== 行列式 ==
○　はじめに
・　行列式は「連立方程式」「逆行列」「固有値」などに関連していろいろな場面で登場する．

・　行列式は正方行列に対応して定まり，正方行列でない行列に対して行列式は定義されない．また，行列式は単なる数（スカラー）で，ベクトルや行列のように多くの成分からなるものではない．
　この頁では行列式の数学的な定義に深入りせず，「行列式の値を求めること」と「簡単な変形ができること」までを目標とする．

・　実数値で与えられた行列の行列式の値を求めるだけなら，○１だけでよい．
・　線形代数の基本として筆算で変形するときは○３，○５が必要になることがある．
・　統計などの応用でしばしば登場するのは○４

○１　【行列式の値をExcelで求めるには】
各成分が整数，小数，分数の数値の場合はExcelで計算できる．
文字式を含む場合はExcelでは無理（π，e などの記号定数や根号を含む場合は近似値になる）
　Excelのワークシートに表1のように４×４の正方行列の各成分を入力してあるとき，E4のセルにこの行列の行列式の値を書き込むには，行列式を計算する関数MDETERM(行列の範囲)を利用するとよい．
(1)　式を直接書き込むときは求めたいセル（E4とする）に=MDETERM(A1:D4) と書き込むとよい．
(2)　関数名を覚えずに関数の挿入からメニューをたどっていくときは，
　画面上の数式バーの左にあるfxをクリック
→関数の分類：「数学/三角」または「すべて表示」
　関数名：MDETERM　ＯＫ
→配列：A1:D4　ＯＫ
表1
　 A B C D E
1 1 -2 3 2 　
2 -2 2 0 2 　
3 2 4 -1 -2 　
4 3 5 -7 -6 　

この行列の行列式は -102 になる． 		（Excel練習用）問題
　次の行列の行列式の値を求めよ．（各々画面上でドラッグ・コピーしてからExcelに貼り付けて，計算を行うとよい．）
(1)　
3 1
4 2
(2)
1 0
3 -2
(3)
0 -1 -1
3 2 1
5 -2 0
(4)　
0 1 3
-2 -3 -5
4 -4 4
(5)
1 -2 3 2
0 2 0 2
0 0 -1 -2
0 0 0 -6
（解答）
(1)　2 (2) 　-2 (3)　11
(4)　48 (5)　　12 　
○１の２　【行列式の値をwxMaximaで求めるには】
wxMaximaでは文字式やπ，e などの記号定数，根号を含む場合も計算できる
※フリーの数学ソフトwxmaximaのインストール方法や初歩的な操作はこの頁
(1)　はじめに行列に名前を付けて，（正方）行列の成分を手入力で行う
ここでは を例にとって解説する．
wxMaximaのメニュー画面から，「代数」→「手入力による行列生成」と進み
行数：2
列数：2
タイプ：一般
変数名：A
OKとする．

成分を 1 2 3 4 と入力する（タブキーが使える）OK

(2)　上で入力した行列に対して行列式の値を求める
入力したばかりの入力行 　(%i...)の行　にカーソルを置いて
「代数」→「行列式の計算」を選択すると −2 が出力される

※wxMaximaで記号定数πは %pi，eは %e，根号はsqrt(2)などと入力します．出力されるときは各々π，e，になります． 		（wxMaxima練習用）問題
　次の行列の行列式の値を求めよ．
(1)
とおくとき，det(A)を求めるには

（解答）
行数：2，列数：2，タイプ：一般，変数名：Aの行列とし，成分を
%pi/2%pi/3
%pi/3%pi/4
のように入力する．

次に，その入力行にカーソルを当てて，「代数」→「行列式の計算」を選択する

結果：になります．
(2)
とおくとき，det(B)を求めるには

（解答）
行数：2，列数：2，タイプ：一般，変数名：Bの行列とし，成分を
(-1-sqrt(3))/2(-1+sqrt(3))/2
(1-sqrt(3))/2(1+sqrt(3))/2
のように入力する．

次に，その入力行にカーソルを当てて，「代数」→「行列式の計算」を選択する

結果：一旦，少々複雑な式が出力される．
出力された式にカーソルを当てて，「式の変形」→「関数の整理」を選ぶと
になります．

○２　【行列式を表す記号】
　行列Aの行列式を表す記号としてdet(A) , |A|などが用いられる．この頁では主にdet(A)を用いる．

（※　行列式を英語でdeterminantという．参考までに，数学記号として行列式の書き方は上のように決まっているがdet(A)を「何と読むか」は決まっていない．determinant Aと読む人が多いかも．） 　
例
　A= のとき det(A)=2
　直接などと書くこともできる． 		　行列式を|A|で表すときに，この記号は絶対値とは関係がなく，負の値にもなることに注意：上の問題(2)では|A|= −2

　行列式は単なる数なので，和差積商などの演算の中に使うこともできる．
例
　det(A)det(B)=6 , など

○３　【行列式の性質 I 】　･･･余因子展開による計算
　（はじめに述べたように，この頁では行列式の数学的な定義に深入りしないが，行列式の性質の簡単な部分のみ触れる．）
(1)　１次正方行列（1×１行列）の行列式はその数とする．
(2)　２次正方行列の行列式は，ad−bcとする．
(3)　３次正方行列の行列式は，次のように２次正方行列の行列式で定義できる．
a11·−a21·+a31·

