【tanx, cotxに関する不定積分】
○［ dx → log|f(x)|+C］
tanx dx=−log|cosx|+C…(*4.1)
cotx dx=log|sinx|+C…(*4.2)
dx=−log|cosx−sinx|+C…(*4.3)
dx=||+C…(*4.4)
○［(tan x)’= → =tanx］
tan2x dx=tanx−x+C…(*4.5)
tan3x dx=tan2x+log|cosx|+C…(*4.6)
tan4x dx=tan3x−tanx+x+C…(*4.7)
○［(cot x)’=− → =−cotx］
cot2x dx=−cotx−x+C…(*4.8)
cot3x dx=−cot2x−log|sinx|+C…(*4.9)
cot4x dx=−cot3x+cotx+x+C…(*4.10)
○［部分積分を行うもの］
x tan2x dx=−x2+xtanx+log|cosx|+C…(*4.11)
○［部分積分で漸化式を作って次数を下げていくもの］
In=tannx dx (n≧2)とおくと
In=tann−1x−In−2…(*4.12)
※この漸化式から一般項を求めようとせずに，
I0→I2→I4→...
I1→I3→I5→...
と順次求めるために使う．
（解説）
(*4.1)(*4.2)←
被積分関数の分子が分母の微分になっているとき
すなわち dxの形の不定積分は
f(x)=tとおく置換積分により，=f’(x) → dx=
dx===log|t|+C
したがって
dx=log|f(x)|+C
となって，直ちに不定積分が求められます．
　これにより
tanx dx=dx=−dx
=−log|cosx|+C…(*4.1)
cotx dx=dx=dx
=log|sinx|+C…(*4.2)
※習う生徒と習わない生徒がいて，よく質問がある記号
…(A)
…(B)
…(C)
(A)〜(C)については，３文字目の逆数と覚えるとよい
(コセカントx)　cosec x → 1/sin x
(セカントx)　sec x → 1/cos x
(コタンジェントx)　cot x → 1/tan x
(*4.3)←
===−
分子が分母の微分になっているから
dx=−log|cosx−sinx|+C
(*4.4)←
三角関数の相互関係から
1+tan2x=だから
dx=dx=Iとおく
ここで，tanx=tとおく置換積分を行うと，=だから
I=cos2x dt=−dt
=−(−)dt=−(log|t−1|−log|t+1|)+C
=−log||+C=log||+C=||+C
(*4.5)←
tan2x dx=dx=dx
=(−1)dx=tanx−x+C
(*4.6)←
tan3x dx=tan2xtanx dx=(−1)tanx dx
=tanxdx−tanx dx
第１項は，tanx=tとおく置換積分を行うと，=だから
t cos2x dt=t dt=t2+C’=tan2x+C’
第２項は，上記の通り−log|cosx|+C”となるから
tan3x dx=tan2x+log|cosx|+C
(*4.7)←
tan4x dx=tan2x tan2x dx=tan2x(−1)dx
=tan2xdx−tan2x dx
第１項は，tanx=tとおく置換積分を行うと，=だから
t2cos2x dt=t2 dt=t3+C’=tan3x+C’
第２項は，上記の通りtanx−x+C”となるから
tan4x dx=tan3x−tanx+x+C
(*4.8)←
cot2x dx=dx=dx
=(−1)dx=−cotx−x+C
(*4.9)←
cot3x dx=cot2xcotx dx=(−1)cotx dx
=cotxdx−cotx dx
第１項は，cotx=tとおく置換積分を行うと，=−だから
−t sin2x dx=−t dt=−t2+C’=−cot2x+C’
第２項は，上記の通り−log|sinx|+C”となるから
cot3x dx=−cot2x−log|sinx|+C
(*4.10)←
cot4x dx=cot2x cot2x dx=cot2x(−1)dx
=cot2xdx−cot2x dx
第１項は，cotx=tとおく置換積分を行うと，=−だから
−t2sin2x dt=−t2 dt=−t3+C’=−cot3x+C’
第２項は，上記の通り−cotx−x+C”となるから
cot4x dx=−cot3x+cotx+x+C
(*4.11)←
x tan2x dx=Iとおく
f(x)=xf’(x)=1
g’(x)=tan2xg(x)=tanx−x
I=x(tanx−x)−(tanx−x)dx
=xtanx−x2−tanx+x2
上記の(*4.1)の結果から
tanx dx=−log|cosx|+Cだから
I=−x2+xtanx+log|cosx|+C
(*4.12)←
In=tannx dx=tann−2x tan2x dx
=tann−2x(−1)dx=tann−2xdx−In−2
第１項は，tanx=tとおく置換積分を行うと，=だから
tn−2cos2x dt
=tn−2 dt=tn−1+C=tann−1x+C
となるから
In=tann−1x−In−2
［例］
I0=tan0x dx= dx=x+C
I2=tan1x−I0=tanx−x+C
I4=tan3x−I2=tan3x−(tanx−x)+C
=tan3x−tanx+x+C
I1=tan1x dx=−log|cosx|+C
I3=tan2x−I1=tan2x+log|cosx|+C
I5=tan4x−I3=tan4x−(tan2x+log|cosx|)+C
=tan4x−tan2x−log|cosx|+C
なお，負の値に対して，I−n=tan−nx dx=cotnx dx=Jn
を求めるためには，この漸化式を逆向きに使えばよい．上記の証明は，n<0のときでも成り立つから．（ただし,ここでは負の指数は逆三角関数ではなく，逆数（分数）を表すものとする）
In=tann−1x−In−2
から
In−2=tann−1x−In
In=tann+1x−In+2
だから
Jn=I−n=tan−n+1x−I−n+2=cotn−1x−Jn−2
［例］
J0=cot0x dx= dx=x+C
J2=−cotx−J0=−cotx−x+C…(*4.8)
J4=−cot3x−J2=−cot3x+cotx+x+C…(*4.10)
J1=cotx dx=log|sinx|+C…(*4.2)
J3=−cot2x−J1=−cot2x−log|sinx|+C…(*4.9)
J5=−cot4x−J3=−cot4x+cot2x+log|sinx|+C
　以下の問題は，この頁のどこかに書かれている内容か，または，それを少しだけ変形したものです．正しい番号を選択してください．
［問題１］
次の不定積分を求めてください．
.tan2 dx

