{e^{x}}dx+ C\right)$
この中で $I=\int\sin 2xe^{-x}dx$ は部分積分を２回行うことにより求めることができる．
$I=\frac{e^{-x}(\sin 2x+ 2\cos 2x)}{5}$
$u=e^{x}\left(\frac{e^{-x}(\sin 2x+ 2\cos 2x)}{5}+ C\right)$
$=\frac{\sin 2x+ 2\cos 2x}{5}+ Ce^x$
元の方程式の解は
$\frac{1}{y}=\frac{\sin 2x+ 2\cos 2x}{5}+ Ce^x$
$y=\frac{1}{\frac{\sin 2x+ 2\cos 2x}{5}+ Ce^x}$ …（一般解）

1.(4)ii)
$\frac{dy}{dx}+ 2y=y^3\cos 4x$

両辺を $y^3$ で割る
$\frac{1}{y^3}\frac{dy}{dx}+ \frac{2}{y^2}=\cos 4x$
$u=\frac{1}{y^2}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-2y^{-3}\frac{dy}{dx}$
$\frac{1}{-2}\frac{du}{dx}+ 2u=\cos 4x$
$\frac{du}{dx}-4u=-2\cos 4x$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=4u$ の１つの解は $u=e^{4x}$
①の解は $u=e^{4x}\left(-2\int\frac{\cos 4x}{e^{4x}}dx+ C\right)$
この中で $I=\int\cos 4xe^{-4x}dx$ は部分積分を２回行うことにより求めることができる．
$I=\frac{e^{-4x}(\sin 4x-\cos 4x)}{8}$
$u=e^{4x}\left(\frac{e^{-4x}(\cos 4x-\sin 4x)}{4}+ C\right)$
$=\frac{\cos 4x-\sin 4x}{4}+ Ce^{4x}$
元の方程式の解は
$\frac{1}{y^2}=\frac{\cos 4x-\sin 4x}{4}+ Ce^{4x}$
$y=\frac{1}{\sqrt{\frac{\cos 4x-\sin 4x}{4}+ Ce^{4x}}}$ …（一般解）

1.(5)i)
$\frac{dy}{dx}+ y=y^2\log x$

両辺を $y^2$ で割る
$\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}+ \frac{1}{y}=\log x$
$u=\frac{1}{y}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-y^{-2}\frac{dy}{dx}$
$-\frac{du}{dx}+ u=\log x$
$\frac{du}{dx}-u=-\log x$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=u$ の１つの解は $u=e^{x}$
①の解は $u=e^{x}\left(-\int\frac{\log x}{e^{x}}dx+ C\right)$
　この形の積分は初等的に（高校で習う整式，分数関数，指数関数，対数関数，三角関数やそれらの有限回の組合せで）表すことはできない．---敢えて書く場合は不完全ガンマ関数と呼ばれるもので書くことになるが，ここでは積分記号を残したまま解とする--この形なら微分して検算することができる．
元の方程式の解は
$y=\frac{e^{-x}}{C-\int\frac{\log x}{e^{x}}dx}$ …（一般解）

※検算は次のようにして行える（以下の問題についても同様）
$I=\int\frac{\log x}{e^{x}}dx$ とおくと， $I\apos=\frac{\log x}{e^{x}}$
$y=\frac{e^{-x}}{C-I}$ のとき
$y\apos=\frac{-e^{-x}(C-I)+ e^{-x}I\apos}{(C-I)^2}=\frac{-e^{-x}(C-I)+ e^{-2x}\log x}{(C-I)^2}$
$y\apos+ y=\frac{-e^{-x}(C-I)+ e^{-2x}\log x}{(C-I)^2}+\frac{e^{-x}}{C-I}$
$=\frac{-e^{-x}(C-I)+ e^{-2x}\log x+ e^{-x}(C-I)}{(C-I)^2}$
$=\frac{e^{-2x}\log x}{(C-I)^2}=y^2\log x$
だから解となっている

