○積分区間が有界でない場合
f(x)dxが収束するとき, これを f(x)dx で表す. ○被積分関数が有界でない場合 例えば,=+∞となり,関数f(x)=は x=0において定義されないが, dx=2(1−)=2となり,収束する. この場合, dx=dx と書く. |
○この頁に登場する【問題】は,公益社団法人日本技術士会のホームページに掲載されている「技術士第一次試験過去問題 共通科目A 数学」の引用です.(=公表された著作物の引用)
○【解説】は個人の試案ですが,Web教材化にあたって「問題の転記ミス」「考え方の間違い」「プログラムの作動ミス」などが含まれる場合があり得ます. 問題や解説についての質問等は,原著作者を煩わせることなく,当Web教材の作成者(<浅尾>)に対して行ってください.
dx=(−)dx
=log x−log(x+1)=log
=log 1−log=log1−(log1−log2)=log2
→ 3
|
||||||||||||
S=e−xcos x dxとおく
(つぎの2つの表を参考に,同じ向き置換積分を2回行い,Sが満たす方程式を作る.[(*)のように,SをSで表す])
S=(0−(−1))−e−xsin x dx=1−e−xsin x dx
S=1−e−xcos x dx=1−S …(*) 2S=1よりS= → 4 |
||||||||||||
(1+x)− dx=−2(1+x)−
==0−==
より
=4 1+a=16 a=15 → 3 |
dx=(x−2)−3dx=(x−2)−2
=−=(−0)−(−)= → 5 |
dx=(x+1)−3dx=(x+1)−2
=−=(−0)−(−)= → 3 |
dx=x−dx= x−
=−=(−0)−(−2)=2 → 4 |
I=2xe−x2dxとおく
x2=tとおいて置換積分を行う.
|
||||||
dx=x−dx=x
=3=3−0=3 → 3 |
||||||
I=dxとおく
x=tan tとおいて置換積分を行う.
sin2t+cos2t=1→1+tan2t=だから I=dt=t= → 4 |
極限計算を要する問題
(1) 有限の区間で,区間の端点で関数が有界でない場合
次の広義積分を求めてください.
【問題1.1】
(解答)
を使う
さらに,ロピタルの定理を使って,を示す により だから ここで, はの形の不定形の極限だから,ロピタルの定理 によって変形すると したがって, |
【問題1.2】
(解答)により だから ここで, はの形の不定形の極限だから,ロピタルの定理 によって変形すると したがって, |
【問題1.3】
(解答)のとき だから とおく だから |
「積分区間が有限で区間内の幾つかの点で関数が有界でない場合」「積分区間が無限である場合」を各々広義積分,無限積分と用語を分ける場合もあるが,この教材ではこれらをまとめて広義積分と呼ぶことにする.
(2) 積分区間が無限になっている場合
【問題2.1】
(解答)により だから ここで, はの形の不定形の極限だから,ロピタルの定理 によって変形すると また, したがって, |
【問題2.2】
(解答)により さらに,もう一度部分積分を行う だから (原式)= ここで, はの形の不定形の極限だから,ロピタルの定理 によって変形すると したがって, (原式)= |
【問題2.3】
(解答)により だから ここで, はの形の不定形の極限だから,ロピタルの定理 によって変形すると したがって, (原式)= |
■[個別の頁からの質問に対する回答][広義積分について/17.6.29]
【数学】V-10
=log 1−log12=0−(1−log2)=log2 ではなく、
=log 1−log12=0−(log1−log2)=log2 ですね。
■[個別の頁からの質問に対する回答][広義積分について/17.3.22]
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました. H23のV-7の問題は広義積分なのですか?∞が入ってないのですが、、、
私の勘違いでしたら無視して下さい。
=>[作者]:連絡ありがとう.その頁の先頭にまとめていますように,積分区間が有界でない場合 のような場合だけでなく,積分区間が有界でも被積分関数が有界でない場合 のような場合も広義積分に含めて考えます. (なので,関数f(0)が定義されていない) |
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