ケーリー・ハミルトン(2)

...(ＰＣ版)メニューに戻る
*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標
数列の極限関数導関数不定積分定積分
行列 1次変換

※旧教育課程の高校数学Cに含まれていた「行列」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓行列の記号と用語
↓行列の相等，和，差，実数倍
↓行列の積
↓行列の計算(まとめ)

↓行列の乗法の性質
↓零因子
↓行列のｎ乗
↓行列のｎ乗(2)
↓行列のｎ乗(3)

↓逆行列
↓ケーリー・ハミルトンの定理
ケーリー・ハミルトンの定理(2)-現在地

※高卒から大学初年度向けの「ベクトル，行列」について，このサイトには次の教材があります．
*** ベクトル ***
↓ ●ベクトル.行列の超基本 ●ベクトルの直交条件
●１次独立，１次従属，基底，次元，核，階数
*** 行列 ***
↓ ●逆行列(1) ●逆行列(2)
↓ ●転置行列，対称行列,対角行列，三角行列
●行列の階数
*** 行列式 ***
●行列式(1) ●行列式(2) ●行列式(3)
*** 一次変換 ***
●行列と一次変換 ●点の像と原像
*** 固有値 ***
↓ ●固有値.固有ベクトルの定義
↓ ●固有値と固有ベクトル(1) ●固有値と固有ベクトル(2)
●行列の対角化とは ●行列を対角化するには

== ケーリー・ハミルトンの定理(2) ==
※　ケーリー・ハミルトンの定理は，使えない場面では使わないことが大切です。
［要点］
●A=

について，ケーリー・ハミルトンの定理から

＜いえること＞
ｐ＝ａ＋ｄ，ｑ＝ａｄ－ｂｃとおくと

Ａ²-ｐＡ+ｑＥ＝０

＜いえないこと＞
ａ＋ｄ＝ｐ，ａｄ－ｂｃ＝ｑ　
××

Ａ²-ｐＡ+ｑＥ＝０

＜例(*)：出てくる場面＞
A=

について，
Ａ²-7Ａ+6Ｅ＝０　のとき　ａ＋ｄ＝7，ａｄ－ｂｃ＝６　といえるか？

→　いえない。

まず，次の関係に注意します。

「

x A + y E = 0

」のとき

x, y

の値は？

（ア）

A \neq k E

のとき　(

A

が単位行列の定数倍でないとき)，

x = y = 0

と言える．

（証明）

x \neq 0

ならば

A = - \frac{y}{x} E

すなわちＡが単位行列の定数倍となり矛盾を生じるから，

x = 0

でなければならない．

このとき，原式に

x = 0

を代入すると，

y E = 0

より

y = 0

以上より，

x = y = 0

が成り立つ

（イ）

A = k E

のとき　(

A

が単位行列の定数倍であるとき)

x = y = 0

とは限らない

（証明）

x (\begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix}) + y (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

すなわち

(\begin{matrix} k x + y & 0 \\ 0 & k x + y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

は

x = 0, y = 0

でなくとも成立する。

(1，1)成分をみれば

y = - k x

のとき常に成り立つことが分かる
たとえば，

A = 2 E = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix})

の場合を考えてみると，

x A + y E = 0

は

(\begin{matrix} 2 x + y & 0 \\ 0 & 2 x + y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

となり

x = 1, y = - 2

，

x = 2, y = - 4

，

x = 3, y = - 6

，など

x = 0, y = 0

でない解は幾らでもある

＜上の例(*)の場合＞
与えられた条件から

A2−7A+6E=0…（1）

ケーリー・ハミルトンの定理から

A2−(a+d)A+(ad−bc)E=0…（2）

以上の2つが成立することは言える．

そこで
(1)-(2)

(ａ＋ｄ－７)Ａ+(６-ａｄ＋ｂｃ)Ｅ＝０

（ア）　Ａ≠ｋＥのとき

ａ＋ｄ＝７，ａｄ－ｂｃ＝６・・答

（イ）　Ａ＝ｋＥのとき

Ａ＝

とおくと、

(2ｋ－７)

