行列式の性質を用いた因数分解

== 行列式の基本性質を用いた因数分解 == 　このページでは，行列式の基本性質を使って，文字式の値を求める問題を扱う．
　以下においては，これらの基本性質のうちで，主に次の2つを使って，文字式の変形を行う．

【行列式の基本性質】
(A)
　行列式の1つの行を定数(k)倍すると，行列式の値はk倍になる．
　行列式の1つの列を定数(k)倍した場合も同様に，行列式の値はk倍になる．
(B)
　行列式の1つの行に他の行の定数倍を加えても，行列式の値は変わらない．
　行列式の1つの列に他の列の定数倍を加えた場合も同様に，行列式の値は変わらない．

【例A】
$\begin{vmatrix}k a& kb\\ c& d\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a& b\\ c& d\end{vmatrix}$ $\begin{vmatrix}a& kb\\ c& kd\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a& b\\ c& d\end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix}a& b& c\\ kp& kq& kr\\ s& t& u\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a& b& c\\ p& q& r\\ s& t& u\end{vmatrix}$ $\begin{vmatrix}a& b& kc\\ p& q& kr\\ s& t& ku\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a& b& c\\ p& q& r\\ s& t& u\end{vmatrix}$
【例B】
$\begin{vmatrix}a& b\\ c& d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a& b\\ c+ ka& d+ kb\end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix}a& b& c\\ p& q& r\\ s& t& u\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a& b-ka& c\\ p& q-kp& r\\ s& t-ks& u\end{vmatrix}$ 　これらの性質を利用して，１つの行あるいは１つの列にできるだけ多くの0を作り，余因子展開を行うことによって次数を下げることを目指す．

【例題1】
　行列式の基本性質を用いて，次の式を因数分解してください．
$\begin{vmatrix}1& 1& 1\\ x& x^2& x^3\\ y& y^2& y^3\end{vmatrix}$

（解答）
第2行を $x$ でくくり出す
$\begin{vmatrix}1& 1& 1\\ x& x^2& x^3\\ y& y^2& y^3\end{vmatrix}$ $=x\begin{vmatrix}1& 1& 1\\ 1& x& x^2\\ y& y^2& y^3\end{vmatrix}$
第3行を $y$ でくくり出す
$=xy\begin{vmatrix}1& 1& 1\\ 1& x& x^2\\ 1& y& y^2\end{vmatrix}$
第2行−第1行，第3行−第1行
$=xy\begin{vmatrix}1& 1& 1\\ 0& x-1& x^2-1\\ 0& y-1& y^2-1\end{vmatrix}$
第1列に沿って余因子展開
$=xy\begin{vmatrix}x-1& x^2-1\\y-1& y^2-1\end{vmatrix}$
第1行を $x-1$ でくくり出す
第2行を $y-1$ でくくり出す
$=x(x-1)y(y-1)\begin{vmatrix}1& x+ 1\\1& y+ 1\end{vmatrix}$
第2行−第1行
$=x(x-1)y(y-1)\begin{vmatrix}1& x+ 1\\0& y-x\end{vmatrix}$
第1列に沿って余因子展開
$=x(x-1)y(y-1)(y-x)$ …（答）

※一般に，Excel, Excel Online, Googleスプレッドシートなどの表計算ソフトで，文字係数を含む行列に対して行列式を求めるのは無理です．wxMaximaを使えば，文字係数を含む行列に対して行列式を求めて，展開や因数分解を行うことができる．
　例えば，この問題では，
●1 「代数→手入力による行列生成→行数2，列数3，タイプ:一般，変数名:Aなどとする→行列の入力（空欄移動はタブキーを押すのが便利）1,1,1,x,x^2,x^3,y,y^2,y^3→OK」
●2 「代数→行列式の計算」によりdeterminant(%);というコマンドが入り，行列式の展開式になる
●3 「式の変形→因数分解」によりdeterminant(%);というコマンドが入り，因数分解の結果が得られる．
　筆算で数学的な考え方を身に着けるとともに，コンピュータを使って点検することも重要．
※以下の問題についても，同様

