三角形の重心

== 三角形の重心 ==

【要点】
　3点 $A(x_1,\hspace{3}y_1),\hspace{3}B(x_2,\hspace{3}y_2),\hspace{3}C(x_3,\hspace{3}y_3)$ を頂点とする△ABCの重心Gの座標は
$\Big(\frac{x_1+ x_2+ x_3}{3},\hspace{3}\frac{y_1+ y_2+ y_3}{3}\Big)$

（用語）
三角形△ＡＢＣの頂点とその対辺の中点を結ぶ直線を，「中線」という．

△ＡＢＣの３つの中線は１点で交わる．この点を「三角形の重心」という．…(*1)

（避けて通れないこと=必ず納得しなければならないこと）
上記の定義(*1)に忠実に従って，三角形の重心を求めようとすると，「中線の交点を求める方法」が分からなければなりませんが，高校数学の教材の並べ方から言うと，重心の座標を習う段階では，まだ２直線の交点を求める方法を習っていません．（内容的にはベクトル方程式の交点［数学Ｂ］や複素数平面での直線の方程式「数学Ⅲ」で求めることができます）．

そこで，この段階で重心の座標の公式を証明するには，通常，上記の重心の定義(*1)と重心の定義から導かれる性質(*2)を取り換えて，(*2)を満たすものが重心になるということを使います．

三角形の重心は，各々の頂点と中点を結ぶ線分を2：1に内分する点になっている…(*2)

(*2)の証明←

線分の長さは，同じ色同士で「比」を表すものとする

［中学2年生で習う平行線の性質を使って証明する方法］
まず，ＡＰとＣＲの交点をＧとおくと，ＣＧ：ＧＲ=2:1になることを示す．

ＲからＡＰに平行な直線を引き，ＢＣとの交点をＤとおくと，ＡＲ：ＲＢ=1:1だからＰＤ：ＤＢ=1:1
次に，ＢＰ=ＰＣだから
ＤＰ：ＰＣ=1:2
したがって，ＣＧ：ＧＲ=ＣＰ：ＰＤ=2:1

同様にして，ＡＧ：ＧＰ=2:1になることを示す．

ＰからＣＲに平行な直線を引き，ＡＢとの交点をＥとおくと，ＣＰ：ＰＢ=1:1だからＲＥ：ＥＢ=1:1
次に，ＢＲ=ＲＡだから
ＥＲ：ＲＡ=1:2
したがって，ＡＧ：ＧＰ=ＡＲ：ＲＥ=2:1

同様にして，直線ＢＱを使ってＢＧ：ＧＱ=2:1となることを示せる．

【要点】の公式の証明←
(*2)により，「ＡＰを２：1に内分する点」の座標を求めると重心の座標になる
ＰはＢＣの中点だから，ぞの座標は
$(\frac{x_2+ x_3}{2},\hspace{3}\frac{y_2+ y_3}{2})$
次に，ＧはＡＰを2：1に内分する点だから，その座標は
$(\frac{1\times x_1+ 2\times\frac{x_2+ x_3}{2}}{2+ 1},\hspace{3}\frac{1\times y_1+ 2\times\frac{y_2+ y_3}{2}}{2+ 1})$
$=(\frac{x_1+ x_2+ x_3}{3},\hspace{3}\frac{y_1+ y_2+ y_3}{3})$ …証明終■

【例題１】

3点A(1, 2), B(3, 4), C(5, 6)を頂点とする△ABCの重心の座標を求めてください．

（解答）
$(\frac{1+ 3+ 5}{3},\hspace{3}\frac{2+ 4+ 6}{3})=(3,\hspace{3}4)$ …（答）

公式を確実に身に着けるための問題

【問題１】　（選択肢の中から正しいものをクリック）

(1)
3点A(8, 15), B(−9, −2), C(3, −10)を頂点とする△ABCの重心の座標を求めてください．

解説やり直す

$(\frac{2}{3},\hspace{3}1)$ $(2,\hspace{3}3)$ $(\frac{14}{3},\hspace{3}1)$ $(\frac{20}{3},\hspace{3}9)$

$\Big(\frac{8-9+ 3}{3},\hspace{3}\frac{15-2-10}{3}\Big)=(\frac{2}{3},\hspace{3}1)$ …（答）

