２点→直線の方程式

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「点と直線」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓◎内分点,外分点の図示
↓◎内分点,外分点の座標計算
↓◎内分点,外分点の座標
↓三角形の重心

↓2点間の距離の公式
↓点と直線の距離

↓三角形の形状問題
↓同(2)

↓1点と傾き→直線の方程式
↓2点→直線の方程式

↓2直線の平行条件
↓2直線の垂直条件

↓3点が1直線上にあるための条件
↓3直線が1点で交わるための条件
2直線の交点を通る直線の方程式

== ２点を通る直線の方程式 ==

【公式】
異なる２点(x1 , y1 ),(x2 , y2 )を通る直線の方程式は
(1)　x1≠x2のとき

y - y_{1} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} (x - x_{1})

(2)　x1=x2のとき
x=x1

【解説】
　高校の数学の教書では，通常，上の公式が書かれています．
　しかし，数学に苦手意識を持っている生徒に言わせると「xやyが上にも下にもたくさん見えて，目が船酔いのように泳いでしまうので困る」らしい．
　実際には，与えられた２点の座標は定数なので，少し見やすくするために文字a,b,c,dで表すと，上の公式は次のようになります．

【公式Ⅱ】
異なる２点(a, b),(c, d)を通る直線の方程式は
(1)　a≠cのとき

y - b = \frac{d - b}{c - a} (x - a)

(2)　a=cのとき
x=a

これでx, yが１個ずつになって，直線の方程式らしく見やすくなりましたので，こちらの公式Ⅱの方で解説します．

（１つ前に習う公式）
　１点(a, b)を通り，傾きmの直線の方程式は
y−b=m(x−a)
です．

なぜなら：
傾きmの直線の方程式は傾きy=mx+kと書けますが，この定数項kの値は，点(a, b)を通るということから求めることができ
b=ma+k
より
k=b−ma
になります．これを元の方程式に代入すると
y=mx+b−ma
したがって
y−b=m(x−a)…(*1)

（公式Ⅱの解説）
　２点(a, b), (c, d)を通る直線の方程式をいきなり考えると，点が２つもあってポイントが絞りきれないので，１点(a, b)を優先的に考える．
　すなわち，２つ目の点(c, d)は傾きを求めるための材料だけに使う．
　このとき，２点(a, b), (c, d)を通る直線の傾きは

\frac{d - b}{c - a}

になるから
　「２点(a, b), (c, d)を通る直線」は

「１点(a, b)を通り傾き

\frac{d - b}{c - a}

の直線」
に等しくなる．
　(*1)により
y−b=

\frac{d - b}{c - a}

x−a…(*2)
これで公式Ⅱの(1)が証明された．

この公式において，赤の点線で囲んだ部分は「傾き」を表しているというところがポイントです．

【例】

(1)　２点(1, 3), (6, 9)を通る直線の方程式は

y - 3 = \frac{9 - 3}{6 - 1} (x - 1)

すなわち

y - 3 = \frac{6}{5} (x - 1)

(2)　２点(−2, 3), (4, −5)を通る直線の方程式は

y - 3 = \frac{- 5 - 3}{4 + 2} (x + 2)

すなわち

y - 3 = - \frac{4}{3} (x + 2)

　次に公式の(2)が
x1=x2のとき，なぜ「x=x1」となるのか，「x=x2」ではだめなかのかと考えだしたら分からなくなる場合があります．
　これは公式Ⅱの(2)でも同様に
a=cのとき，なぜ「x=a」となるのか，「x=c」ではだめなかのかというのと同じです．

　右図のように，a=cのときは縦に並んでいることになり，
x=a
と言っても
x=c
といっても，「どちらでもよい」ことになります．
【例】

(1)　２点(1, 3), (1, 5)を通る直線の方程式は
x=1
(2)　２点(−2, 3), (−2, 9)を通る直線の方程式は
x=−2

《問題》
次のうち対応しているものを選びなさい．（右辺は途中までの計算が書いてあります）

○はじめに，左欄の問題文を一つクリックし，続けて右欄の計算式をクリックしたとき，対応していれば消えます．間違えば消えません．
○間違ったときは，右欄を連打するのではなく，左欄を選び直すことから始めてください．

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[２点を通る直線の方程式について／16.12.22］

ｘの軸に垂直な直線を引くための方法がわかりません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材は高校数学Ⅱの教材で「２点を通る直線の方程式」を扱ったものです．あなたが，どのような立場の人で，どのレベルの回答を求めているのか述べていただかないと，答えるのは難しいです．
(A)　中学生や高校生が「ｘの軸に垂直な直線を引く」にはどうすればよいのかと尋ねている場合
　この頁のテーマとは全然関係がないので，そういう頁で質問してください．
　（三角定規の１つの辺をｘ軸に当てたら，直角になるもう一つの辺がｘ軸に垂直な直線になります）
(B)　点Ｐ(ａ，ｂ)を通りｘ軸に垂直な直線の方程式は，ｂの値に関係なく x=a です．
(C)　座標変換に対して不変な幾何学的性質の話をしておられるのなら回転移動の一次変換の頁を見て下さい．

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