重積分--積分順序の変更

== 重積分--積分順序の変更 ==

【この頁で引用している問題の出典】
(出典A)
「微分積分学Ⅱ」（共立出版基礎数学講座７巻/宇野利雄著）
(出典B)
「新編高専の数学３問題集」（森北出版/田代嘉宏著）
(出典C)
「理工系基礎微分積分学」（培風館/堀内龍太郎.川崎廣吉.浦部治一郎共著）
(出典D)
「数学へのアプローチ」（裳華房/八木克已著）

【記号】
○　領域D：*1≦x≦*2, *3≦y≦*4における重積分

.f(x,y)dxdy

（*1, *2は定数である場合も，yに依存する場合もある．同様に，*3, *4は定数である場合も，xに依存する場合もある．）

を，まずxについて積分してから，次にyについて積分を行う累次積分（繰り返し積分）として行うことを

.( f(x,y)dx)dy …(1)

で表す．
　(1)式は

.dy f(x,y)dx …(1’)

という記号で表されることもある．この場合において，xについて積分した結果は，一般にはyを含んだ式となっているので，

.dy

の部分は，そのyを含んだ関数の積分という意味になる．

○　同様にして，

.dx f(x,y)dy …(2’)

は，まずyについて積分して得られる（一般にはxを含んだ関数になる）ものを，次にxで積分したもの

.( f(x,y)dy)dx …(2)

を表す．

例１(2xydy)dxの積分の順序を換えると

.(2xydx)dyになる

≪解説≫
　右図の領域Dにおいて，
(1)　青の縦線で示した線に沿って，はじめにxを固定して，それぞれのxに対して，0≦y≦xの区間で変数yで積分してxを含んだ関数として得られる式が

.2xydy

(2)　次に，0≦x≦1の区間で変数xで積分するというのが元の式

.(2xydy)dx

が表しているもの．

2xydy=xy2=x3

x3dx=x4=

になる

　積分の順序を変更して，はじめにyを固定して，それぞれのyに対して，xで積分するときは，図のように積分区間の左端がy，右端が1になる．
(1)　赤の横線で示した線に沿って，y≦x≦1の区間で変数xで積分して得られる式は

.2xydx

(2)　これらを0≦y≦1の区間で変数yで積分すると

.(2xydx)dy

2xydy=x2y=y−y3

(y−y3)dy=y2−y4=−=

になる

例２dyf(x,y)dxの積分の順序を換えると

.dx f(x,y)dyになる

≪解説≫
　右図の領域Dにおいて，
(1)　赤の横線に沿って，はじめにyを固定して，それぞれのyに対して，y≦x≦の区間で変数xで積分してyを含んだ関数として得られる式が

.f(x,y)dx

(2)　次に，0≦y≦1の区間で変数yで積分するというのが元の式

.dyf(x,y)dx

が表しているもの．

　積分の順序を変更して，
(1)　はじめにxを固定して，それぞれのxに対して，yで積分するときは，青の縦線に沿って，x2≦y≦xの区間で変数yで積分して得られる式が

. f(x,y)dy

(2)　これらを0≦x≦1の区間で変数xで積分すると

.dx f(x,y)dy

例３dx2x2ydyの積分の順序を換えると

.2x2ydxdy+2x2ydxdyになる

(出典B)

≪解説≫
　右図の領域Dにおいて，
(1)　青の縦線で示した線に沿って，はじめにxを固定して，それぞれのxに対して，x≦y≦2xの区間で変数yで積分してxを含んだ関数として得られる式が

.2x2ydy

(2)　次に，0≦x≦1の区間で変数xで積分するというのが元の式

.dx2x2ydy

が表しているもの．

　積分の順序を変更して，はじめにyを固定して，それぞれのyに対して，xで積分するときは，図のように積分区間の右端がyの値によって変わるので，２つの領域に分けて求める．
(1)　0≦y≦1の区間では，赤の線で示した線に沿って，≦x≦yの区間で変数xで積分して得られる式は

.2x2ydx

　1≦y≦2の区間では，赤の線で示した線に沿って，≦x≦1の区間で変数xで積分して得られる式は

.2x2ydx

(2)　これらを0≦y≦2の区間で変数yで積分すると

.2x2ydxdy+2x2ydxdyになる

※（参考）どちらで計算しても，結果はになる

※正しい番号をクリックしてください．

問１次のうちでdxx2y dyと等しいものを選んでください．

(出典B)