【問題1】
　行列式の基本性質を用いて，次の式を因数分解してください．
$\begin{vmatrix}1& x& x^2\\ 1& y& y^2\\ 1& z& z^2\end{vmatrix}$

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（解答）
第2行−第1行，第3行−第1行
$\begin{vmatrix}1& x& x^2\\ 0& y-x& y^2-x^2\\ 0& z-x& z^2-x^2\end{vmatrix}$
第1列に沿って余因子展開
$=\begin{vmatrix}y-x& y^2-x^2\\ z-x& z^2-x^2\end{vmatrix}$
第1行を $y-x$ でくくり出す
第2行を $z-x$ でくくり出す
$=(y-x)(z-x)\begin{vmatrix}1& y+ x\\ 1& z+ x\end{vmatrix}$
第2行−第1行
$=(y-x)(z-x)\begin{vmatrix}1& y+ x\\ 0& z-y\end{vmatrix}$
第1列に沿って余因子展開
$=(y-x)(z-x)(z-y)$ …（答）

　一般に
$\begin{vmatrix}1& x_1& x_1^2&\cdots& x_1^{n-1}\\ 1& x_2& x_2^2&\cdots& x_2^{n-1}\\ \vdots&\vdots &\vdots & & \vdots\\ 1& x_n& x_n^2&\cdots& x_n^{n-1}\end{vmatrix}$
もしくは，その転置行列の行列式
$\begin{vmatrix}1& 1& \cdots& 1\\ x_1& x_2& \cdots& x_n\\ \vdots&\vdots && \vdots\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \cdots& x_n^{n-1}\end{vmatrix}$
は，Vandermonde[ヴァンデルモンド, ファンデルモンド]の行列式と呼ばれ，V_nもしくは $\Delta(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ で表される．
$\Delta(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ は $x_1,x_2,\cdots,x_n$ の差積と呼ばれ，例えば
$\Delta(x_1,x_2,\hspace{2}\cdots\hspace{2},x_4)=\underset{i\lt j}{\prod}(x_j-x_i)$
$=(x_4-x_3)(x_4-x_2)(x_4-x_1)$
$(x_3-x_2)(x_3-x_1)$
$(x_2-x_1)$
になる．

【例題2】
　行列式の基本性質を用いて，次の式を因数分解してください．
$\begin{vmatrix}1& 1& 1\\ x& y& z\\ x^3& y^3& z^3\end{vmatrix}$

（解答）
第2列−第1列, 第3列−第1列
$\begin{vmatrix}1& 0& 0\\ x& y-x& z-x\\ x^3& y^3-x^3& z^3-x^3\end{vmatrix}$
第1行に沿って余因子展開する
$=\begin{vmatrix}y-x& z-x\\y^3-x^3& z^3-x^3\end{vmatrix}$
第1列を $y-x$ でくくり出す
第2列を $z-x$ でくくり出す
$=(y-x)(z-x)\begin{vmatrix}1& 1\\y^2+ yx+ x^2& z^2+ zx+ x^2\end{vmatrix}$
第2列−第1列
$=(y-x)(z-x)\begin{vmatrix}1& 0\\y^2+ yx+ x^2& z^2-y^2+ zx-yx\end{vmatrix}$
第1行に沿って余因子展開する
$=(y-x)(z-x)(z^2-y^2+ zx-yx)$
$=(y-x)(z-x)\{(z-y)(z+ y)+ x(z-y)\}$
$=(y-x)(z-x)(z-y)(z+ y+ x)$

【問題2】
　行列式の基本性質を用いて，次の式を因数分解してください．
$\begin{vmatrix}1& a^2& a^3\\ 1& b^2& b^3\\ 1& c^2& c^3\end{vmatrix}$

