ケーリー・ハミルトン(2)

＜いえること＞
ｐ＝ａ＋ｄ，ｑ＝ａｄ－ｂｃとおくと

Ａ²-ｐＡ+ｑＥ＝０

＜いえないこと＞
ａ＋ｄ＝ｐ，ａｄ－ｂｃ＝ｑ　
××

Ａ²-ｐＡ+ｑＥ＝０

「 $xA+ yE=0$ 」のとき $x,y$ の値は？

（ア）
$A\ne kE$ のとき　( $A$ が単位行列の定数倍でないとき)
$x=y=0$ と言える．

（証明）
$x\ne 0$ ならば $A=-\frac{y}{x}E$ すなわちＡが単位行列の定数倍
となり矛盾を生じるから，
$x=0$ でなければならない．

このとき，原式に $x=0$ を代入すると
$yE=0$ より $y=0$

以上より， $x=y=0$ が成り立つ

（イ）
$A=kE$ のとき　( $A$ が単位行列の定数倍であるとき) $x=y=0$ とは限らない

（証明）
$x\begin{pmatrix}k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
すなわち
$\begin{pmatrix}kx + y & 0 \\ 0 & kx + y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
はｘ＝０，ｙ＝０でなくとも成立する。

(1，1)成分をみれば $y=-kx$ のとき常に成り立つことが分かる

たとえば， $A=2E=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ の場合を考えてみると， $xA+ yE=0$ は
$\begin{pmatrix}2x+ y & 0 \\ 0 & 2x+ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ となり
$x=1,y=-2$ ， $x=2,y=-4$ ， $x=3,y=-6$ ，などｘ＝０，ｙ＝０でない解は幾らでもある