※高卒から大学初年度向けの「ベクトル,行列」について,このサイトには次の教材があります.
*** ベクトル *** ↓ ●ベクトル.行列の超基本 ●ベクトルの直交条件 ●1次独立,1次従属,基底,次元,核,階数 *** 行列 *** ↓ ●逆行列(1) ●逆行列(2) ↓ ●転置行列,対称行列,対角行列,三角行列 ●行列の階数 *** 行列式 *** ●行列式(1) ●行列式(2) ●行列式(3) *** 一次変換 *** ●行列と一次変換 ●点の像と原像 *** 固有値 *** ↓ ●固有値.固有ベクトルの定義 ↓ ●固有値と固有ベクトル(1) ●固有値と固有ベクトル(2) ●行列の対角化とは ●行列を対角化するには |
← PC用は別頁 ≪行列の積の定義≫ [行ベクトルと列ベクトルの内積] ●行と列の掛け方 内積については,左からは行ベクトルを 右からは列ベクトルを掛けるものとします。 (左右を逆にしたものは定義されません。) ●要素数
内積が定義できるものの例
|
[行列の積]
●[m×n型][n×p型]=[m×p型] 積が定義されるためには,左の列数と右の行数が等しくなければなりません。 ●成分は,成分は,i行とj列の積がi行j列成分 となります。…(*2)
(*2)の図解
1行と1列の積が1行1列成分:(1,1)成分になります. 1行と2列の積が1行2列成分:(1,2)成分になります. 1行と3列の積が1行3列成分:(1,3)成分になります. 2行と1列の積が2行1列成分:(2,1)成分になります. 2行と2列の積が2行2列成分:(2,2)成分になります. 2行と3列の積が2行3列成分:(2,3)成分になります. 3行と1列の積が3行1列成分:(3,1)成分になります. 3行と2列の積が3行2列成分:(3,2)成分になります. 3行と3列の積が3行3列成分:(3,3)成分になります.
【ここまでの要約】
(*2) 「行と列の積」が「行列の各要素」になる. (*1) できた行列の型は「しりとり」 |
例
次の行列B1〜B9のうち,2×3行列 また,2×3行列
B1=,B2=,B3=
B4=,B5=,B6= B7=,B8=, B9= |
[問題] 1 次の行列B1〜B9のうち,3×2行列 |
2
次の行列B1〜B9のうち,3×2行列 |
[積の計算] 例 |
[問題]
3 |
4 各々正しいものを選んでください. |
2×2行列 と 2×1行列 の積は,しりとりの仕組みで中の組を落としていくと2×1行列になります
左の行列の2行目と右の行列の1列目を掛けると |
2×3行列 と 3×2行列 の積は,しりとりの仕組みで中の組を落としていくと2×2行列になります
左の行列の1行目と右の行列の2列目を掛けると |
3×2行列 と 2×3行列 の積は,しりとりの仕組みで中の組を落としていくと3×3行列になります
左の行列の2行目と右の行列の1列目を掛けると |
1×2行列 と 2×2行列 の積は,しりとりの仕組みで中の組を落としていくと1×2行列になります
左の行列の1行目と右の行列の2列目を掛けると |
1×2行列 と 2×2行列 と 2×3行列の積は,しりとりの仕組みで中の組と組を落としていくと1×3行列になります
左端の行列と中の行列を掛けて,できた行列に右端の行列を右から掛けると だから (1,2) 成分は7になります |
(参考)Excelで行列の積を確かめる方法
○1
【例1】行ベクトルと行ベクトル,または,列ベクトルと列ベクトルの(内)積を求めるには =SUMPRODUCT() を使う (SUM+PRUDUCT:積の和ということか) のとき,内積を求めるには,右図のようにA1::C3の範囲にデータを入力しておいて =SUMPRODUCT(A1:C1,A2:C2) とするとよい.これにより,積1×4, 2×5, 3×6の和 4+10+18=32 が求められる. 【例2】 同様にして,2つの列ベクトル の内積を求めるには,右図のようにA1::B2の範囲にデータを入力しておいて =SUMPRODUCT(A1:A2,B1:B2) とするとよい.これにより,積1×2, 4×5の和 2+20=22 が求められる. このようにExcelにおいては,=SUMPRODUCT()は「行と行」「列と列」の内積を求めるのに使う.
○2
【例3】行ベクトルと列ベクトル,もっと一般的に行列の積を求めるには =MMULT()を使う (Matrix+MULT:行列の積ということか) 行ベクトルと列ベクトルの積を求めるには,右図のようにデータを入力しておいて =MMULT(A1:C1,D1:D3) とするとよい.これにより,積1×4, 2×5, 3×6の和 4+10+18=32 が求められる. 【例3】 2×3行列と3×2行列の積を求めるには
[2×3型]×[3×2型]の積はしりとりで[2×2型]になる
例えばF4のセルから右2×下2の範囲で結果を表したいとき
(1) はじめに,F4のセルに =MMULT(A1:C2,D1:E3) と書きこみます.
※このように書きこんでも,F2に(1,1)成分の1つの数しか得られないことに注意.他の計算でよくやるようにコピー&ペーストやドラッグをしても残りの3個のセルには値が入らない.
(2) F4からG5までの[2×2型]の範囲を反転表示しておいて,画面上にある数式ウィンドウにマウスを当てながらCtrl+Shift+Enterとします.(CtrlキーとShiftキーを押しながらEnterキーを押します)次のようにして,2×2型の配列にするところが重要 これにより2×2行列が得られます. このように「横向きの並び」に対して「縦向きの並び」のものを順に対応させて,掛けてから足すときは =MMULT() を使う. |
[注]直前にPC版から入られた場合は,自動転送でスマホ版に来ていますので,ブラウザの[戻るキー]では戻れません(堂々巡りになる).下記のリンクを使ってメニューに戻ってください.
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■[個別の頁からの質問に対する回答][行列の積について/18.6.12]
昭和の初期に生まれた84歳の老人です。ふとしたことから行列、ベクトルに興味をもち、これまた偶然にこのサイトに出会いました。(もちろん高校時代に行列やベクトルなど教科書にありませんでした。)説明が非常にわかりやすく、よく理解できました。ありがとうございました。最後のページの行列の積の問題をやり全問正解だったとき自分で拍手をしてしまいました。これからも時間があったら少しずつ勉強してみようと思っております。よろしくお願いいたします。
■[個別の頁からの質問に対する回答][行列の積について/18.3.21]
=>[作者]:連絡ありがとう.この教材の管理人が行列を習ったのは今からほぼ半世紀前です.50歩100歩かも. 行 列 行 列 と頭の中で念仏の様に唱えながら解きました
行は漢字に横の線があるから横 列は縦の漢字があるから縦とも覚えてみました
■[個別の頁からの質問に対する回答][行列の積について/18.1.22]
=>[作者]:連絡ありがとう.各自の内的なロジックで身に着いていくのだと思う. わかりやすかったです。
■[個別の頁からの質問に対する回答][行列の積 ABの定義について/17.10.7]
=>[作者]:連絡ありがとう. すごく参考になります!ありがとうございました!
■[個別の頁からの質問に対する回答][行列の積について/17.9.26]
=>[作者]:連絡ありがとう. 私は、行列について初心者でしたが、
分かりやすかったです。
■[個別の頁からの質問に対する回答][行列の積 ABの定義について/17.3.3]
=>[作者]:連絡ありがとう. 行列に関してほぼ知識なしの状態でこのページにたどり着きましたが、ちゃんと理解できました。すごく分かりやすかったです。
■[個別の頁からの質問に対する回答][行列の積について/17.2.8]
=>[作者]:連絡ありがとう. windows8.1、IEの環境ですが、4(2)と(3)の数字が上下消えていて読めなくなっておりました(他は問題ありませんでした。こちらの機種(NECのタブレットPC)のせいかもしれませんが、念のため報告します。
■[個別の頁からの質問に対する回答][行列の積について/17.1.12]
=>[作者]:連絡ありがとう.原因となる箇所は特定できるのですが,区切り文字のスペースを入れるとエラーになる場合と,区切り文字のスペースを入れないとエラーになる場合があって,やってみないと分からないという感じです.(2)はスペースあり:エラー,なし:正常,(5)はなし:エラー,あり:正常とちょうど逆にすると直りました. (5)の式を示す画像が正しく表示されておりません。修正していただけると嬉しいです。
=>[作者]:連絡ありがとう.このエラーが時々起こることは認識していましたが,今原因が特定できました(たぶん).直っています. |