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（解答）
第2行−第1行, 第3行−第1行
$\begin{vmatrix}1& a^2& a^3\\ 0& b^2-a^2& b^3-a^3\\ 0& c^2-a^2& c^3-a^3\end{vmatrix}$
第1列に沿って余因子展開する
$=\begin{vmatrix} b^2-a^2& b^3-a^3\\ c^2-a^2& c^3-a^3\end{vmatrix}$
第1行を $b-a$ でくくり出す
第2行を $c-a$ でくくり出す
$=(b-a)(c-a)\begin{vmatrix} b+ a& b^2+ ba+ a^2\\ c+ a& c^2+ ca+ a^2\end{vmatrix}$
第2行−第1行
$=(b-a)(c-a)\begin{vmatrix} b+ a& b^2+ ba+ a^2\\ c-b& c^2-b^2+ ca-ba\end{vmatrix}$
(2, 2)成分を因数分解する
$=(b-a)(c-a)\begin{vmatrix} b+ a& b^2+ ba+ a^2\\ c-b& (c-b)(c+ b)+ a(c-b)\end{vmatrix}$
$=(b-a)(c-a)\begin{vmatrix} b+ a& b^2+ ba+ a^2\\ c-b& (c-b)(c+ b+ a)\end{vmatrix}$
第2行を $c-b$ でくくり出す
$=(b-a)(c-a)(c-b)\begin{vmatrix} b+ a& b^2+ ba+ a^2\\ 1& c+ b+ a\end{vmatrix}$
$=(b-a)(c-a)(c-b)$
$\times\{(b+ a)(c+ b+ a)-(b^2+ ba+ a^2)\}$
$=(b-a)(c-a)(c-b)(bc+ ca+ ab)$

【例題3】
　行列式の基本性質を用いて，次の式を因数分解してください．
$\begin{vmatrix}a& a& a& a\\ a& b& a& a\\ a& a& b& a\\a & a& a& b\end{vmatrix}$

（解答）
第2行−第1行, 第3行−第1行, 第4行−第1行
$=\begin{vmatrix}a& a& a& a\\ 0& b-a& 0& 0\\ 0& 0& b-a& 0\\0 & 0& 0& b-a\end{vmatrix}$
第1列に沿って余因子展開する
$=a\begin{vmatrix}b-a& 0& 0\\0& b-a& 0\\0& 0& b-a\end{vmatrix}$
第1列に沿って余因子展開する
$=a(b-a)\begin{vmatrix}b-a& 0\\0& b-a\end{vmatrix}$
$=a(b-a)^3$

【問題3】
　行列式の基本性質を用いて，次の式を因数分解してください．
$\begin{vmatrix}a& b& c& d\\ b& b& c& d\\ c& c& c& d\\d & d& d& d\end{vmatrix}$

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（解答）
第2行−第1行, 第3行−第2行, 第4行−第3行
$\begin{vmatrix}a& b& c& d\\ b-a& 0& 0& 0\\ c-b& c-b& 0& 0\\d-c& d-c& d-c& 0\end{vmatrix}$
第2行に沿って余因子展開する
$=(a-b)\begin{vmatrix}b& c& d\\c-b& 0& 0\\d-c& d-c& 0\end{vmatrix}$
第2行に沿って余因子展開する
$=(a-b)(b-c)\begin{vmatrix}c& d\\d-c& 0\end{vmatrix}$
第2行に沿って余因子展開する
$=(a-b)(b-c)(c-d)d$

【例題4】
　行列式の基本性質を用いて，次の式の値を計算してください．
$\begin{vmatrix}1& a& a^2& a^3\\ a& a^2& a^3& a^4\\ a^2& a^3& a^4& a^5\\a^3 & a^4& a^5& a^6\end{vmatrix}$

（解答）
第2行−第1行× $a$
$\begin{vmatrix}1& a& a^2& a^3\\ 0& 0& 0& 0\\ a^2& a^3& a^4& a^5\\a^3 & a^4& a^5& a^6\end{vmatrix}$
第2行に沿って余因子展開する
$=0$

【問題4】
　行列式の基本性質を用いて，次の式を因数分解してください．
$\begin{vmatrix}a& b& b& b\\ a& a& b& b\\ a& a& a& b\\a & a& a& a\end{vmatrix}$

