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*** 大区分 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 中区分 ***
ベクトル・行列連立方程式複素数関数・数列微分積分微分方程式統計maxima

※高卒から大学初年度レベルの「積分」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．

○図１のような立体の体積（縦棒の体積の総和）は，面積要素ds=dxdyに高さz=f(x, y)を掛けて得られる体積要素
dV=f(x, y)ds=f(x, y)dxdy
の総和として，定義域D上の重積分 .∫wn∫Dwwwf(x, y)dxdy
で求めることができます．
○f(x, y)が連続関数で，各変数の定義域がa≦x≦b, α≦y≦βであるとき,この重積分は .β∫αwww b∫awwwf(x, y)dx dy…(1)
または .b∫awww β∫αwwwf(x, y)dy dx…(2)
のように，１変数の積分の繰り返しによって行うことができます．
　(1)は図２のように，まず変数yを固定して，各々のyについて，xで積分し（図で示した壁の面積S(y)を求めて），次にyの関数として表されたその面積をyで積分することによって体積を求めることに対応しています．
　(2)は図３のように，初めにxを固定してyで積分し，図で示した壁の面積S(x)を求めて，次にxで積分するものです．

○変数の定義域が0≦x≦1, 0≦y≦xのように他の変数に依存しているときは .1∫0www x∫0wwwf(x, y)dy dx
または0≦y≦1, y≦x≦1として
.1∫0www 1∫ywwwf(x, y)dx dy
のように計算できます．

【基本の確認】
(1) 1∫0wwwkx dx のようにdxの部分で示されている積分変数x以外の文字（k）は，定数とみなします．だから，この積分は 1∫0wwwkx dx=[nk×.x22n =.k2n−0=.k2nになります．
(2) 1∫0wwwyx dx の場合も，yがxと独立な変数である限り，同様にして 1∫0wwwyx dx=[ny×.x22n =.y2nになります． (3) 積分変数がyであるとき，例えば 2∫0wwwxy dy の場合は，今度はdyの部分で示されている積分変数y以外の文字（x）は，定数とみなします．だから，この積分は 2∫0wwwxy dy=[nx×.y22n =2x になります．

【同種の問題が含まれる書籍】
「微分積分学Ⅱ」（共立出版 基礎数学講座７巻/宇野利雄著）
「新編 高専の数学３ 問題集」（森北出版/田代嘉宏著）
「理工系基礎 微分積分学」（培風館/堀内龍太郎.川崎廣吉.浦部治一郎共著）
「数学へのアプローチ」（裳華房/八木克已著）

（参考）
(*1)　y=x2のとき2∫0wwwy dxを求めよ
というような問題においては，yはxの関数になっておりxと独立な変数ではありません．だから， 2∫0wwwy dx=[nyx=2y ←間違い
2∫0wwwy dx=2∫0wwwx2 dx=[n.x33n =.83n ←正しい
(*)　記号
1∫0www(2∫0wwwyx dy)dxは また，0≦y≦2, 0≦x≦1の領域をDで表すとき さらに，

【要点】
　次の各記号は，いずれも領域D : c≦y≦d, a≦x≦bにおいて，はじめにyで，次にxで積分することを表す． .b∫awww(d∫cwwwf(x,y)dy)dx , b∫awwwd∫cwwwf(x,y)dydx .b∫awwwdxd∫cwwwf(x,y)dy , ∫wn∫Dwwwf(x,y)dydx

【例１】
重積分1∫0www(2∫0www(x+y)dy)dxを計算してください．

↑どの変数に代入するのかを明示するために，このような書き方も可能

【例２】
D : 1≦x≦2, 0≦y≦1のとき 重積分∫wn∫Dwww(x2+y2)dxdyを計算してください．

問１次の重積分を計算してください．
.2∫0www(1∫0wwwx2y dx)dy

.1∫0wwwx2y dx=[n.x33ny =.13ny .2∫0www.13nydy=[n.16ny2=.46n=.23n …（答） → 2

問２次の重積分を計算してください．
.2∫0www1∫0www(x2+2y)dydx

.1∫0www(x2+2y)dy=[nx2y+y2 =x2+1 .2∫0www(x2+1)dx=[n.x33n+x=.83n+2=.143nn …（答） → 5

問３次の重積分を計算してください．
.π−2∫0wwwdxπ−2∫0wwwsin(x+y)dy

.π−2∫0wwwsin(x+y)dy=[n−cos(x+y) =(−cos(x+.π2n))−(−cos x) =sin x+ cos x .π−2∫0www(sin x+cos x)dx=[n−cos x+sin x
.=(0+1)−(−1+0)=2 …（答）→ 2

問４次の重積分を計算してください．
D : 0≦x≦1, 0≦y≦1のとき .∫wn∫Dwwwex−ydxdy

.1∫0wwwex−ydx=[nex−y =e1−y−e−y .1∫0www(e1−y−e−y)dy=[n−e1−y+e−y
. =(−1+e−1)−(−e+1)=e+.1en−2 …（答） → 5

簡単な問題もあってよく理解できました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

よく解りました（理解できました）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．