+（6-ｋ²）

＝0

(1,1)成分，(2,2)成分から

(２ｋ－７)ｋ+6-ｋ²＝0
ｋ²-7ｋ+6＝0
ｋ＝１，６

Ａ＝

，

のとき，
各々

Ａ²-7Ａ+6Ｅ＝０

は成立する．

ａ＋ｄ＝2，ａｄ－ｂｃ＝1・・答
及び，ａ＋ｄ＝12，ａｄ－ｂｃ＝36・・答

このようにして，Ａ≠ｋＥのときはａ＋ｄ＝７，ａｄ－ｂｃ＝６が成り立つが，
Ａ＝ｋＥのとき，ａ＋ｄ＝７，ａｄ－ｂｃ＝６以外の値になるので，
Ａ²-7Ａ+6Ｅ＝０のときａ＋ｄ＝7，ａｄ－ｂｃ＝６とは限らない

※Ａ＝ｋＥの可能性がある問題は，結局，成分計算となる

例題1
Ａ＝

が　Ａ²-Ａ-6Ｅ＝０　を満たすとき　ａ＋ｄ，ａｄ－ｂｃ　の値を求めなさい。

答案例
条件から，Ａ²-Ａ-6Ｅ＝０・・・(1)
ケーリー・ハミルトンの定理からＡ²-(a+d)Ａ+(ad-bc)Ｅ＝０・・・(2)
(1)-(2)
(a+d-1)Ａ+(-6-ad+bc)Ｅ＝0・・・(3)
（ア）　Ａ≠ｋＥのとき，

　(3)より，a+d=1，ad-bc＝-6・・・答

（イ）　A＝ｋＥのとき，

Ａ＝とおくと，
(2k-1)+(-6-ｋ²)E=0
(1,2)成分，(2,1)成分は成立。
(1,1)成分，(2,2)成分から
2ｋ²-ｋ-6-ｋ²＝0
ｋ²-ｋ-6＝0
k=3,-2
k=3のとき，a+d=6，ad-bc=9・・答
k=-2のとき，a+d=-4，ad-bc=4・・答

※Ａ＝ｋＥの可能性がない問題は，一言断ればケーリー・ハミルトンだけで済む

例題２
Ａ＝

について　Ａ²+ｘＡ+ｙＥ＝０　が成り立つとき，ｘ＝［ア］，ｙ＝［イ］

答案例
条件から，Ａ²+ｘＡ+ｙＥ＝０・・・(1)
ケーリー・ハミルトンの定理からＡ²-5Ａ+2Ｅ＝０・・・(2)
(1)-(2)　（ｘ＋５）Ａ+（ｙ－２）Ｅ＝０
Ａ≠ｋＥ　だから・・・（記述式答案では，一言断ることが大切）
　ｘ＝－５，ｙ＝２・・・答

［問題］

≪１≫

条件から，Ａ²-４Ａ＋３Ｅ＝０・・・(1)
ケーリー・ハミルトンの定理からＡ²-(a+d)Ａ+(ad-bc)Ｅ＝０・・・(2)
(1)-(2)
(a+d-4)Ａ+(3-ad+bc)Ｅ＝0・・・(3)
（ア）　Ａ≠ｋＥのとき，

　(3)より，a+d=，ad-bc＝・・・答

（イ）　A＝ｋＥのとき，

Ａ＝

とおくと，
(2k-4)

+(3-ｋ²)E=0
(1,2)成分，(2,1)成分は成立。
(1,1)成分，(2,2)成分から
2ｋ²-4ｋ+3-ｋ²＝0
ｋ²-4ｋ+3＝0
k=3,1
k=3のとき，a+d=，ad-bc=・・答
k=1のとき，a+d=，ad-bc=・・答

≪２≫

...（携帯版）メニューに戻る

...（PC版）メニューに戻る

■このサイト内のGoogle検索■

△このページの先頭に戻る△【アンケート送信】
… このアンケートは教材改善の参考にさせていただきます

■この頁について，良い所，悪い所，間違いの指摘，その他の感想があれば送信してください．

○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています．
○感想の内で，どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては，可能な限り対応するようにしています．（※なお，攻撃的な文章になっている場合は，それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので，採用しません．）

質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります