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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「点と直線」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓◎内分点,外分点の図示
↓◎内分点,外分点の座標計算
↓◎内分点,外分点の座標
↓三角形の重心
↓2点間の距離の公式
↓点と直線の距離
↓三角形の形状問題
↓同(2)
↓1点と傾き→直線の方程式
↓2点→直線の方程式
↓2直線の平行条件
↓2直線の垂直条件
↓3点が1直線上にあるための条件
↓3直線が1点で交わるための条件
2直線の交点を通る直線の方程式

≪重要≫
　２直線 が垂直かどうかは傾きm, m'の関係だけで決まり，切片k, k'には無関係です．

[1]
　直線y=2x+1と
　直線$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+3$とは
$2\times (-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-1$
だから互いに垂直
※切片の値1, 3は関係ない

[2]
　直線$y={\displaystyle \frac{4}{3}}x-2$と
　直線$y=-{\displaystyle \frac{3}{4}}x+5$とは
${\displaystyle \frac{4}{3}}\times (-{\displaystyle \frac{3}{4}})=-1$
だから互いに垂直
※切片の値−2, 5は関係ない

[3]
　直線y=2xと
　直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+4$とは
$2\times ({\displaystyle \frac{1}{2}})=1\ne -1$
だから互いに垂直ではない
※切片の値0, 4は関係ない

[4]
　直線y=2x−3と
　直線y=−2x+6とは
2×(−2)=−4≠−1
だから互いに垂直ではない
※切片の値−3, 6は関係ない

【解説】
　初めに，2直線y=mx+k…(1) とy=m'x+k'…(2) とが垂直であるかどうかは，切片k, k'の値には関係ないことに注意しましょう．
　右図のような(1)と(2)が垂直であるかどうかを調べたいときに，(1)の代わりに(1)を上下に平行移動した直線(1')を使っても結果は変わりません．同様にして(2)の代わりに(2)を上下に平行移動した直線(2')を使っても結果は変わりません．
　このようにして，切片が0となる２つのグラフy=mx…(1') とy=m'x…(2') で調べると有利です．

(A)三平方の定理を使う方法
(B)相似図形を使う方法
(C)ベクトルの垂直条件を使う方法

(A)
　図2のように原点を通る２直線OAとOBが垂直になるには，△AOBが∠AOB=90°の直角三角形になればよい．
AC=m, OC=1だから，△AOCについて三平方の定理により
$AO=\sqrt{1^2+m^2}$…(1)

BCは長さだからBC=−m'．△BOCについて三平方の定理により
$BO=\sqrt{1^2+(-m^{\prime }{)}^2}=\sqrt{1+m^{\prime 2}}$…(2)

また，例えば,m=5>0, m'=−3<0の場合に，温度計で5°と−3°の温度差が5−(−3)とするように
AB=m−m'…(3)
　△AOBについて∠AOB=90°となる条件を三平方の定理により求めると
$A{O}^2+B{O}^2=A{B}^2$
　(1)(2)(3)を代入すると
$(1+m^2)+(1+m^{\prime }2)=(m-m^{\prime 2})$
2=−2mm'
したがって
mm'=−1

(B)
　△AOB=90°のとき， これらから，△AOC∽△OBCとなるから

(C)
　ベクトルを習っているときは，ベクトルの垂直条件を考えれば簡単にできます．
ベクトル$\overrightarrow{v}=(1,m)$と$\overrightarrow{u}=(1,m^{\prime })$が垂直となるのは，それらの内積$\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u}$が0になるときだから

y=2x+1の傾きは2です $y={\displaystyle \frac{1}{2}}(x-1)={\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$の傾きは${\displaystyle \frac{1}{2}}$です $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x$の傾きは$-{\displaystyle \frac{3}{2}}$です $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}(x+3)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x-2$の傾きは$-{\displaystyle \frac{2}{3}}$です 3x+4y=0すなわち$y=-{\displaystyle \frac{3}{4}}x$の傾きは$-{\displaystyle \frac{3}{4}}$です 4x+3y=1すなわち$y=-{\displaystyle \frac{4}{3}}x+{\displaystyle \frac{1}{3}}$の傾きは$-{\displaystyle \frac{4}{3}}$です y=−x+3の傾きは−1です x+3y=0すなわち$y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x$の傾きは$-{\displaystyle \frac{1}{3}}x$です x=3はｙ軸に平行です $y={\displaystyle \frac{x}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}x$の傾きは${\displaystyle \frac{1}{3}}$です $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+3$の傾きは$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$です y=−2x+2の傾きは−2です $y={\displaystyle \frac{2}{3}}x+{\displaystyle \frac{5}{3}}$の傾きは${\displaystyle \frac{2}{3}}$です $y-1={\displaystyle \frac{3}{2}}(x-2)$すなわち$y={\displaystyle \frac{3}{2}}x-2$の傾きは${\displaystyle \frac{3}{2}}$です 4x−3y+1=0すなわち$y={\displaystyle \frac{4}{3}}x+{\displaystyle \frac{1}{3}}$の傾きは${\displaystyle \frac{4}{3}}$です 4(y−1)=3(x+2)すなわち$y={\displaystyle \frac{3}{4}}x+{\displaystyle \frac{5}{2}}$の傾きは${\displaystyle \frac{3}{4}}$です x−y+1=0すなわちy=x+1の傾きは1です y=3xの傾きは3です y=0はｘ軸に平行です y=−3x+5の傾きは−3です 傾きの積が−1になる組合せを選びます y軸に平行な直線はx軸に平行な直線と垂直になります