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*** 大区分 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 中区分 ***
ベクトル・行列連立方程式複素数関数・数列微分積分微分方程式統計maxima

※高卒から大学初年度レベルの「積分」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．

【この頁で引用している問題の出典】
(出典A)
「微分積分学Ⅱ」（共立出版 基礎数学講座７巻/宇野利雄著）
(出典B)
「新編 高専の数学３ 問題集」（森北出版/田代嘉宏著）
(出典C)
「理工系基礎 微分積分学」（培風館/堀内龍太郎.川崎廣吉.浦部治一郎共著）
(出典D)
「数学へのアプローチ」（裳華房/八木克已著）

【記号】
○　領域D：*1≦x≦*2, *3≦y≦*4における重積分
.∫wn∫Dwwwf(x,y)dxdy を，まずxについて積分してから，次にyについて積分を行う累次積分（繰り返し積分）として行うことを .*4∫*3www(*2∫*1www f(x,y)dx)dy …(1) で表す．
　(1)式は
.*4∫*3wwwdy*2∫*1www f(x,y)dx …(1’) という記号で表されることもある．この場合において，xについて積分した結果は，一般にはyを含んだ式となっているので， .*4∫*3wwwdy の部分は，そのyを含んだ関数の積分という意味になる．
○　同様にして， .*2∫*1wwwdx*4∫*3www f(x,y)dy …(2’) は，まずyについて積分して得られる（一般にはxを含んだ関数になる）ものを，次にxで積分したもの .*2∫*1www(*4∫*3www f(x,y)dy)dx …(2) を表す．

例１1∫0www(x∫0www2xydy)dxの積分の順序を換えると
.1∫0www(1∫ywww2xydx)dyになる

x∫0www2xydy=[nxy2=x3
1∫0wwwx3dx=[n.14nx4=.14n になる

1∫ywww2xydy=[nx2y=y−y3
1∫0www(y−y3)dy=[n.12ny2−.14ny4=.12n−.14n=.14n になる

例２1∫0wwwdy.√y√ni∫ywwwf(x,y)dxの積分の順序を換えると
.1∫0wwwdxx∫x2www f(x,y)dyになる

例３1∫0wwwdx2x∫xwww2x2ydyの積分の順序を換えると
.1∫0wwwy∫y−2www2x2ydxdy+2∫1www1∫y−2www2x2ydxdyになる

問１次のうちで2∫0wwwdxx∫0wwwx2y dyと等しいものを選んでください．

はじめに，記号の確認： *2∫*1wwwdx*4∫*3wwwf(x,y)dyとは*2∫*1www(*4∫*3wwwf(x,y)dy)dxのこと
*2∫*1wwwdy*4∫*3wwwf(x,y)dxとは*2∫*1www(*4∫*3wwwf(x,y)dx)dyのこと
右図の領域Dにおいて，
　はじめにxを固定して，それぞれのxに対して，青の縦線に沿って0≦y≦xの区間で変数yで積分して，xを含んだ関数として得られる式 .x∫0wwwx2y dy
を0≦x≦2の区間で変数xで積分するというのが元の問題の表しているものとなっている．
　これは，はじめにyを固定して，それぞれのyに対して，赤の横線に沿ってy≦x≦2の区間で変数xで積分して，yを含んだ関数として得られる式 .2∫ywwwx2y dx
を0≦y≦2の区間で変数yで積分したもの .2∫0wwwdy2∫ywwwx2y dx に等しい． → 3

問２a>0のとき，次のうちでa∫0wwwdxx2∫0wwwf(x,y)dyと等しい
ものを選んでください．

はじめに，記号の確認： *2∫*1wwwdx*4∫*3wwwf(x,y)dyとは*2∫*1www(*4∫*3wwwf(x,y)dy)dxのこと
*2∫*1wwwdy*4∫*3wwwf(x,y)dxとは*2∫*1www(*4∫*3wwwf(x,y)dx)dyのこと
右図の領域Dにおいて，
　はじめにxを固定して，それぞれのxに対して，0≦y≦x2の区間で変数yで積分してから
　xを含んだ関数として得られる式 .x2∫0wwwf(x,y)dy
を0≦x≦aの区間で変数xで積分するというのが元の問題の表しているものとなっている．
　これは，はじめにyを固定して，それぞれのyに対して，.√y√ni≦x≦aの区間で変数xで積分してから
　yを含んだ関数として得られる式 .a∫.√y√niwwwf(x,y)dx
を0≦y≦a2の区間で変数yで積分したもの .a2∫0wwwdya∫.√y√niwwwf(x,y)dx に等しい． → 3

問３1∫0wwwdx1−x∫0www(x2+y2)dyの積分順序を変更すると，
次のどの式になりますか．

右図の領域Dにおいて，
　はじめにxを固定して，それぞれのxに対して，0≦y≦1−xの区間で変数yで積分してから
　xを含んだ関数として得られる式 .1−x∫0www(x2+y2)dy
を0≦x≦1の区間で変数xで積分するというのが元の問題の表しているものとなっている．
　これは，はじめにyを固定して，それぞれのyに対して，0≦x≦1−yの区間で変数xで積分してから
　yを含んだ関数として得られる式 .1−y∫0www(x2+y2)dx
を0≦y≦1の区間で変数yで積分したもの .1∫0wwwdy1−y∫0www(x2+y2)dx に等しい． → 2
※（参考）どちらで計算しても，結果は.16nになる

問４2∫−1www(x+2∫x2wwwf(x,y)dy)dxの積分順序を変更すると，
次のどの式になりますか．

右図の領域Dにおいて，
　はじめにxを固定して，それぞれのxに対して，x2≦y≦x+2の区間で変数yで積分して得られるxを含んだ式 .x+2∫x2wwwf(x,y)dy
を−1≦x≦2の区間で変数xで積分するというのが元の問題の表しているものとなっている．
　　積分の順序を変更して，はじめにyを固定して，それぞれのyに対して，xで積分するときは，図のように積分区間の左端がyの値によって変わるので，２つの領域に分けて求める．
(1)　0≦y≦1の区間では，赤の線で示した線に沿って，−.√y√ni≦x≦.√y√niの区間で変数xで積分して得られる式は ..√y√ni∫−.√y√niwwwf(x,y)dx
だから， .1∫0www(.√y√ni∫−.√y√niwwwf(x,y)dx)dy
(2)　1≦y≦4の区間では，赤の線で示した線に沿って，y−2≦x≦.√y√niの区間で変数xで積分して得られる式は ..√y√ni∫y−2wwwf(x,y)dx
だから， .4∫1www(.√y√ni∫y−2wwwf(x,y)dx)dy
　これらを足したものが解となる → 4