2.(1)i)
$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=y^2$

両辺を $y^2$ で割る
$\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}+ \frac{1}{xy}=1$
$u=\frac{1}{y}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-y^{-2}\frac{dy}{dx}$
$-\frac{du}{dx}+\frac{u}{x}=1$
$\frac{du}{dx}-\frac{u}{x}=-1$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=\frac{u}{x}$ の１つの解は $u=x$
①の解は $u=x(-\int\frac{1}{x}dx+ C)=x(-\log x+ C)$
元の方程式の解は
$y=\frac{1}{x(C-\log x)}$ …（一般解）

2.(2)ii)
$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=x^2y^3$

両辺を $y^3$ で割る
$\frac{1}{y^3}\frac{dy}{dx}+ \frac{1}{xy^2}=x^2$
$u=\frac{1}{y^2}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-2y^{-3}\frac{dy}{dx}$
$\frac{1}{-2}\frac{du}{dx}+\frac{u}{x}=x^2$
$\frac{du}{dx}-2\frac{u}{x}=-2x^2$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=2\frac{u}{x}$ の１つの解は $u=x^2$
①の解は $u=x^2(-2\int\frac{x^2}{x^2}dx+ C)=x^2(C-2x)$
元の方程式の解は
$\frac{1}{y^2}=x^2(C-2x)$
$y=\frac{1}{x\sqrt{C-2x}}$ …（一般解）

2.(3)iii)
$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=e^xy^4$

両辺を $y^4$ で割る
$\frac{1}{y^4}\frac{dy}{dx}+ \frac{1}{xy^3}=e^x$
$u=\frac{1}{y^3}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-3y^{-4}\frac{dy}{dx}$
$\frac{1}{-3}\frac{du}{dx}+\frac{u}{x}=e^x$
$\frac{du}{dx}-3\frac{u}{x}=-3e^x$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=3\frac{u}{x}$ の１つの解は $u=x^3$
①の解は $u=x^3(-3\int\frac{e^x}{x^3}dx+ C)$
　この形の積分は初等的に（高校で習う整式，分数関数，指数関数，対数関数，三角関数やそれらの有限回の組合せで）表すことはできない．---敢えて書く場合は不完全ガンマ関数と呼ばれるもので書くことになるが，ここでは積分記号を残したまま解とする--この形なら微分して検算することができる．
元の方程式の解は
$\frac{1}{y^3}=x^3(-3\int\frac{e^x}{x^3}dx+ C)$
$y=\frac{1}{x\sqrt[3]{C-3\int\frac{e^x}{x^3}dx}}$ …（一般解）

2.(4)i)
$\frac{dy}{dx}+\frac{2y}{x}=y^2\sin 3x$

両辺を $y^2$ で割る
$\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}+ \frac{2}{xy}=\sin 3x$
$u=\frac{1}{y}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-y^{-2}\frac{dy}{dx}$
$-\frac{du}{dx}+\frac{2u}{x}=\sin 3x$
$\frac{du}{dx}-2\frac{u}{x}=-\sin 3x$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=2\frac{u}{x}$ の１つの解は $u=x^2$
①の解は $u=x^2(-\int\frac{\sin 3x}{x^2}dx+ C)$
　この形の積分は初等的に（高校で習う整式，分数関数，指数関数，対数関数，三角関数やそれらの有限回の組合せで）表すことはできない．---敢えて書く場合は不完全ガンマ関数と呼ばれるもので書くことになるが，ここでは積分記号を残したまま解とする--この形なら微分して検算することができる．
元の方程式の解は
$\frac{1}{y}=x^2(-\int\frac{\sin 3x}{x^2}dx+ C)$
$y=\frac{1}{x^2(-\int\frac{\sin 3x}{x^2}dx+ C)}$ …（一般解）

