ケーリー・ハミルトン(2)

■［ケーリー・ハミルトンの定理2］

※　ケーリー・ハミルトンの定理は，使えない場面では使わないことが大切です。
［要点］
●　ケーリー・ハミルトンの定理から
＜いえること＞

について，
ｐ=ａ＋ｄ,ｑ=ａｄ－ｂｃとおくとＡ²−ｐＡ+ｑＥ=０
＜いえないこと＞ ａ＋ｄ＝ｐ,ａｄ－ｂｃ＝ｑ××Ａ²-ｐＡ+ｑＥ＝０

＜例：出てくる場面＞

について，
Ａ²-7Ａ+6Ｅ＝０のときａ＋ｄ＝7，ａｄ－ｂｃ＝６といえるか？

→　いえない。

まず，次の関係に注意します。
「ｘＡ＋ｙＥ＝０」のときｘ，ｙの値は？
（ア）　Ａ≠ｋＥのとき　(Ａが単位行列の定数倍でないとき) ｘ≠0ならばＡ＝(－ｙ／ｘ)Ｅ，　Ａが単位行列の定数倍
となり矛盾するから，
ｘ＝ｙ＝０（イ）　Ａ＝ｋＥのときｘ

+ｙ

＝0は
ｘ＝０，ｙ＝０でなくとも成立する。
(1，1成分をみれば十分)

＜上の例の場合＞

Ａ²-7Ａ+6Ｅ＝０・・・（1）与えられた条件
Ａ²-(ａ＋ｄ)Ａ+(ａｄ－ｂｃ)Ｅ＝０・・・（2）

ケーリー・ハミルトンの定理から成立

(1)-(2)
(ａ＋ｄ－７)Ａ+(６-ａｄ＋ｂｃ)Ｅ＝０
（ア）　Ａ≠ｋＥのとき ａ＋ｄ＝７，ａｄ－ｂｃ＝６・・答 （イ）　Ａ＝ｋＥのとき Ａ＝とおくと、

(2ｋ－７)+（6-ｋ²）＝0

(1,1)成分，(2,2)成分から (２ｋ－７)ｋ+6-ｋ²＝0
ｋ²-7ｋ+6＝0
ｋ＝１，６ Ａ＝，のとき，
各々Ａ²-7Ａ+6Ｅ＝０は成立し，

ａ＋ｄ＝2，ａｄ－ｂｃ＝1・・答
及び，ａ＋ｄ＝12，ａｄ－ｂｃ＝36・・答

（結局，成分計算となる問題）

例題1
Ａ＝

が　Ａ²-Ａ-6Ｅ＝０　を満たすとき　ａ＋ｄ，ａｄ－ｂｃ　の値を求めなさい。

答案例
条件から，Ａ²-Ａ-6Ｅ＝０・・・(1)
ケーリー・ハミルトンの定理からＡ²-(a+d)Ａ+(ad-bc)Ｅ＝０・・・(2)
(1)-(2)
(a+d-1)Ａ+(-6-ad+bc)Ｅ＝0・・・(3)
（ア）　Ａ≠ｋＥのとき，

　(3)より，a+d=1，ad-bc＝-6・・・答

（イ）　A＝ｋＥのとき，

Ａ＝とおくと，
(2k-1)+(-6-ｋ²)E=0
(1,2)成分，(2,1)成分は成立。
(1,1)成分，(2,2)成分から
2ｋ²-ｋ-6-ｋ²＝0
ｋ²-ｋ-6＝0
k=3,-2
k=3のとき，a+d=6，ad-bc=9・・答
k=-2のとき，a+d=-4，ad-bc=4・・答

（一言断ればケーリー・ハミルトンだけで済む問題）

例題２
Ａ＝

について　Ａ²+ｘＡ+ｙＥ＝０　が成り立つとき，ｘ＝［ア］，ｙ＝［イ］

答案例
条件から，Ａ²+ｘＡ+ｙＥ＝０・・・(1)
ケーリー・ハミルトンの定理からＡ²-5Ａ+2Ｅ＝０・・・(2)
(1)-(2)　（ｘ＋５）Ａ+（ｙ－２）Ｅ＝０
Ａ≠ｋＥ　だから・・・（記述式答案では，一言断ることが大切）
　ｘ＝－５，ｙ＝２・・・答

［問題］

１

２