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(2)
3点A(5, −3), B(4, 7), C(−6, 2)を頂点とする△ABCの重心の座標を求めてください．

解説やり直す

(0, 7) (1, 2) (2, 1) (3, 2)

$\Big(\frac{5+ 4-6}{3},\hspace{3}\frac{-3+ 7+ 2}{3}\Big)=(1,\hspace{3}2)$ …（答）

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(3)
3点A(9, −1), B(6, 5), Cを頂点とする△ABCの重心の座標がG(5, 4)になるとき，頂点Cの座標を求めてください．

解説やり直す

(0, 8) (1, 2) (2, 1) (3, 2)

C(x, y)とおくと
$\frac{9+ 6+ x}{3}=5,\hspace{5}\frac{-1+ 5+ y}{3}=4$
より
x=0, y=8
C(0, 8)…（答）

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(4)
3点A(−1, 2), B(1, 5), Cを頂点とする△ABCの重心の座標がG(1, 3)になるとき，頂点Cの座標を求めてください．

解説やり直す

(0, 8) (1, 2) (2, 1) (3, 2)

C(x, y)とおくと
$\frac{-1+ 1+ x}{3}=1,\hspace{5}\frac{2+ 5+ y}{3}=3$
より
x=3, y=2
C(3, 2)…（答）

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深く考える問題

※以下の記述は教科書レベルではありません．難しいと思ったら省略してもよい

(1) 「重心」とは何かということを端的に説明するために，三角形の均質な板（例えば三角定規）で，そこを支えると板全体を支えられる点のことだという説明をすることがある．

中学・高校の同級生の中には器用な者がいて，右図のような三角定規や下敷きを指の先でうまくバランスをとって遊んでいた．これは，「重心」をとらえているからである．

ところで，三角形の重心が
$(\frac{x_1+ x_2+ x_3}{3},\hspace{3}\frac{y_1+ y_2+ y_3}{3})$ …(*3)
で表されるのなら，その類推で四角形，五角形の重心は
$(\frac{x_1+ x_2+ x_3+ x_4}{4},\hspace{3}\frac{y_1+ y_2+ y_3+ y_4}{4})$ …(*4)
$(\frac{x_1+ x_2+ x_3+ x_4+ x_5}{5},\hspace{3}\frac{y_1+ y_2+ y_3+ y_4+ y_5}{5})$ …(*5)
になるだろうと期待するが，全然違う．

(2) 結論から言えば
$(\frac{x_1+ x_2+ x_3}{3},\hspace{3}\frac{y_1+ y_2+ y_3}{3})$
は，「発砲スチロールのトレイのように重さがほとんどなくて，構造はしっかりしている物の上に，3個の（同じ重さの）重りがあるときの重さの中心」になっています．このように複数の質点から成るシステムを質点系といいます．実は，(*3)(*4)(*5)は物理で質点系の重心を表す公式になっています．

三角形のときは，たまたま「3点の重心と三角形の重心が一致」しますが，四角形，五角形，…となるとそれらが一致するとは限りません．

次の公式は，「3つの点」「4つの点」「5つの点」に同じ重さの質量が置かれている質点系の重心を表しています．
$(\frac{x_1+ x_2+ x_3}{3},\hspace{3}\frac{y_1+ y_2+ y_3}{3})$
$(\frac{x_1+ x_2+ x_3+ x_4}{4},\hspace{3}\frac{y_1+ y_2+ y_3+ y_4}{4})$
$(\frac{x_1+ x_2+ x_3+ x_4+ x_5}{5},\hspace{3}\frac{y_1+ y_2+ y_3+ y_4+ y_5}{5})$

(3) ではなぜ「三角形の重心」という用語を使って教えているのでしょうか．
数学では，三角形の外心，内心，垂心などと並んで，三角形の重心という「用語」を次のように「定義している」のです．

「三角形の３つの中線が1点で会する点を三角形の重心という」．

この定義においては，どこにも「重さが…」とは書いてなく，読者が「重さ」を連想するのは自由ですが，「形」から決まる「場所」を定義しているだけです．そこで言われている内容は事実であり，どこにも嘘はないのです．
たまたま，三角形だけは「3点の重心」と「三角形の重心」が一致しますが，「四角形の重心」「五角形の重心」となると単純ではないので，授業では触れないでしょう．

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