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◆解説◆
【行ベクトル，列ベクトル】
例えば，次の行列をAとするとき，   ， ， ， また，Aは３個の行ベクトル 【一次独立，一次従属】 ○行ベクトルまたは列ベクトル（の組）, , , ...について， 一次独立でないとき，一次従属であるといいます． ○あるベクトル（の組）が，一次独立であるとき， どのベクトルも，他のベクトルの一次結合によって表すことはできません． ≠cp+cq+... 逆に，あるベクトル（の組）が，一次従属であるとき， いずれかのベクトルは，他のベクトルの一次結合によって表すことができます． =cp+cq+...
【例】
【行基本変形，列基本変形】次の行列Aを４次元行ベクトル, , の組によって考えるとき，  となっています．したがって，これらの行ベクトルは一次独立ではなく，一次従属です． ※一般に４次元ベクトルでは，一次独立なベクトルは多くても４個ですが，この例のようにあるベクトルが他のベクトルの一次結合で表されるときは，一次独立なベクトルがそれよりも少なくなっていることがあります． また，行列Aを３次元列ベクトル, , , の組によって考えるとき， =− =− となっています．したがって，これらの列ベクトルは一次独立ではなく，一次従属です． ※一般に３次元ベクトルでは，一次独立なベクトルは多くても３個ですが，この例のようにあるベクトルが他のベクトルの一次結合で表されるときは，一次独立なベクトルがそれよりも少なくなっていることがあります． 【一次独立なベクトルの個数】 ○次の行列Aのような３行４列の行列では また，行ベクトルとして取り出すと，４次元ベクトルとなるので，一次独立なベクトルの個数は多くても４個までです． ⇒ 以上から，３×４行列を行ベクトルまたは列ベクトルとして取り出すとき，一次独立なベクトルの個数は，行と列のうち少ない方：３個以下です． ⇒ 一般に，ｍ×ｎ行列からできる行ベクトルまたは列ベクトルのうちで一次独立なものの個数は，ｍとｎのうちで小さい方以下となります． ○行列の行（列）に対して，次の操作を行うことを行（列）基本変形といいます．
この変形は，連立方程式を正しく変形するときに，係数行列に加えることのできる変形をまとめたものです．
・２つの行（列）を入れ替える．
・１つの行（列）を定数倍（≠０）する．
以後の変形の見通しを良くするために，
・１つの行（列）に他の行（列）の定数倍（≠０）を加える.
※行基本変形にあたっては，行ベクトルの成分のうちで，左から見て０でない最初の成分を１となるように，   ある行（列）ベクトルが他の行（列）ベクトルの一次結合で表されるということ =cp+cq+... は， 行（列）基本変形によって零ベクトルになる ということと同じなので，行（列）基本変形を繰り返したときに，零ベクトルにならずに残った行（列）ベクトルの個数が行列のうちで一次独立なものの個数です．
【行列の階数の求め方】
○行列の階数とは，ある行列の列ベクトル（または行ベクトル）のうちで一次独立なものの最大個数です．
行（列）基本変形によって，行（列）ベクトルを成分をなるべくたくさん消したときに（０にして），
消えずに残った行（列）ベクトルの個数が階数
【例１】
・２行目に１行目を加える．次の行列の階数を求めてください．   ３行目から２行目の３倍を引く．  ≪別解≫ ・２列目から１列目を引く． ３列目に１列目の３倍を足す．  ３列目から２列目の２倍を引く． 
【例２】
・１行目と２行目を入れ替える．次の行列の階数を求めてください．   ３行目に１行目の２倍を足す．     |
の階数は，次のどれか．
の階数が
の階数は，次のどれか．
の階数が
, a
, a
, a
,
, a
の階数は，次のどれか．
の階数が
に１回の行基本変形を行っただけでは得られない行列は，次のどれか．
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