2.(6)i)
$\frac{dy}{dx}+\frac{3y}{x}=y^2\log x$

両辺を $y^2$ で割る
$\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}+ \frac{3}{xy}=\log x$
$u=\frac{1}{y}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-y^{-2}\frac{dy}{dx}$
$-\frac{du}{dx}+\frac{3u}{x}=\log x$
$\frac{du}{dx}-\frac{3u}{x}=-\log x$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=3\frac{u}{x}$ の１つの解は $u=x^3$
①の解は $u=x^3(-\int\frac{\log x}{x^3}dx+ C)$
$=x^3\{C-(\frac{x^{-2}}{-2}\log x-\int\frac{x^{-2}}{-2}\times \frac{1}{x}dx)\}$
$=x^3\{C+\frac{\log x}{2x^2}+\frac{1}{4x^2}\}=Cx^2+\frac{x\log x}{2}+\frac{1}{4}$
元の方程式の解は
$y=\frac{1}{Cx^2+\frac{x\log x}{2}+\frac{1}{4}}$ …（一般解）

3.(1)i)
$\frac{dy}{dx}+ xy=y^2$

両辺を $y^2$ で割る
$\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}+ \frac{x}{y}=1$
$u=\frac{1}{y}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-y^{-2}\frac{dy}{dx}$
$-\frac{du}{dx}+ ux=1$
$\frac{du}{dx}-ux=-1$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=ux$ の１つの解は $u=e^{\frac{x^2}{2}}$
①の解は $u=e^{\frac{x^2}{2}}(-\int\frac{1}{e^{\frac{x^2}{2}}}dx+ C)$
$=e^{\frac{x^2}{2}}(-\int e^{-\frac{x^2}{2}}dx+ C)$

$y=e^{-\frac{x^2}{2}$

　この形の積分 $\int e^{-\frac{x^2}{2}}dx$ は初等的に（高校で習う整式，分数関数，指数関数，対数関数，三角関数やそれらの有限回の組合せで）表すことはできない．---敢えて書く場合は誤差関数と呼ばれるもので書くことになるが，ここでは積分記号を残したまま解とする--この形なら微分して検算することができる．
元の方程式の解は
$\frac{1}{y}=e^{\frac{x^2}{2}}(-\int e^{-\frac{x^2}{2}}dx+ C)$
$y=\frac{e^{-\frac{x^2}{2}}}{C-\int e^{-\frac{x^2}{2}}dx}$ …（一般解）

3.(2)ii)
$\frac{dy}{dx}+ 2x^2y=x^2y^3$

ベルヌーイ型の微分方程式 $\frac{dy}{dx}+ P(x)y=Q(x)y^n$
において， $P(x)$ が整式の場合，解が初等的に表せることは多くないが，この問題のように $P(x)$ が $Q(x)$ の定数倍のときは，初等的に解ける．（実際には，変数分離型になる）

両辺を $y^3$ で割る
$\frac{1}{y^3}\frac{dy}{dx}+ \frac{3x^2}{y^2}=x^2$
$u=\frac{1}{y^2}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-2y^{-3}\frac{dy}{dx}$
$\frac{1}{-2}\frac{du}{dx}+ 3x^2u=x^2$
$\frac{du}{dx}-6x^2u=-2x^2$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=6x^2u$ の１つの解は $u=e^{2x^3}$
①の解は $u=e^{2x^3}(-\int\frac{-2x^2}{e^{2x^3}}dx+ C)$
$=e^{2x^3}(C-2\int x^2e^{-2x^3}dx)$
この積分は $t=-2x^3$ とおく置換積分でできる．
$u=e^{2x^3}(C+\frac{e^{-2x^3}}{3})$
元の方程式の解は
$\frac{1}{y^2}=e^{2x^3}(C+\frac{e^{-2x^3}}{3})=Ce^{2x^3}+\frac{1}{3}$
$y=\frac{1}{\sqrt{Ce^{2x^3}+\frac{1}{3}}}$ …（一般解）