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（解答）
第2行−第1行, 第3行−第1行, 第4行−第1行
$=\begin{vmatrix}a& b& b& b\\ 0& a-b& 0& 0\\ 0& a-b& a-b& 0\\0 & a-b& a-b& a-b\end{vmatrix}$
第1列に沿って余因子展開する
$=a\begin{vmatrix}a-b& 0& 0\\a-b& a-b& 0\\a-b& a-b& a-b\end{vmatrix}$
第1行を $a-b$ でくくり出す
$=a(a-b)\begin{vmatrix}1& 0& 0\\a-b& a-b& 0\\a-b& a-b& a-b\end{vmatrix}$
第2行を $a-b$ でくくり出す
$=a(a-b)^2\begin{vmatrix}1& 0& 0\\1& 1& 0\\a-b& a-b& a-b\end{vmatrix}$
第3行を $a-b$ でくくり出す
$=a(a-b)^3\begin{vmatrix}1& 0& 0\\1& 1& 0\\1& 1& 1\end{vmatrix}$
第1行に沿って余因子展開する
$=a(a-b)^3\begin{vmatrix}1& 0\\1& 1\end{vmatrix}$
第1行に沿って余因子展開する
$=a(a-b)^3$

【例題5】
　行列式の基本性質を用いて，次の式を因数分解してください．
$\begin{vmatrix}a& b& b& b\\ a& a& b& a\\ b& a& b& b\\a & a& a& b\end{vmatrix}$

（解答）
第2行−第1行, 第3行−第1行, 第4行−第1行
$=\begin{vmatrix}a& b& b& b\\ 0& a-b& 0& a-b\\ b-a& a-b& 0& 0\\0 & a-b& a-b& 0\end{vmatrix}$
第2行を $a-b$ でくくり出す
$=(a-b)\begin{vmatrix}a& b& b& b\\ 0& 1& 0& 1\\ b-a& a-b& 0& 0\\0 & a-b& a-b& 0\end{vmatrix}$
第3行を $a-b$ でくくり出す
$=(a-b)^2\begin{vmatrix}a& b& b& b\\ 0& 1& 0& 1\\ -1& 1& 0& 0\\0 & a-b& a-b& 0\end{vmatrix}$
第4行を $a-b$ でくくり出す
$=(a-b)^3\begin{vmatrix}a& b& b& b\\ 0& 1& 0& 1\\ -1& 1& 0& 0\\0 & 1& 1& 0\end{vmatrix}$
第1行+第3行× $a$
$=(a-b)^3\begin{vmatrix}0& b+ a& b& b\\ 0& 1& 0& 1\\ -1& 1& 0& 0\\0 & 1& 1& 0\end{vmatrix}$
第1列に沿って余因子展開する
$=-(a-b)^3\begin{vmatrix}b+ a& b& b\\1& 0& 1\\1& 1& 0\end{vmatrix}$
第1列−第2列
$=-(a-b)^3\begin{vmatrix}a& b& b\\1& 0& 1\\0& 1& 0\end{vmatrix}$
第3行に沿って余因子展開する
$=(a-b)^3\begin{vmatrix}a& b\\1& 1\end{vmatrix}$
$=(a-b)^4$

【問題5】
　行列式の基本性質を用いて，次の式を因数分解してください．
$\begin{vmatrix}a& b& c\\ c& a& b\\ b& c& a\end{vmatrix}$

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（解答）
第1列に第2列と第3列を加える
$=\begin{vmatrix}a+ b+ c& b& c\\ a+ b+ c& a& b\\ a+ b+ c& c& a\end{vmatrix}$
第1列を $a+ b+ c$ でくくり出す
$=(a+ b+ c)\begin{vmatrix}1& b& c\\ 1& a& b\\ 1& c& a\end{vmatrix}$
第2行から第1行を引く，第3行から第1行を引く
$=(a+ b+ c)\begin{vmatrix}1& b& c\\ 0& a-b& b-c\\ 0& c-b& a-c\end{vmatrix}$
第1列に沿って余因子展開する
$=(a+ b+ c)\begin{vmatrix}a-b& b-c\\c-b& a-c\end{vmatrix}$
$=(a+ b+ c)\{(a-b)(a-c)-(b-c)(c-b)\}$
$=(a+ b+ c)(a^2-ac-ab+ bc-bc+ b^2+ c^2-bc)$
$=(a+ b+ c)(a^2+ b^2+ c^2-ab-bc-ca)$

