tanx,cotxの不定積分

== tanx, cotxに関する不定積分 ==
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○［ dx → log|f(x)|+C］

tanx dx=−log|cosx|+C…(*4.1)

cotx dx=log|sinx|+C…(*4.2)

dx=−log|cosx−sinx|+C…(*4.3)

dx=||+C…(*4.4)

○［(tan x)’= → =tanx］

tan2x dx=tanx−x+C…(*4.5)

tan3x dx=tan2x+log|cosx|+C…(*4.6)

tan4x dx=tan3x−tanx+x+C…(*4.7)

○［(cot x)’=− → =−cotx］

cot2x dx=−cotx−x+C…(*4.8)

cot3x dx=−cot2x−log|sinx|+C…(*4.9)

cot4x dx=−cot3x+cotx+x+C…(*4.10)

○［部分積分を行うもの］

x tan2x dx=−x2+xtanx+log|cosx|+C…(*4.11)

○［部分積分で漸化式を作って次数を下げていくもの］

In=tannx dx (n≧2)とおくと

In=tann−1x−In−2…(*4.12)

※この漸化式から一般項を求めようとせずに，
I0→I2→I4→...
I1→I3→I5→...

と順次求めるために使う．

（解説）
(*4.1)(*4.2)←
被積分関数の分子が分母の微分になっているとき

すなわち dxの形の不定積分は

f(x)=tとおく置換積分により，=f’(x) → dx=

dx===log|t|+C

したがって

dx=log|f(x)|+C

となって，直ちに不定積分が求められます．
　これにより

tanx dx=dx=−dx

=−log|cosx|+C…(*4.1)

cotx dx=dx=dx

=log|sinx|+C…(*4.2)

※習う生徒と習わない生徒がいて，よく質問がある記号
${\rm cosec}\hspace{2}x=\frac{1}{\sin x}$ …(A)
$\sec x=\frac{1}{\cos x}$ …(B)
$\cot x=\frac{1}{\tan x}$ …(C)
(A)～(C)については，３文字目の逆数と覚えるとよい

(コセカントx)　cosec x → 1/sin x
(セカントx)　sec x → 1/cos x
(コタンジェントx)　cot x → 1/tan x

(*4.3)←

===−

分子が分母の微分になっているから

dx=−log|cosx−sinx|+C

(*4.4)←
三角関数の相互関係から

1+tan2x=だから

dx=dx=Iとおく

ここで，tanx=tとおく置換積分を行うと，=だから

I=cos2x dt=−dt

=−(−)dt=−(log|t−1|−log|t+1|)+C

=−log||+C=log||+C=||+C

(*4.5)←

tan2x dx=dx=dx

=(−1)dx=tanx−x+C

(*4.6)←

tan3x dx=tan2xtanx dx=(−1)tanx dx

=tanxdx−tanx dx

第１項は，tanx=tとおく置換積分を行うと，=だから

t cos2x dt=t dt=t2+C’=tan2x+C’

第２項は，上記の通り−log|cosx|+C”となるから

tan3x dx=tan2x+log|cosx|+C

(*4.7)←

tan4x dx=tan2x tan2x dx=tan2x(−1)dx

=tan2xdx−tan2x dx

第１項は，tanx=tとおく置換積分を行うと，=だから

t2cos2x dt=t2 dt=t3+C’=tan3x+C’

第２項は，上記の通りtanx−x+C”となるから

tan4x dx=tan3x−tanx+x+C

(*4.8)←

cot2x dx=dx=dx

=(−1)dx=−cotx−x+C

(*4.9)←

cot3x dx=cot2xcotx dx=(−1)cotx dx

=cotxdx−cotx dx

第１項は，cotx=tとおく置換積分を行うと，=−だから

−t sin2x dx=−t dt=−t2+C’=−cot2x+C’

第２項は，上記の通り−log|sinx|+C”となるから

cot3x dx=−cot2x−log|sinx|+C

(*4.10)←

cot4x dx=cot2x cot2x dx=cot2x(−1)dx

=cot2xdx−cot2x dx

第１項は，cotx=tとおく置換積分を行うと，=−だから

−t2sin2x dt=−t2 dt=−t3+C’=−cot3x+C’