3.(3)ii)
$\frac{dy}{dx}+ xy=e^xy^2$

両辺を $y^2$ で割る
$\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}+ \frac{x}{y}=e^x$
$u=\frac{1}{y}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-y^{-2}\frac{dy}{dx}$
$-\frac{du}{dx}+ ux=e^x$
$\frac{du}{dx}-ux=-e^x$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=ux$ の１つの解は $u=e^{\frac{x^2}{2}}$
①の解は $u=e^{\frac{x^2}{2}}(-\int\frac{e^x}{e^{\frac{x^2}{2}}}dx+ C)$
$=e^{\frac{x^2}{2}}(-\int e^{x-\frac{x^2}{2}}dx+ C)$

$y=e^{x-\frac{x^2}{2}$

　この形の積分 $\int e^{x-\frac{x^2}{2}}dx$ は初等的に（高校で習う整式，分数関数，指数関数，対数関数，三角関数やそれらの有限回の組合せで）表すことはできない．---敢えて書く場合は誤差関数と呼ばれるもので書くことになるが，ここでは積分記号を残したまま解とする--この形なら微分して検算することができる．
元の方程式の解は
$\frac{1}{y}=e^{\frac{x^2}{2}}(C-\int e^{x-\frac{x^2}{2}}dx)$
$y=\frac{e^{-\frac{x^2}{2}}}{C-\int e^{x-\frac{x^2}{2}}dx}$ …（一般解）

3.(4)ii)
$\frac{dy}{dx}+ 2x^3y=y^3\sin x$

両辺を $y^3$ で割る
$\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}+ \frac{2x^3}{y^2}=\sin x$
$u=\frac{1}{y^2}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-2y^{-3}\frac{dy}{dx}$
$\frac{1}{-2}\frac{du}{dx}+ 2x^3u=\sin x$
$\frac{du}{dx}-4x^3u=-2\sin x$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=4x^3u$ の１つの解は $u=e^{x^4}$
①の解は $u=e^{x^4}(-2\int\frac{\sin x}{e^{x^4}}dx+ C)$
$=e^{x^4}(C-2\int e^{-x^4}\sin xdx)$
　この形の積分 $\int e^{-x^4}\sin xdx$ は初等的に（高校で習う整式，分数関数，指数関数，対数関数，三角関数やそれらの有限回の組合せで）表すことはできない．---ここでは積分記号を残したまま解とする--この形なら微分して検算することができる．

$y=e^{-x^4}\sin x$

元の方程式の解は
$\frac{1}{y^2}=e^{x^4}(C-2\int e^{-x^4}\sin xdx)$
$y=\frac{e^{-\frac{x^4}{2}}}{\sqrt{C-2\int e^{-x^4}\sin xdx}}$ …（一般解）

3.(5)iii)
$\frac{dy}{dx}+ x^2y=y^4\log x$

両辺を $y^4$ で割る
$\frac{1}{y^4}\frac{dy}{dx}+ \frac{x^2}{y^3}=\log x$
$u=\frac{1}{y^3}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-3y^{-4}\frac{dy}{dx}$
$\frac{1}{-3}\frac{du}{dx}+ x^2u=\log x$
$\frac{du}{dx}-3x^2u=-3\log x$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=3x^2u$ の１つの解は $u=e^{x^3}$
①の解は $u=e^{x^3}(-3\int\frac{\log x}{e^{x^3}}dx+ C)$
$=e^{x^3}(C-3\int e^{-x^3}\log xdx)$
　この形の積分 $\int e^{-x^3}\log xdx$ も初等的に表すことはできない．---ここでは積分記号を残したまま解とする．
元の方程式の解は
$\frac{1}{y^3}=e^{x^3}(C-3\int e^{-x^3}\log xdx)$
$y=\frac{e^{-\frac{x^3}{3}}}{\sqrt[3]{C-3\int e^{-x^3}\log xdx}$ …（一般解）