※３次正方行列だけに適用できるサリュの方法もあるが，他の行列には適用できないので，ここではふれない．

(4)　以下同様にしてｎ次正方行列の行列式は（ｎ-1）次正方行列の行列式に展開したものによって帰納的に定義する．･･･（前のものによって次のものを定義する．）
例
(1)
det( 3 )=3

(2)
det=2·4−1·3=5
(3)

=3(−20+12)−2(−16+6)+(−8+5)=−24+20−3=−7
※　各成分aijに対して

(−1)i+jaij（その行と列を取り除いた行列の行列式）

を余因子という．
※　また，１つの列または１つの行についてすべての余因子を加えたもの，例えば
a11·−a21·+a31·
を余因子展開という．
（ここでは第1列に関する余因子展開を示したが，「どの列について」もしくは「どの行について」余因子展開しても行列式の値は等しくなり，ただ１通りに定まる．）
たとえば，第1行に関する余因子展開は次のようになる．

=3(−20+12)−4(−8+2)−(12−5)=−24+24−7=−7 		(2) ２次正方行列の行列式 　
a det( d )−c det( b ) =ad−bc

(3)　３次正方行列の行列式
○　各(i,j)成分に対して，i行とj列を取り除いた残りの行列を考える．
○1　例えばa11に対しては，次のようにa22〜a33の２×２行列を考える．
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
　次に，a11·を考えてその符号を正とする．
○2　a21に対しては，次のようにa12〜a33の２×２行列を考える．
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
　次に，a21·を考えてその符号を負とする．
○3　a31に対しては，次のようにa12〜a23の２×２行列を考える．
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
　次に，a31·を考えてその符号を正とする．
　これらの和を求めたものを第１列に関する「余因子展開」という．
a11·−a21·+a31·

　次の表のように(1,1)成分からスタートして各(i,j)成分に符号を付ける．･･･式では(−1)i+jと書かれるが，結果は「左上端が＋のチェック模様」になる．
　水色で示したのは第1列に関して余因子展開するときに使う符号
符号表
＋ − ＋ −
− ＋ − ＋
＋ − ＋ −
− ＋ − ＋
例　次の行列の行列式を余因子展開によって求めよ．
(1)
1 0 2
3 0 1
2 1 1
(2)
2 0 0 0
1 2 1 -2
-3 -1 1 2
1 0 0 -1
（解答）
(1)　第２列は0が多いので，第2列で展開すると楽にできる．
−0+0−(1·1−3·2)=5

(2)　第１行は0が多いので，第１行で展開すると楽にできる．

　次に第３行は0が多いので，第３行で展開すると楽にできる．
2( 0−0+(−1)(2+1) )=−6
例
(1)　上三角行列，下三角行列，対角行列の行列式はいずれも対角成分の積になることを示せ．

(2)　単位行列の行列式は1になる（det(E)=1）ことを示せ．
（解答）
(1)　上三角行列について
　第１列について展開すると a11（残りの３×３行列の行列式）
　さらに，第１列にについて展開すると a11a22（残りの２×２行列の行列式）
…
　以下同様にして，a11a22a33a44になる．

下三角行列，対角行列についても同様にして示される．

(2)　(1)の対角行列の行列式において，対角成分がすべて1のときを考えると分かる．

○４　【行列式の性質 II 】 …［後の応用でしばしば登場する!!］
(a)　ある行列とその転置行列の行列式は等しい．
det( tA)=det(A)
(b)　行列の積の行列式は行列式の積に等しい．
det(AB)=det(A) det(B)
(a)　ある行列の第i行について余因子展開した式は，転置行列の第i列について余因子展開した式と同じ式になるから，それらは等しい．

(b)　証明略
　この性質から，次の等式が成り立つ．
det(ABC)=det(A) det(B) det(C)
Aの逆行列A−1について
AA−1=E　→　det(AA−1)=det(E)
　→　det(A) det(A−1)=1　→　

○５　【行列式の性質 III 】 …筆算で変形するときに使う
(1)　行列の１つの行（または１つの列）を定数k倍すると行列式はk倍になる．
※この性質から，「１つの行（または列）の係数を0以外の数でくくって行列式の外に出せる」ことになる．
(2)　２つの行（または列）を入れ替えると行列式の符号が変わる．
(3)　行列の１つの行（かたは１つの列）の定数k倍を他の行（または列）に加えても行列式は変わらない．
(1)　ｋ倍した行について余因子展開すると分かる．




(2)(3)この頁では証明略
(1)(2)(3)を組み合わせて､行列式を扱いやすい形に変形していくことができる．
例
1 3 -1 2
1 2 1 -2
-3 -1 1 2
2 4 -1 1
の行列式を求めたいとき
第2行：第2行-第1行
第3行：第3行+第1行×3
第4行：第4行-第1行×2　により第1列に0を作ると簡単になる
1 3 -1 2
0 -1 2 -4
0 8 -2 8
0 -2 1 -3
次の３×３行列について
-1 2 -4
8 -2 8
-2 1 -3
第2行：第2行+第1行×8
第3行：第3行-第1行×2　により第1列に0を作ると簡単になる
-1 2 -4
0 14 -24
0 -3 5
以上により，1*(−1)*(70−72)=2
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