［参考］
展開式は､サラスの方法で考えると見るだけでできる． $a^3+ b^3+ c^3-3abc$
因数分解公式（展開公式）から，これらが一致することが分かる．

【例題6】
　行列式の基本性質を用いて，次の式を因数分解してください．
$\begin{vmatrix}a+ b& b+ c& c+ a\\ c+ a& a+ b& b+ c\\ b+ c& c+ a& a+ b\end{vmatrix}$

（解答）
第1列に第2列と第3列を加える
$=\begin{vmatrix}2(a+ b+ c)& b+ c& c+ a\\2(a+ b+ c)& a+ b& b+ c\\2(a+ b+ c)& c+ a& a+ b\end{vmatrix}$
第1列を $2(a+ b+ c)$ でくくり出す
$=2(a+ b+ c)\begin{vmatrix}1& b+ c& c+ a\\ 1& a+ b& b+ c\\1& c+ a& a+ b\end{vmatrix}$
第2行から第1行を引く，第3行から第1行を引く
$=2(a+ b+ c)\begin{vmatrix}1& b+ c& c+ a\\ 0& a-c& b-a\\0& a-b& b-c\end{vmatrix}$
第1列に沿って余因子展開する
$=2(a+ b+ c)\begin{vmatrix}a-c& b-a\\a-b& b-c\end{vmatrix}$
$=2(a+ b+ c)\{(a-c)(b-c)+(a-b)^2\}$
$=2(a+ b+ c)(a^2+ b^2+ c^2-ab-bc-ca)$

［参考］
前問の結果と比較すると
$\begin{vmatrix}a+ b& b+ c& c+ a\\ c+ a& a+ b& b+ c\\ b+ c& c+ a& a+ b\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}a& b& c\\ c& a& b\\ b& c& a\end{vmatrix}$
が成り立つことが分かる．このことは，次の変形によっても示すことができる．

【行列式の基本性質】(C)
行列式のある列 $\vec{a_j}$ が２つの列の和 $\vec{a_j}\apos+\vec{a_j}\apos\apos$ であれば，行列式の値は $\vec{a_j}$ をそれぞれ $\vec{a_j}\apos,\hspace{3}\vec{a_j}\apos\apos$ で置き替えた２つの行列式の和に等しい．
$[\vec{a_1},\cdots,\vec{a_j}\apos+\vec{a_j}\apos\apos,\cdots,\vec{a_n}]$
$[\vec{a_1},\cdots,\vec{a_j}\apos,\cdots,\vec{a_n}]+ [\vec{a_1},\cdots,\vec{a_j}\apos\apos,\cdots,\vec{a_n}]$

第1列を分けると
$\begin{vmatrix}a+ b& b+ c& c+ a\\ c+ a& a+ b& b+ c\\ b+ c& c+ a& a+ b\end{vmatrix}$ $=\begin{vmatrix}a& b+ c& c+ a\\ c& a+ b& b+ c\\ b& c+ a& a+ b\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b& b+ c& c+ a\\a& a+ b& b+ c\\c& c+ a& a+ b\end{vmatrix}$
第1項は
$\begin{vmatrix}a& b+ c& c+ a\\ c& a+ b& b+ c\\ b& c+ a& a+ b\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a& b+ c& c\\ c& a+ b& b\\ b& c+ a& a\end{vmatrix}$ $+\begin{vmatrix}a& b+ c& a\\ c& a+ b& c\\ b& c+ a& b\end{vmatrix}\]$

【行列式の基本性質】(D)
2つの列が等しい行列式の値は0になる

この後半は第1列と第3列が等しいから，0となって消える．
前半を第2列で分けると，同様にして
$\begin{vmatrix}a& b& c\\ c& a& b\\ b& c& a\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a& c& c\\ c& b& b\\ b& a& a\end{vmatrix}$
の後半は第2列と第3列が等しいから，0となって消える．
結局，第1項は
$\begin{vmatrix}a& b& c\\ c& a& b\\ b& c& a\end{vmatrix}$
に等しい．
同様にして，第2項は
$\begin{vmatrix}b& c& a\\a& b& c\\c& a& b\end{vmatrix}$
に等しいから，元の式は，次の和に等しい
$\begin{vmatrix}a& b& c\\ c& a& b\\ b& c& a\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b& c& a\\a& b& c\\c& a& b\end{vmatrix}$