4.(1)i)
$\frac{dy}{dx}+ e^xy=y^2$

両辺を $y^2$ で割る
$\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}+ \frac{e^x}{y}=2$
$u=\frac{1}{y}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-y^{-2}\frac{dy}{dx}$
$\frac{1}{-1}\frac{du}{dx}+ e^xu=2$
$\frac{du}{dx}-e^xu=-2$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=e^xu$ の１つの解は $u=e^{e^^x}$
①の解は $u=e^{e^^x}(-2\int\frac{1}{e^{e^^x}}dx+ C)$
$=e^{e^^x}(C-2\int e^{-e^^x}dx)$
　この形の積分 $\int e^{-e^^x}dx$ も初等的に表すことはできない．---ここでは積分記号を残したまま解とする．
元の方程式の解は
$\frac{1}{y}=e^{e^^x}(C-2\int e^{-e^^{x}}dx)$
$y=\frac{e^{-e^^{x}}}{C-2\int e^{-e^^{x}}dx}$ …（一般解）

4.(2)ii)
$\frac{dy}{dx}+ e^xy=x^2y^3$

両辺を $y^3$ で割る
$\frac{1}{y^3}\frac{dy}{dx}+ \frac{e^x}{y^2}=x^2$
$u=\frac{1}{y^2}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-2y^{-3}\frac{dy}{dx}$
$\frac{1}{-2}\frac{du}{dx}+ e^xu=x^2$
$\frac{du}{dx}-2e^xu=-2x^2$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=2e^xu$ の１つの解は $u=e^{2e^^x}$
①の解は $u=e^{2e^^x}(-2\int\frac{x^2}{e^{2e^^x}}dx+ C)$
$=e^{2e^^x}(C-2\int x^2e^{-2e^^x}dx)$
　この形の積分 $\int x^2e^{-2e^^x}dx$ も初等的に表すことはできない．---ここでは積分記号を残したまま解とする．
元の方程式の解は
$\frac{1}{y^2}=e^{2e^^x}(C-2\int x^2e^{-2e^^x}dx)$
$y=\frac{e^{-e^^{x}}}{C-2\int x^2e^{-2e^^{x}}dx}$ …（一般解）

4.(3)i)
$\frac{dy}{dx}+ e^xy=e^xy^2$

両辺を $y^2$ で割る
$\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}+ \frac{e^x}{y}=e^x$
$u=\frac{1}{y}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-y^{-2}\frac{dy}{dx}$
$\frac{1}{-1}\frac{du}{dx}+ e^xu=e^x$
$\frac{du}{dx}-e^xu=-e^x$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=e^xu$ の１つの解は $u=e^{e^^x}$
①の解は $u=e^{e^^x}(-\int\frac{e^x}{e^{e^^x}}dx+ C)$

$Q(x)$ が $P(x)$ の定数倍のときは，実質的に変数分離型になる
$\frac{dy}{dx}=e^xy(y-1)$
$\frac{dy}{y(y-1)}=e^xdx$

$I=\int \frac{e^x}{e^{e^^x}}dx$ とおく
$e^x=t$ の置換積分により
$I=\int \frac{t}{e^{t}}\frac{dt}{t}=\int e^{-t}dt=-e^{-t}=-e^{-e^t}$
$u=e^{e^^x}(e^{-e^^t}+ C)=1+ Ce^{-e^x}$
元の方程式の解は
$\frac{1}{y}=1+ Ce^{-e^^x}$
$y=\frac{1}{1+ Ce^{-e^^x}}$ …（一般解）

