ケーリー・ハミルトンの定理

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■ケーリー・ハミルトンの定理

［解説］
２次の正方行列については，は次の関係式がつねに成り立ちます。これをケーリー・ハミルトンの定理といいます。 Ａ²-（ａ＋ｄ）Ａ+(ａｄ－ｂｃ)Ｅ＝０

［応用］

Ａ²→　（ａ＋ｄ）Ａ-(ａｄ－ｂｃ)Ｅ
とみると，左辺は２次，右辺は１次
つまり，次数を下げる変形ができます。

行列のｎ乗を変形するのに用いることができます：

例
Ａ=のとき，
　ａ＋ｄ＝１，ａｄ－ｂｃ＝-2だから，

Ａ²-Ａ-2Ｅ＝０ 　これを用いれば，
　　　Ａ²=Ａ+2Ｅ
　両辺にＡをかけて， Ａ³＝Ａ²+2Ａ＝(Ａ＋2Ｅ)＋２Ａ=3Ａ＋２Ｅ=

　同様にして，
　　　Ａ⁴=Ａ³Ａ=(3Ａ＋２Ｅ)Ａ=3Ａ²+２Ａ
　　　　　=3(Ａ＋2Ｅ)+2Ａ=5Ａ＋6Ｅ=

などと変形できます。

※　証明は，成分計算を気長に行えばできます。
Ａ＝のとき，
Ａ²-（ａ＋ｄ）Ａ+(ａｄ－ｂｃ)Ｅ
=+

※　行列の計算は２つの処理方法があります。
　　1　成分で行う方法(何でもできるが，遅い)
　　2　行列で行う方法(使えるところは速い)　

ケーリー・ハミルトンの"定理自身"は上記のように成分計算で示しますが，ひとたびこの定理が証明できると，ケーリー・ハミルトンの定理を用いた行列での変形が可能となります。［行列は行列でやる。］
ただし，ケーリー・ハミルトンの定理で何でもできるわけではないので，行き詰まれば成分計算を併用します。

［要点］--計算の方針--
使えるところは，新幹線(ケーリー・ハミルトン)で行く，
残りは，普通列車(成分計算)で行く。

　

[数値計算と行列計算の比較]

［数］--次数を１次ずつ下げる方法--
例　ｘ＝１+√2　のとき，ｘ^２，ｘ^３，ｘ^４の値を求めなさい。

ｘ＝１+√2　←→　ｘ-1＝√2　→　(x-1)²＝２
　　　　　　　←→　ｘ^２-2ｘ-1＝0・・・(1)
(1)より，ｘ²＝2ｘ+1・・(2)
(2)より，ｘ³＝(２ｘ＋１)ｘ＝２ｘ^２+ｘ＝２(２ｘ＋１)＋ｘ
　　　　　　　＝５ｘ＋２・・(3)
(3)より，ｘ^４＝(５ｘ＋２)ｘ＝５ｘ^２＋２ｘ＝５(２ｘ＋１)＋２ｘ

　　　　　　＝１２ｘ＋５・・(4)
ｘ²＝2（1+√2)+1＝3+2√2
ｘ³＝5(1+√2)+2＝７＋５√2
ｘ^４＝12(1+√2)+5＝17+12√2

［行列］--次数を１次ずつ下げる方法--
例　Ａ＝のとき，Ａ^２，Ａ^３，Ａ^４を求めなさい。

ケーリー・ハミルトンの定理により，Ａ²-2Ａ-Ｅ＝0・・(1)
(1)より，Ａ^２＝2Ａ+Ｅ・・(2)
(2)より，Ａ^３＝(２Ａ＋Ｅ)Ａ＝２Ａ^２＋Ａ＝２（２Ａ＋Ｅ）＋Ａ
　　　　　　　＝５Ａ＋２Ｅ・・(3)
(3)より，Ａ^４＝（５Ａ＋２Ｅ)Ａ＝５Ａ^２+２Ａ＝５(２Ａ＋Ｅ)＋２Ａ

＝１２Ａ＋５Ｅ・・(4)
Ａ^２＝２+＝

Ａ^３＝５+２＝

Ａ^４＝12+４＝

［数］--商と余りの関係を利用する方法--(上記をまとめて行う)
例　Ｘ＝２－ｉ　のとき，Ｘ^３－３Ｘ^２＋Ｘ＋３の値を求めなさい。

Ｘ＝２－ｉ　←→　Ｘ－２＝－ｉ　→　(ｘ－２)^２＝－１
　　　　　　←→　Ｘ^２－４Ｘ＋５＝０・・(1)
(Ｘ^３－３Ｘ^２＋Ｘ＋３)÷(Ｘ^２－４Ｘ＋５)＝ｘ＋１・・・　－２
Ｘ^３－３Ｘ^２＋Ｘ＋３＝(Ｘ^２－４Ｘ＋５)(ｘ＋１)－２・・(2)
(1)によりＸ^２－４Ｘ＋５＝０だから

(一度に３次下げる)
Ｘ^３－３Ｘ^２＋Ｘ＋３＝－２・・・答

［行列］--商と余りの関係を利用する方法--(上記をまとめて行う)
例　Ａ＝のとき，
Ａ^３－３Ａ^２＋Ａ＋３Ｅを求めなさい。

ケーリー・ハミルトンの定理により，Ａ²-４Ａ＋５Ｅ＝0・・(1)

--高校の行列には割り算がないので，答案の書き方に注意--
(Ｘ^３－３Ｘ^２＋Ｘ＋３)÷(Ｘ^２－４Ｘ＋５)＝ｘ＋１・・・　－２
Ｘ^３－３Ｘ^２＋Ｘ＋３＝(Ｘ^２－４Ｘ＋５)(ｘ＋１)－２　により

Ａ^３－３Ａ^２＋Ａ＋３Ｅ＝(Ａ²-４Ａ＋５Ｅ)(Ａ＋Ｅ)－２Ｅ･･(2)
(1)によりＡ²-４Ａ＋５Ｅ＝0だから

(一度に３次下げる)
Ａ^３－３Ａ^２＋Ａ＋３Ｅ＝－２Ｅ＝・・答

■問題

１Ａ＝のとき，Ａ^３－２Ａ^２＋３Ｅを求めなさい。Ａ^３－２Ａ^２＋３Ｅ＝ [ア]=，[イ]= [ウ]=，[エ]=
２Ａ＝のとき，Ａ^３－５Ａ^２＋７Ａを求めなさい。Ａ^３－５Ａ^２＋７Ａ＝ [オ]=，[カ]= [キ]=，[ク]=

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[ケーリー・ハミルトンの定理について／17.1.9］

問題２のA³－５A²＋7A は、A³－５A²＋７Eの間違いだと思います。（でないと答えが違う）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題と解答にはエラーはないが，解説図に数か所ボロボロのところがありましたので訂正しました．

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