【行列式の基本性質】(E)
2つの列を入れ替えると符号が変わる

$=\begin{vmatrix}a& b& c\\ c& a& b\\ b& c& a\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a& c& b\\c& b& a\\b& a& c\end{vmatrix}$
$=\begin{vmatrix}a& b& c\\ c& a& b\\ b& c& a\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a& b& c\\c& a& b\\b& c& a\end{vmatrix}$
$=2\begin{vmatrix}a& b& c\\ c& a& b\\ b& c& a\end{vmatrix}$

【例題7】
　行列式の基本性質を用いて，次の式を因数分解してください．
$\begin{vmatrix}a-b& b-c& c-a\\ c-a& a-b& b-c\\ b-c& c-a& a-b\end{vmatrix}$

（解答）
第1列に第2列と第3列を加える
$=\begin{vmatrix}0& b-c& c-a\\ 0& a-b& b-c\\ 0& c-a& a-b\end{vmatrix}$
第1列に沿って余因子展開する
$=0$

【問題7】
　行列式の基本性質を用いて，次の式を因数分解してください．
$\begin{vmatrix}a+ b& c-b& c-a\\ a-b& b+ c& a-c\\ b-a& b-c& c+ a\end{vmatrix}$

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（解答）
第2行に第1行を加える，第3行に第1行を加える
$=\begin{vmatrix}a+ b& c-b& c-a\\ 2a& 2c& 0\\ 2b& 0& 2c\end{vmatrix}$
第2行を2でくくり出す
$=2\begin{vmatrix}a+ b& c-b& c-a\\ a& c& 0\\ 2b& 0& 2c\end{vmatrix}$
第3行を2でくくり出す
$=4\begin{vmatrix}a+ b& c-b& c-a\\ a& c& 0\\ b& 0& c\end{vmatrix}$
第1行から第2行を引く
$=4\begin{vmatrix} b& -b& c-a\\ a& c& 0\\ b& 0& c\end{vmatrix}$
第1行から第3行を引く
$=4\begin{vmatrix} 0& -b& -a\\ a& c& 0\\ b& 0& c\end{vmatrix}$
第1列に沿って余因子展開する
$=4(abc+ abc)=8abc$

【例題8】
　行列式の基本性質を用いて，次の式を因数分解してください．
$\begin{vmatrix}a+ b& a& a\\ a& a+ b& a\\ a& a& a+ b\end{vmatrix}$

（解答）
第1列に第2列と第3列を加える
$=\begin{vmatrix}3a+ b& a& a\\ 3a+ b& a+ b& a\\ 3a+ b& a& a+ b\end{vmatrix}$
第1列を $3a+ b$ でくくり出す
$=(3a+ b)\begin{vmatrix}1& a& a\\ 1& a+ b& a\\ 1& a& a+ b\end{vmatrix}$
第2行から第1行を引く, 第3行から第1行を引く
$=(3a+ b)\begin{vmatrix}1& a& a\\ 0& b& 0\\ 0& 0& b\end{vmatrix}$
第1列に沿って余因子展開
$=(3a+ b)b^2$

【問題8】
　行列式の基本性質を用いて，次の式を因数分解してください．
$\begin{vmatrix}a+ b& c& c\\ c& a+ b& c\\ c& c& a+ b\end{vmatrix}$

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（解答）
第1行から第3行を引く, 第2行から第3行を引く
$=\begin{vmatrix}a+ b-c& 0& c-a-b\\ 0& a+ b-c& c-a-b\\ c& c& a+ b\end{vmatrix}$
第1行を $a+ b-c$ でくくり出す
$=(a+ b-c)\begin{vmatrix}1& 0& -1\\ 0& a+ b-c& c-a-b\\ c& c& a+ b\end{vmatrix}$
第2行を $a+ b-c$ でくくり出す
$=(a+ b-c)^2\begin{vmatrix}1& 0& -1\\ 0& 1& -1\\ c& c& a+ b\end{vmatrix}$
第3行から第1行の $c$ 倍を引く
$=(a+ b-c)^2\begin{vmatrix}1& 0& -1\\ 0& 1& -1\\ 0& c& a+ b+ c\end{vmatrix}$
第1列に沿って余因子展開
$=(a+ b-c)^2(a+ b+ 2c)$