4.(4)ii)
$\frac{dy}{dx}+ e^xy=y^3\cos x$

両辺を $y^3$ で割る
$\frac{1}{y^3}\frac{dy}{dx}+ \frac{e^x}{y^2}=\cos x$
$u=\frac{1}{y^2}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-2y^{-3}\frac{dy}{dx}$
$\frac{1}{-2}\frac{du}{dx}+ e^xu=\cos x$
$\frac{du}{dx}-2e^xu=-2\cos x$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=2e^xu$ の１つの解は $u=e^{2e^^x}$
①の解は $u=e^{2e^^{x}}(-2\int\frac{\cos x}{e^{2e^^x}}dx+ C)$
$=e^{2e^^x}(C-2\int\frac{\cos x}{e^{2e^^x}}dx)$
　この形の積分 $\int\frac{\cos x}{e^{2e^^x}}dx$ も初等的に表すことはできない．---ここでは積分記号を残したまま解とする．
元の方程式の解は
$\frac{1}{y^2}=e^{2e^^x}(C-2\int\frac{\cos x}{e^{2e^^x}}dx)$
$y=\frac{e^{-e^^{x}}}{\sqrt{C-2\int\frac{\cos x}{e^{2e^^x}}dx}}$ …（一般解）

4.(5)i)
$\frac{dy}{dx}+ e^xy=y^2\log x$

両辺を $y^2$ で割る
$\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}+ \frac{e^x}{y}=\log x$
$u=\frac{1}{y}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-y^{-2}\frac{dy}{dx}$
$-\frac{du}{dx}+ e^xu=\log x$
$\frac{du}{dx}-e^xu=-\log x$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=e^xu$ の１つの解は $u=e^{e^^x}$
①の解は $u=e^{e^^{x}}(-\int\frac{\log x}{e^{e^^x}}dx+ C)$
$=e^{2e^^x}(C-\int\frac{\log x}{e^{e^^x}}dx)$
　この形の積分 $\int\frac{\log x}{e^{e^^x}}dx$ も初等的に表すことはできない．---ここでは積分記号を残したまま解とする．
元の方程式の解は
$\frac{1}{y}=e^{e^^x}(C-\int\frac{\log x}{e^{e^^x}}dx)$
$y=\frac{e^{-e^^{x}}}{C-\int\frac{\log x}{e^{e^^x}}dx}$ …（一般解）

5.(1)i)
$\frac{dy}{dx}+ y\sin x=2y^2$

両辺を $y^2$ で割る
$\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}+ \frac{\sin x}{y}=2$
$u=\frac{1}{y}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-y^{-2}\frac{dy}{dx}$
$-\frac{du}{dx}+ u\sin x=2$
$\frac{du}{dx}-u\sin x=-2$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=u\sin x$ の１つの解は $u=e^{-\cos x}$
①の解は $u=e^{-\cos x}(-\int\frac{2}{e^{-\cos x}}dx+ C)$
$=e^{-\cos x}(C-\int\frac{2}{e^{-\cos x}}dx)$
　この形の積分 $\int\frac{2}{e^{-\cos x}}dx$ も初等的に表すことはできない．---ここでは積分記号を残したまま解とする．
元の方程式の解は
$\frac{1}{y}=e^{-\cos x}(C-\int\frac{2}{e^{-\cos x}}dx)$
$y=\frac{e^{\cos x}}{C-2\int e^{\cos x}dx}$ …（一般解）

5.(2)i)
$\frac{dy}{dx}+ y\cos x=x^3y^2$

両辺を $y^2$ で割る
$\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}+ \frac{\cos x}{y}=x^3$
$u=\frac{1}{y}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-y^{-2}\frac{dy}{dx}$
$-\frac{du}{dx}+ u\cos x=x^3$
$\frac{du}{dx}-u\cos x=-x^3$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=u\cos x$ の１つの解は $u=e^{\sin x}$
①の解は $u=e^{\sin x}(-\int\frac{x^3}{e^{\sin x}}dx+ C)$
　この形の積分 $\int\frac{2}{e^{-\cos x}}dx$ も初等的に表すことはできない．---ここでは積分記号を残したまま解とする．
元の方程式の解は
$\frac{1}{y}=e^{\sin x}(C-\int\frac{x^3}{e^{\sin x}}dx)$
$y=\frac{e^{-\sin x}}{C-\int x^3e^{-\sin x}dx}$ …（一般解）