1dyx2y dx 2dyx2y dx

3dyx2y dx 4dyx2y dx

解説

はじめに，記号の確認：

dxf(x,y)dyとは(f(x,y)dy)dxのこと

dyf(x,y)dxとは(f(x,y)dx)dyのこと

右図の領域Dにおいて，
　はじめにxを固定して，それぞれのxに対して，青の縦線に沿って0≦y≦xの区間で変数yで積分して，xを含んだ関数として得られる式

.x2y dy

を0≦x≦2の区間で変数xで積分するというのが元の問題の表しているものとなっている．

この順序で積分すると

x2y dy=xy2=x4

x4 dx=x5=になる

　これは，はじめにyを固定して，それぞれのyに対して，赤の横線に沿ってy≦x≦2の区間で変数xで積分して，yを含んだ関数として得られる式

.x2y dx

を0≦y≦2の区間で変数yで積分したもの

.dyx2y dx

に等しい． → 3

この順序で積分すると

x2y dx=xy=y−y4

(y−y4)dx=y2−y5=になる

問２a>0のとき，次のうちでdxf(x,y)dyと等しい

ものを選んでください．

(出典A)

1dyf(x,y)dx 2dyf(x,y)dx

3dyf(x,y)dx 4dyf(x,y)dx

解説

はじめに，記号の確認：

dxf(x,y)dyとは(f(x,y)dy)dxのこと

dyf(x,y)dxとは(f(x,y)dx)dyのこと

右図の領域Dにおいて，
　はじめにxを固定して，それぞれのxに対して，0≦y≦x2の区間で変数yで積分してから
　xを含んだ関数として得られる式

.f(x,y)dy

を0≦x≦aの区間で変数xで積分するというのが元の問題の表しているものとなっている．

　これは，はじめにyを固定して，それぞれのyに対して，≦x≦aの区間で変数xで積分してから
　yを含んだ関数として得られる式

.f(x,y)dx

を0≦y≦a2の区間で変数yで積分したもの

.dyf(x,y)dx

に等しい． → 3

問３dx(x2+y2)dyの積分順序を変更すると，

次のどの式になりますか．

1dy(x2+y2)dx

2dy(x2+y2)dx

3dy(x2+y2)dx

4dy(x2+y2)dx

解説

右図の領域Dにおいて，
　はじめにxを固定して，それぞれのxに対して，0≦y≦1−xの区間で変数yで積分してから
　xを含んだ関数として得られる式

.(x2+y2)dy

を0≦x≦1の区間で変数xで積分するというのが元の問題の表しているものとなっている．

　これは，はじめにyを固定して，それぞれのyに対して，0≦x≦1−yの区間で変数xで積分してから
　yを含んだ関数として得られる式

.(x2+y2)dx

を0≦y≦1の区間で変数yで積分したもの

.dy(x2+y2)dx

に等しい． → 2

※（参考）どちらで計算しても，結果はになる

問４(f(x,y)dy)dxの積分順序を変更すると，

次のどの式になりますか．

1(f(x,y)dx)dy

2(f(x,y)dx)dy

3(f(x,y)dx)dy+(f(x,y)dx)dy

4(f(x,y)dx)dy+(f(x,y)dx)dy

解説

右図の領域Dにおいて，
　はじめにxを固定して，それぞれのxに対して，x2≦y≦x+2の区間で変数yで積分して得られるxを含んだ式

.f(x,y)dy

を−1≦x≦2の区間で変数xで積分するというのが元の問題の表しているものとなっている．

　　積分の順序を変更して，はじめにyを固定して，それぞれのyに対して，xで積分するときは，図のように積分区間の左端がyの値によって変わるので，２つの領域に分けて求める．
(1)　0≦y≦1の区間では，赤の線で示した線に沿って，−≦x≦の区間で変数xで積分して得られる式は

.f(x,y)dx

だから，

.(f(x,y)dx)dy

(2)　1≦y≦4の区間では，赤の線で示した線に沿って，y−2≦x≦の区間で変数xで積分して得られる式は

.f(x,y)dx

だから，

.(f(x,y)dx)dy

　これらを足したものが解となる → 4

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