○図１のような立体の体積（縦棒の体積の総和）は，面積要素ds=dxdyに高さz=f(x, y)を掛けて得られる体積要素
dV=f(x, y)ds=f(x, y)dxdy
の総和として，定義域D上の重積分 .f(x, y)dxdy
で求めることができます．
○f(x, y)が連続関数で，各変数の定義域がa≦x≦b, α≦y≦βであるとき,この重積分は . f(x, y)dx dy…(1)
または . f(x, y)dy dx…(2)
のように，１変数の積分の繰り返しによって行うことができます．
　(1)は図２のように，まず変数yを固定して，各々のyについて，xで積分し（図で示した壁の面積S(y)を求めて），次にyの関数として表されたその面積をyで積分することによって体積を求めることに対応しています．
　(2)は図３のように，初めにxを固定してyで積分し，図で示した壁の面積S(x)を求めて，次にxで積分するものです．

○変数の定義域が0≦x≦1, 0≦y≦xのように他の変数に依存しているときは . f(x, y)dy dx
または0≦y≦1, y≦x≦1として
. f(x, y)dx dy
のように計算できます．

【基本の確認】
(1) kx dx のようにdxの部分で示されている積分変数x以外の文字（k）は，定数とみなします．だから，この積分は kx dx=k× =−0=になります．
(2) yx dx の場合も，yがxと独立な変数である限り，同様にして yx dx=y× =になります． (3) 積分変数がyであるとき，例えば xy dy の場合は，今度はdyの部分で示されている積分変数y以外の文字（x）は，定数とみなします．だから，この積分は xy dy=x× =2x になります．

【同種の問題が含まれる書籍】
「微分積分学�U」（共立出版 基礎数学講座７巻/宇野利雄著）
「新編 高専の数学３ 問題集」（森北出版/田代嘉宏著）
「理工系基礎 微分積分学」（培風館/堀内龍太郎.川崎廣吉.浦部治一郎共著）
「数学へのアプローチ」（裳華房/八木克已著）

（参考）
(*1)　y=x2のときy dxを求めよ
というような問題においては，yはxの関数になっておりxと独立な変数ではありません．だから， y dx=yx=2y ←間違い
y dx=x2 dx= = ←正しい
(*)　記号
(yx dy)dxは また，0≦y≦2, 0≦x≦1の領域をDで表すとき さらに，

【要点】
　次の各記号は，いずれも領域D : c≦y≦d, a≦x≦bにおいて，はじめにyで，次にxで積分することを表す． .(f(x,y)dy)dx , f(x,y)dydx .dxf(x,y)dy , f(x,y)dydx

【例１】
重積分((x+y)dy)dxを計算してください．

↑どの変数に代入するのかを明示するために，このような書き方も可能

【例２】
D : 1≦x≦2, 0≦y≦1のとき 重積分(x2+y2)dxdyを計算してください．

問１次の重積分を計算してください．
.(x2y dx)dy

.x2y dx=y =y .ydy=y2== …（答） → 2

問２次の重積分を計算してください．
.(x2+2y)dydx

.(x2+2y)dy=x2y+y2 =x2+1 .(x2+1)dx=+x=+2= …（答） → 5

問３次の重積分を計算してください．
.dxsin(x+y)dy

.sin(x+y)dy=−cos(x+y) =(−cos(x+))−(−cos x) =sin x+ cos x .(sin x+cos x)dx=−cos x+sin x
.=(0+1)−(−1+0)=2 …（答）→ 2

問４次の重積分を計算してください．
D : 0≦x≦1, 0≦y≦1のとき .ex−ydxdy

.ex−ydx=ex−y =e1−y−e−y .(e1−y−e−y)dy=−e1−y+e−y
. =(−1+e−1)−(−e+1)=e+−2 …（答） → 5

簡単な問題もあってよく理解できました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

よく解りました（理解できました）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．