■文字係数方程式の解
xの方程式 ax=b の解は (1) a≠0のとき, i) b=0 のとき,(0x=0の形だから) |
例
xについての方程式 (k2-1)x=k-1 の解は, ア) k≠±1 のとき x= イ) k=1のとき 0x=0 となり,xは任意の実数。 ウ) k=−1のとき 0x=-2 となり,解なし。 |
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■定数項が0である連立方程式が原点以外の解を持つ条件
原点 x=y=0は(1)(2)の解となるのは,当然のこと,自明のことです。 (代入すれば分かります。) x=y=0を連立方程式(1)(2)の自明解といいます。 次に,連立方程式(1)(2)が,自明解以外の解(自明でない解)を持つ条件を考えます。 原点を通る2つの直線が,原点以外の点でも「交わっている」ことは考えにくいことですが,右図のように,「2直線が一致する場合」に限り原点以外の点(x、y)で方程式が成立することとなります。 (1)(2)はΔ=ad-bc=0のとき,平行かつ一致する2直線となります。 このとき,共有点は単に2個あるのでなく,直線上の点全部が共有点となります。 |
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[問題]
を解きなさい。 ([ア][イ][ウ]に適すする数を答えなさい。)
[答案] Δ=(k+1)(k-1)-3=k2-4 ア) k≠[ア] のときΔ≠0 だから逆行列が存在する。 =・・・答
イ) k=[イ] のとき
x+y=1・・・(4) (4)×3は(3)と一致する。 x+y=1を満たすすべての実数・・・答
ウ) k=[ウ]のとき
(x=t,y=1−t) x-3y=1・・・(6) (5)と(7)の両方を満たすx,yは存在しない。 解なし・・・答
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[問題]
が,x=y=0以外の解を持つように定数kの値を定めなさい。 [答案] Δ=(k+3)(k-2)-2k=0 より k2-k-6=0 |
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