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■逆行列
【逆行列とは】
ｎ次正方行列Aに対して AB=BA=En が成り立つとき，ｎ次正方行列BをAの逆行列といい，A−1で表す．ここに，Enはｎ次の単位行列とする．
【例】
※ｎ次正方行列Aの逆行列A−1が存在するとき(1) ２次の正方行列について   = =だから はの逆行列また， はの逆行列(2) ３次の正方行列について   = =だから はの逆行列また， はの逆行列AA−1=A−1A=En が成り立つ． ※正方行列でないものについては逆行列は考えない．
【逆行列の求め方】
○２次の正方行列について，高校では（教育課程により，また科目選択により，習わないことがある）次のように覚える．
（ア） |A|=ad−bc≠0のとき，逆行列が存在し
○３次以上の正方行列については， の逆行列は の対角成分は入れ替えて，対角でない成分は符号だけ変えたものを考えると，= となるから，全体をad−bcで割ると単位行列になる． A=  の逆行列を求めるには，その右側に単位行列を付けた次のような行列を考えて |
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【例】
(1) （高校数学で習う方法で）A=  の逆行列を求めるには，まず対角成分は入れ替えて，対角でない成分は符号だけ変えて を考える．次に，これを行列式|A|=4−6=−2で割って
A−1= とする．
【行基本変形で求める方法】 右側に単位行列を付けた次のような行列を考える  １行目は左端が1になっている．２行目から１行目の３倍を引く  ２行目の0でない左端を1にするために，２行目を−2で割る  １行目から２行目の２倍を引いて，左側の行列を単位行列にする  よって， −1=
(2)行基本変形によって の逆行列を求めるには，はじめに右側に単位行列を付けた次のような行列を考える １行目と２行目を入れ替える  ３行目から１行目の２倍を引く  １行目から２行目を引く，３行目に２行目を足す  １行目に３行目を足す，２行目から３行目の２倍を引く  よって， −1=
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○この頁に登場する【問題】は，公益社団法人日本技術士会のホームページに掲載されている「技術士第一次試験過去問題 共通科目A 数学」の引用です．（=公表された著作物の引用）
○【解説】は個人の試案ですが，Ｗｅｂ教材化にあたって「問題の転記ミス」「考え方の間違い」「プログラムの作動ミス」などが含まれる場合があり得ます． 問題や解説についての質問等は，原著作者を煩わせることなく，当Ｗｅｂ教材の作成者（<浅尾>）に対して行ってください．
A
 = A  = のとき，これらをまとめて A  = と表せるから 両辺に右から −1を掛けるとA= −1= =
→ 3≪別解≫
A=
 とおくとA =よりa=−2, c=1A =よりa+b=1, c+d=3だから a=−2, b=3, c=1, d=2 A=
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AB+2B=Eより
(A+2E)B=E 両辺に左から(A+2E)−1を掛けると B=(A+2E)−1 A+2E=  だからB=(A+2E)−1= 
→ 3 |
 から行基本変形を行って，逆行列を求める１行目を２で割る  ３行目から１行目の４倍を引く  ２行目から３行目の３倍を引く  ２行目を２で割る  逆行列A−1の(1, 1)成分は → 1 |
 から行基本変形を行う２行目から１行目を引く  ２行２列の成分1−aが0の場合は，２行目のすべての成分が0となるため，行列式が0となり，逆行列が存在しない．これは題意に合わないからa≠0といえる．そこで２行目を1−aで割る．  １行目から２行目のa倍を引く．３行目から２行目を引く  できた逆行列の(1, 1)成分が−1であるから 1−=−1 a−1−a=−(a−1) a=2 → 5 |
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≪逆行列を利用する方法≫
A  = A  = だから A  = A= −1= =  したがって A  == → 4≪行列の積の線形性を利用する方法≫
行列A，列ベクトル, , , について
A=，A= ならば A(+)=+ が成り立つ =+だから A =A+A=+= |
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≪必要なところだけ計算する≫
  = となるから，積の３列目だけ比較すると x−y+3=0…(1) 2x+y=0…(2) 3x−y+3a=1…(3) (1)(2)よりx=−1, y=2 これを(3)に代入 a=2 → 5 ≪別解：行基本変形により逆行列を求める≫  から変形し始める２行目から１行目の２倍を引く．３行目から１行目の３倍を引く  ２行目を３で割る  １行目に２行目を足す．３行目から２行目の２倍を引く  ３行目にを掛ける  まだ途中であるが，以下の変形は逆行列の(3,3)成分に影響しない．逆行列の(3,3)成分が3だから =3 3a−5=1 a=2 |
 から行基本変形によって求める２行目から１行目を引く  （分数を避けるために）２行目と３行目を入れ替える  ２行目の符号を変える  １行目から２行目の２倍を引く．３行目に２行目の２倍を足す  ２行目に３行目を足す  よって，逆行列は 
→ 3
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 から行基本変形で求める１行目の符号を変える  １行目に２行目の２倍を足す  ３行目の符号を変える  １行目から３行目の５倍を引く．２行目から３行目の２倍を引く  よって､逆行列は 
→ 1
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