三角形の形状

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「点と直線」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓◎内分点,外分点の図示
↓◎内分点,外分点の座標計算
↓◎内分点,外分点の座標
↓三角形の重心

↓2点間の距離の公式
↓点と直線の距離

↓三角形の形状問題
↓同(2)

↓1点と傾き→直線の方程式
↓2点→直線の方程式

↓2直線の平行条件
↓2直線の垂直条件

↓3点が1直線上にあるための条件
↓3直線が1点で交わるための条件
2直線の交点を通る直線の方程式

== 三角形の形状 == 《解説》
　２点間の距離の公式を用いて三角形の種類（二等辺三角形，直角三角形など）を求めるためには，

１　まず，三辺（ＡＢ，ＢＣ，ＣＡなど）の長さを求めます．
２　次に，
　(1)　「ＡＢ＝ＢＣ」　ならば　「ＡＢ＝ＢＣの二等辺三角形」などと答えます．

（単に「二等辺三角形」と答えると，ＢＣ＝ＣＡの場合やＣＡ＝ＡＢの場合があるので，どの２辺が等しいかを「ＡＢ＝ＢＣの」という形で明示することが大切です．）

　(2)　「ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ」　ならば　「正三角形」などと答えます．
　(3)　「ＡＢ²＋ＢＣ²＝ＣＡ²」　ならば　「Ｂ＝９０゜の直角三角形」などと答えます．

（単に「直角三角形」と答えるのでなく，どの角が直角かも明示することが大切です．）
(「直角」というのは角度の性質なので，距離の公式だけから直角を調べるには「ピタゴラスの定理」が成り立つかどうかで判断します．すなわち，「ピタゴラスの定理が成り立つ」→「直角三角形」，「ピタゴラスの定理が成り立たない」→「直角三角形でない」．
ただし，この関係は三辺の長さを見ただけで分かるとは限りませんので，ＡＢ²＋ＢＣ²＝ＣＡ²などを「試してみる」しかありません．
例　√７，√８，√15なら（7+8=15だから）直角三角形です．√2，√3，√6なら（2+3<6だから）直角三角形ではありません．)

　(4)　「ＡＢ²＋ＢＣ²＝ＣＡ²」かつ「ＡＢ＝ＢＣ」　ならば　「ＡＢ＝ＢＣの直角二等辺三角形」などと答えます．　

《問題》　次の３点を頂点とする△ＡＢＣがどんな三角形か答えなさい．
(1) A(1,1),B(2,−1),C(4,0) HELP	ＡＢ＝ＢＣの二等辺三角形ＢＣ＝ＣＡの二等辺三角形ＣＡ＝ＡＢの二等辺三角形正三角形Ａ＝９０゜の直角三角形Ｂ＝９０゜の直角三角形Ｃ＝９０゜の直角三角形Ａ＝９０゜の直角二等辺三角形Ｂ＝９０゜の直角二等辺三角形Ｃ＝９０゜の直角二等辺三角形

(2) A(2,5),B(−1,3),C(0,2) HELP	ＡＢ＝ＢＣの二等辺三角形ＢＣ＝ＣＡの二等辺三角形ＣＡ＝ＡＢの二等辺三角形正三角形Ａ＝９０゜の直角三角形Ｂ＝９０゜の直角三角形Ｃ＝９０゜の直角三角形Ａ＝９０゜の直角二等辺三角形Ｂ＝９０゜の直角二等辺三角形Ｃ＝９０゜の直角二等辺三角形

(3) A(−1,−1),B(0,−4),C(6,−2) HELP	ＡＢ＝ＢＣの二等辺三角形ＢＣ＝ＣＡの二等辺三角形ＣＡ＝ＡＢの二等辺三角形正三角形Ａ＝９０゜の直角三角形Ｂ＝９０゜の直角三角形Ｃ＝９０゜の直角三角形Ａ＝９０゜の直角二等辺三角形Ｂ＝９０゜の直角二等辺三角形Ｃ＝９０゜の直角二等辺三角形

(4) A(0,0),B(2,0),C(1, $\sqrt{3}$ ) HELP	ＡＢ＝ＢＣの二等辺三角形ＢＣ＝ＣＡの二等辺三角形ＣＡ＝ＡＢの二等辺三角形正三角形Ａ＝９０゜の直角三角形Ｂ＝９０゜の直角三角形Ｃ＝９０゜の直角三角形Ａ＝９０゜の直角二等辺三角形Ｂ＝９０゜の直角二等辺三角形Ｃ＝９０゜の直角二等辺三角形

※この頁では，２点間の距離の公式を使って，各頂点間の距離を「計算によって求める」能力を身に付けてもらうことを目標としていますが，この頁に登場したような問題は，ｘｙ平面上に図示すればそこそこ見当がつきます．
　もし，自分の答や作者の答が「おかしいな」と思った場合には，「図示」すれば分かります．

【各自で練習用の類題】
次の３点を頂点とする△ＡＢＣがどんな三角形か答えなさい．

(1) A(1,−1),B(3,2),C(0,0)

（解答）
$AB=\sqrt{(3-1)^2+ (2+ 1)^2}=\sqrt{13}$
$BC=\sqrt{(0-3)^2+ (0-2)^2}=\sqrt{13}$
$CA=\sqrt{(1-0)^2+ (-1-0)^2}=\sqrt{2}$
⇒AB=BCの二等辺三角形

(2) A(5,4),B(−1,2),C(1,0)

（解答）
$AB=\sqrt{(-1-5)^2+ (2-4)^2}=\sqrt{40}$
$BC=\sqrt{(1+ 1)^2+ (0-2)^2}=\sqrt{8}$
$CA=\sqrt{(5-1)^2+ (4-0)^2}=\sqrt{32}$
⇒ $BC^2+ CA^2=40=AB^2$ だから∠B=90°の直角三角形

(3) A(1,−2),B(4,0),C(−1,1)

（解答）
$AB=\sqrt{(4-1)^2+ (0+ 2)^2}=\sqrt{13}$
$BC=\sqrt{(-1-4)^2+ (1-0)^2}=\sqrt{26}$
$CA=\sqrt{(1+ 1)^2+ (-2-1)^2}=\sqrt{13}$
⇒ $AB^2+ CA^2=26=BC^2,AB=CA$ だから∠A=90°の直角二等辺三角形

(4) A(1,1),B(1,3),C( $1+ \sqrt{3}$ ,2)

（解答）
$AB=\sqrt{(1-1)^2+ (3-1)^2}=2$
$BC=\sqrt{(\sqrt{3})^2+ (2-3)^2}=2$
$CA=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+ (1-2)^2}=2$
⇒ $AB=BC=CA=2$ だから正三角形

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