【例題9】
　行列式の基本性質を用いて，次の式を因数分解してください．
$\begin{vmatrix}a+ b& c& c\\ a& b+ c& a\\ b& b& c+ a\end{vmatrix}$

（解答）
第1行から第2行と第3行を引く
$=\begin{vmatrix}0& -2b& -2a\\ a& b+ c& a\\ b& b& c+ a\end{vmatrix}$
第1行を−2でくくり出す
$=(-2)\begin{vmatrix}0& b& a\\ a& b+ c& a\\ b& b& c+ a\end{vmatrix}$
第2行から第1行を引く, 第3行から第1行を引く
$=(-2)\begin{vmatrix}0& b& a\\ a& c& 0\\ b& 0& c\end{vmatrix}$
第1列に沿って余因子展開
$=(-2)(-abc-abc)=4abc$

【行列式の基本性質】(D)
　2つの列が等しい行列式の値は0になる．
　2つの行が等しいときも同様．

【例題10】
　行列式の基本性質を用いて，次の式の値を計算してください．
$\begin{vmatrix}1& a& b+ c\\ 1& b& c+ a\\ 1& c& a+ b\end{vmatrix}$

（解答）
第3列に第2列を加える
$=\begin{vmatrix}1& a& a+ b+ c\\ 1& b& a+ b+ c\\ 1& c& a+ b+ c\end{vmatrix}$
第3列を $a+ b+ c$ でくくり出す
$=(a+ b+ c)\begin{vmatrix}1& a& 1\\ 1& b& 1\\ 1& c& 1\end{vmatrix}$
第1列と第3列が等しいから，行列式の値は0になる
$=0$

【問題10】
　行列式の基本性質を用いて，次の式の値を計算してください．
$\begin{vmatrix}1& 1& 1& 1\\ a& b& c& d\\ b& c& d& a\\c+ d& d+ a& a+ b& b+ c\end{vmatrix}$

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（解答）
第4行に第2行と第3行を加える
$\begin{vmatrix}1& 1& 1& 1\\ a& b& c& d\\ b& c& d& a\\a+ b+ c+ d& a+ b+ c+ d& a+ b+ c+ d& a+ b+ c+ d\end{vmatrix}$
第4行を $a+ b+ c+ d$ でくくり出す
$=(a+ b+ c+ d)\begin{vmatrix}1& 1& 1& 1\\ a& b& c& d\\ b& c& d& a\\1& 1& 1& 1\end{vmatrix}$
第1行と第4行が等しいから，行列式の値は0になる
$=0$

【例題11】
　行列式の基本性質を用いて，次の式を因数分解してください．
$\begin{vmatrix}1& 1& 1\\ a& b& c\\ bc& ca& ab\end{vmatrix}$

（解答）
第2列から第1列を引く, 第3列から第1列を引く
$=\begin{vmatrix}1& 0& 0\\ a& b-a& c-a\\ bc& c(a-b)& b(a-c)\end{vmatrix}$
第2列を $a-b$ でくくり出す
$=(a-b)\begin{vmatrix}1& 0& 0\\ a& -1& c-a\\ bc& c& b(a-c)\end{vmatrix}$
第3列を $a-c$ でくくり出す
$=(a-b)(a-c)\begin{vmatrix}1& 0& 0\\ a& -1& -1\\ bc& c& b\end{vmatrix}$
第1行に沿って余因子展開する
$=(a-b)(a-c)\begin{vmatrix}-1& -1\\c& b\end{vmatrix}$
$=(a-b)(a-c)(c-b)$
$=(a-b)(b-c)(c-a)$

【問題11】
　行列式の基本性質を用いて，次の式を因数分解してください．
$\begin{vmatrix}a+ b& c^2& 1\\ b+ c& a^2& 1\\ c+ a& b^2& 1\end{vmatrix}$