5.(3)ii)
$\frac{dy}{dx}+ y\sin x=e^xy^3$

両辺を $y^3$ で割る
$\frac{1}{y^3}\frac{dy}{dx}+ \frac{\sin x}{y^2}=e^x$
$u=\frac{1}{y^2}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-2y^{-3}\frac{dy}{dx}$
$\frac{1}{-2}\frac{du}{dx}+ u\sin x=e^x$
$\frac{du}{dx}-2u\sin x=-2e^x$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=2u\sin x$ の１つの解は $u=e^{-2\cos x}$
①の解は $u=e^{-2\cos x}(-2\int\frac{e^x}{e^{-2\cos x}}dx+ C)$
$=e^{-2\cos x}(C-2\int e^{x+ 2\cos x}dx)$
　この形の積分 $\int e^{x+ 2\cos x}dx$ も初等的に表すことはできない．---ここでは積分記号を残したまま解とする．
元の方程式の解は
$\frac{1}{y^2}=e^{-2\cos x}(C-2\int e^{x+ 2\cos x}dx)$
$y=\frac{e^{\cos x}}{\sqrt{C-2\int e^{x+ 2\cos x}dx}}$ …（一般解）

6.(3)ii)
$\frac{dy}{dx}+ y\log x=x^2y^3$

両辺を $y^3$ で割る
$\frac{1}{y^3}\frac{dy}{dx}+ \frac{\sin x}{y^2}=e^x$
$u=\frac{1}{y^2}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-2y^{-3}\frac{dy}{dx}$
$\frac{1}{-2}\frac{du}{dx}+ u\log x=x^2$
$\frac{du}{dx}-2u\log x=-2x^2$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=2u\log x$ の１つの解は $u=e^{2(x\log x-x)}$
①の解は $u=e^{2(x\log x-x)}(-2\int\frac{x^2}{e^{2(x\log x-x)}}dx+ C)$
$=e^{-2\cos x}(C-2\int e^{x^2e^{x-x\log x}}dx)$
　この形の積分 $\int e^{x^2e^{x-x\log x}}dx$ も初等的に表すことはできない．---ここでは積分記号を残したまま解とする．
元の方程式の解は
$\frac{1}{y^2}=e^{-2\cos x}(C-2\int e^{x^2e^{x-x\log x}}dx)$
$y=\frac{e^{x-x\log x}}{\sqrt{C-2\int e^{x^^2e^^{2(x-x\log x)}}dx}}$ …（一般解）

6.(4)i)
$\frac{dy}{dx}+ y\log x=y^2\sin x$

両辺を $y^2$ で割る
$\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}+ \frac{\sin x}{y}=\sin x$
$u=\frac{1}{y}$ とおく
$\frac{du}{dx}=-y^{-2}\frac{dy}{dx}$
$\frac{1}{-1}\frac{du}{dx}+ u\log x=\sin x$
$\frac{du}{dx}-u\log x=-\sin x$ …①は線形微分方程式
①の同次方程式 $u\apos=u\log x$ の１つの解は $u=e^{x\log x-x}$
①の解は $u=e^{x\log x-x}(-\int\frac{\sin x}{e^{x\log x-x}}dx+ C)$
$=e^{x\log x-x}(C-\int e^{x\log x-x}\sin xdx)$
　この形の積分 $\int e^{x\log x-x}\sin xdx$ も初等的に表すことはできない．---ここでは積分記号を残したまま解とする．
元の方程式の解は
$\frac{1}{y}=e^{x\log x-x}(C-\int e^{x\log x-x}\sin xdx)$
$y=\frac{e^{x-x\log x}}{C-\int e^{x\log x-x}\sin xdx}$ …（一般解）

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベルヌーイ形微分方程式について／16.10.12］

詳細な式変形があるので、自分の間違いにすぐ気が付きます。大変に参考になっています。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

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