1tan−+C 22tan−+C
3tan3+C 4tan3−+C



［問題２］
次の不定積分を求めてください．
.tan dx

1−log|cos|+C 2−log|cos|+C
3−3log|cos|+C 4−log|cosx|+C



［問題３］
次の不定積分を求めてください．
.
1log|sinx|+C 2−log|sinx|+C
3log|cosx|+C 4−log|cosx|+C



［問題４］
次の不定積分を求めてください．
.cot3x dx
1tan2x+log|cosx|+C
2−cot2x−log|sinx|+C
3−3 cot2x +C
43 cot2x +C



［問題５］
次の不定積分を求めてください．
.dx
1log|cosx+sinx|+C
2−log|cosx−sinx|+C
3||+C
4||+C



［問題６］
次の不定積分を求めてください．
.cot2x dx
12 log|cos2x|+C
22 log|sin2x|+C
3log|cos2x|+C
4log|sin2x|+C



［問題７］
次の不定積分を求めてください．
.x tan2x dx
1tan3x−x tan2x+x2tanx+C
22xtan3x+tan2x+2xtanx+C
3x2−xtanx−log|sinx|+C
4−x2+xtanx+log|cosx|+C



［問題８］
次の不定積分を求めてください．
.tan4x dx
1tan3x−tanx+x+C
2tan2x+log|cosx|+C
3tanx−x+C
4−cot3x+cotx+x+C



［問題９］
In=tannx dxとおくとき，
次のどの漸化式が成り立ちますか．
1I6=tan4x−I5
2I6=−tan4x−I5
3I6=tan5x−I4
4I6=−tan5x−I4



［問題10］
Jn=cotnx dxとおくとき，
次のどの漸化式が成り立ちますか．
1J5=cot4x−J3
2J5=−cot4x−J3
3J5=cot5x−J4
4J5=−cot5x−J4



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