第２項は，上記の通り−cotx−x+C”となるから

cot4x dx=−cot3x+cotx+x+C

(*4.11)←

x tan2x dx=Iとおく

f(x)=x	f’(x)=1
g’(x)=tan2x	g(x)=tanx−x

I=x(tanx−x)−(tanx−x)dx

=xtanx−x2−tanx+x2

上記の(*4.1)の結果から

tanx dx=−log|cosx|+Cだから

I=−x2+xtanx+log|cosx|+C

(*4.12)←

In=tannx dx=tann−2x tan2x dx

=tann−2x(−1)dx=tann−2xdx−In−2

第１項は，tanx=tとおく置換積分を行うと，=だから

tn−2cos2x dt

=tn−2 dt=tn−1+C=tann−1x+C

となるから

In=tann−1x−In−2

［例］

I0=tan0x dx= dx=x+C

I2=tan1x−I0=tanx−x+C

I4=tan3x−I2=tan3x−(tanx−x)+C

=tan3x−tanx+x+C

I1=tan1x dx=−log|cosx|+C

I3=tan2x−I1=tan2x+log|cosx|+C

I5=tan4x−I3=tan4x−(tan2x+log|cosx|)+C

=tan4x−tan2x−log|cosx|+C

なお，負の値に対して，I−n=tan−nx dx=cotnx dx=Jn

を求めるためには，この漸化式を逆向きに使えばよい．上記の証明は，n<0のときでも成り立つから．（ただし,ここでは負の指数は逆三角関数ではなく，逆数（分数）を表すものとする）

In=tann−1x−In−2

から

In−2=tann−1x−In

In=tann+1x−In+2

だから

Jn=I−n=tan−n+1x−I−n+2=cotn−1x−Jn−2

［例］

J0=cot0x dx= dx=x+C

J2=−cotx−J0=−cotx−x+C…(*4.8)

J4=−cot3x−J2=−cot3x+cotx+x+C…(*4.10)

J1=cotx dx=log|sinx|+C…(*4.2)

J3=−cot2x−J1=−cot2x−log|sinx|+C…(*4.9)

J5=−cot4x−J3=−cot4x+cot2x+log|sinx|+C

○以下の問題は，この頁のどこかに書かれている内容（再現問題）か，または，それを少しだけ変形したものです．正しい番号をクリックしてください．
○解答すれば採点結果が表示され，解説を読むことができます．

［問題１］

次の不定積分を求めてください．

.tan2 dx

1tan−+C 22tan−+C

3tan3+C 4tan3−+C

解説

=tとおくと，= → dx=2 dtとなるから

tan2 dx=tan2t·2·dt=2tan2t dt

…(*4.3)により

=2(tant−t)+C=2(tan−)+C=2tan−x+C

→2

［問題２］

次の不定積分を求めてください．

.tan dx

1−log|cos|+C 2−log|cos|+C

3−3log|cos|+C 4−log|cosx|+C

解説

=tとおくと，= → dx=3 dtとなるから

tan dx=tant·3·dt

…(*4.1)により

=3(−log|cost|)+C=−3log|cos|+C

→3

［問題３］

次の不定積分を求めてください．

1log|sinx|+C 2−log|sinx|+C

3log|cosx|+C 4−log|cosx|+C

解説

…(*4.2)

→1

［問題４］

次の不定積分を求めてください．

.cot3x dx

1tan2x+log|cosx|+C

2−cot2x−log|sinx|+C

3−3 cot2x +C

43 cot2x +C

解説

…(*4.9)

→2

［問題５］

次の不定積分を求めてください．

.dx

1log|cosx+sinx|+C

2−log|cosx−sinx|+C

3||+C

4||+C

解説

…(*4.4)

→3

［問題６］

次の不定積分を求めてください．

.cot2x dx

12 log|cos2x|+C

22 log|sin2x|+C

3log|cos2x|+C

4log|sin2x|+C

解説

2x=tとおくと，=2 → dx=となるから

cot2x dx=cott =cott dt

…(*4.2)

=log|sint|+C=log|sin2x|+C

→4

［問題７］

次の不定積分を求めてください．

.x tan2x dx

1tan3x−x tan2x+x2tanx+C

22xtan3x+tan2x+2xtanx+C

3x2−xtanx−log|sinx|+C

4−x2+xtanx+log|cosx|+C

解説

…(*4.11)

→4

［問題８］

次の不定積分を求めてください．

.tan4x dx

1tan3x−tanx+x+C

2tan2x+log|cosx|+C

3tanx−x+C

4−cot3x+cotx+x+C

解説

…(*4.7)

→1

［問題９］

In=tannx dxとおくとき，

次のどの漸化式が成り立ちますか．

1I6=tan4x−I5

2I6=−tan4x−I5

3I6=tan5x−I4

4I6=−tan5x−I4

解説

…(*4.12)においてn=4を代入します．

→3

［問題10］

Jn=cotnx dxとおくとき，

次のどの漸化式が成り立ちますか．

1J5=cot4x−J3

2J5=−cot4x−J3

3J5=cot5x−J4

4J5=−cot5x−J4

解説

…(*4.12)解説参照 n=5を代入します．

→2