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（解答）
第2行から第1行を引く, 第3行から第1行を引く
$=\begin{vmatrix}a+ b& c^2& 1\\ c-a& a^2-c^2& 0\\ c-b& b^2-c^2& 0\end{vmatrix}$
第2行を $a-c$ でくくり出す
$=(a-c)\begin{vmatrix}a+ b& c^2& 1\\ -1& a+ c& 0\\ c-b& b^2-c^2& 0\end{vmatrix}$
第3行を $b-c$ でくくり出す
$=(a-c)(b-c)\begin{vmatrix}a+ b& c^2& 1\\ -1& a+ c& 0\\ -1& b+ c& 0\end{vmatrix}$
第3列に沿って余因子展開する
$=(a-c)(b-c)\begin{vmatrix}-1& a+ c\\ -1& b+ c\end{vmatrix}$
第2行から第1行を引く
$=(a-c)(b-c)\begin{vmatrix}-1& a+ c\\ 0& b-a\end{vmatrix}$
$=(a-c)(b-c)(a-b)$
$=-(a-b)(b-c)(c-a)$

【例題12】
　行列式の基本性質を用いて，次の式を因数分解してください．
$\begin{vmatrix}1& a& b^2+ c^2\\ 1& b& c^2+ a^2\\ 1& c& a^2+ b^2\end{vmatrix}$

（解答）
第2行から第1行を引く, 第3行から第1行を引く
$=\begin{vmatrix}1& a& b^2+ c^2\\ 0& b-a& a^2-b^2\\ 0& c-a& a^2-c^2\end{vmatrix}$
第2行を $a-b$ でくくり出す
$=(a-b)\begin{vmatrix}1& a& b^2+ c^2\\ 0& -1& a+ b\\ 0& c-a& a^2-c^2\end{vmatrix}$
第3行を $a-c$ でくくり出す
$=(a-b)(a-c)\begin{vmatrix}1& a& b^2+ c^2\\ 0& -1& a+ b\\ 0& -1& a+ c\end{vmatrix}$
第1列に沿って余因子展開する
$=(a-b)(a-c)\begin{vmatrix}-1& a+ b\\-1& a+ c\end{vmatrix}$
第2行から第1行を引く
$=(a-b)(a-c)\begin{vmatrix}-1& a+ b\\0& c-b\end{vmatrix}$
$=(a-b)(a-c)(b-c)$
$=-(a-b)(b-c)(c-a)$

【問題12】
　行列式の基本性質を用いて，次の式を因数分解してください．
$\begin{vmatrix}a& b& c\\ bc& ca& ab\\ a^2& b^2& c^2\end{vmatrix}$

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（解答）
第2列から第1列を引く, 第3列から第1列を引く
$=\begin{vmatrix}a& b-a& c-a\\ bc& c(a-b)& b(a-c)\\ a^2& b^2-a^2& c^2-a^2\end{vmatrix}$
第2列を $b-a$ でくくり出す
第3列を $c-a$ でくくり出す
$=(b-a)(c-a)\begin{vmatrix}a& 1& 1\\ bc& -c& -b\\ a^2& b+ a& c+ a\end{vmatrix}$
第3列から第2列を引く
$=(b-a)(c-a)\begin{vmatrix}a& 1& 0\\ bc& -c& c-b\\ a^2& b+ a& c-b\end{vmatrix}$
第3列を $c-b$ でくくり出す
$=(b-a)(c-a)(c-b)\begin{vmatrix}a& 1& 0\\ bc& -c& 1\\ a^2& b+ a& 1\end{vmatrix}$
第3行から第2行を引く
$=(b-a)(c-a)(c-b)\begin{vmatrix}a& 1& 0\\ bc& -c& 1\\ a^2-bc& a+ b+ c& 0\end{vmatrix}$
第3列ｎ沿って余因子展開する
$=-(b-a)(c-a)(c-b)\begin{vmatrix}a& 1\\ a^2-bc& a+ b+ c\end{vmatrix}$
$=-(b-a)(c-a)(c-b)(a^2+ ab+ ac-a^2+ bc)$
$=-(b-a)(c-a)(c-b)(ab+ bc+ ca)$
$=-(a-b)(b-c)(c-a)(ab+ bc+ ca)$

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