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【sinxに関する不定積分≪一覧≫】
○[基本]
∫sinx dx=−cosx+C…(*1.1) ○[sinnx]の形のうちnが小さいとき→2倍角公式,3倍角公式などで変形する. ∫sin2x dx=−14sin2x+x2 +C…(*1.2) ∫sin3x dx=112cos3x−34cosx+C…(*1.3) ∫sin4x dx=38 x−14sin2x+132sin4x+C…(*1.4) =38 x−38sinxcosx−14sin3xcosx+Cでもよい ∫sin5x dx =−15sin4xcosx−415sin2xcosx−815cosx+C =−15cos5x+23cos3x−cosx+C…(*1.5) ○[sinnx]の形のうちnが奇数の場合 ∫ f(cosx)sinx dx→cosx=tとおいて置換積分 の応用として ∫sin2n+1x dx=∫sin2nxsinx dx =∫ (1−cos2x)nsinx dx …(*1.6) ○[sinnx]の形のうちnが偶数の場合 nが正の整数のとき(奇数のときでも使えます) ∫sinnx dx→漸化式を作り,逐次次数を下げる.…(*1.7) (※一般項を求めるのではない.) ○[1sinnx]の形 ∫dxsinx =log|tanx2|+C…(*1.8) =12log(1−cosx1+cosx )+Cでもよい ∫dxsin2x =−1tanx +C…(*1.9) ∫dxsin2n−1x =∫sinxsin2nx dx =∫sinx(1−cos2x)n dx …(*1.10) ○[xnsinx]の形→部分積分 ∫ xsinx dx=sinx−xcosx+C…(*1.11) ∫ x2sinx dx=2xsinx−(x2−2)cosx+C…(*1.12) ∫ xnsinx dx→漸化式を作り,逐次次数を下げる. …(*1.13) ○[eaxsinbx]の形→部分積分を2回行う ∫ exsinx dx=12 ex(sinx−cosx)+C…(*1.14) ∫ e2xsin3x dx=113 e2x(2sin3x−3cos3x)+C…(*1.15) ∫ e−xsinx dx=−12 e−x(sinx+cosx)+C…(*1.16) ○[f’(x)f(x)]の形→則答:log|f(x)| 一般に,分子が分母の微分となっている関数の場合は,分母・分子がどんなに複雑であっても,直ちにlog|f(x)|の形で積分が求まります. ∫1+cosxx+sinx dx=log|x+sinx|+C…(*1.17) ∫sin2x1+sin2x dx=log(1+sin2x)+C…(*1.18) ∫dxcos2xtanx =log|tanx|+C…(*1.19) ○[f(sinx, cosx, tanx)]の形→tanx2 =tとおけば, sinx=2t1+t2 , cosx=1−t21+t2 , tanx=2t1−t2となって tで表されます.ただし,複雑な式になることが多いので,これは「最後の手段」と考えた方がよい.…(*1.20) |
(解説) (*1.1)← ddx (cosx)=−sinxの両辺を積分して符号を変えます. (*1.2)← 半角公式(=2倍角公式)を使って,被積分関数を書き換えるとできます. sin2x=1−cos2x2により ∫sin2x dx=∫ (12 −cos2x2 )dx=x2 −14sin2x+C (*1.3)← 3倍角公式を使って,被積分関数を書き換えるとできます. sin3x=3sinx−4sin3xにより sin3x=34sinx−14sin3x ∫sin3x dx=∫ ( 34sinx−14sin3x)dx =−34cosx+112cos3x+C..(#1)
この積分は(*1.6)を使って求めることもできます.
(*1.4)←∫sin3x dx=∫sin2xsinx dx =∫ (1−cos2x)sinx dx cosx=tとおくと dtdx =−sinx ∫ (1−cos2x)sinx dx=∫ (1−t2)sinxdt(−sinx) =∫ (t2−1)dt=t33 −t+C=cos3x3 −cosx+C..(#2) cos3xの3倍角公式を使って変形すると,(#1)と(#2)とは同じ式であることが分かります. 半角公式(=2倍角公式)を2回使って,被積分関数を書き換えるとできます. sin2x=1−cos2x2により sin4x=(1−cos2x2 )2=14 (1−2cos2x+cos22x) =14 (1−2cos2x+1+cos4x2 ) =38 −12cos2x+18cos4x ∫sin4x dx=38 x−14sin2x+132sin4x+C…(#3)
この積分は(*1.7)を使って求めることもできます.
(*1.5)←In=∫sinnx dxとおくと In=−sinn−1xcosxn +n−1n In−2 (n=2,3,4,..)…(*1.7) により,I0→I2→I4→...と順に求めることができます. I0=∫sin0x dx=∫ 1 dx=x+C I2=−sinxcosx2 +12 x+C I4=−sin3xcosx4 +34 (−sinxcosx2 +12 x)+C =−sin3xcosx4 −38sinxcosx+38 x+C…(#4) sin3xの3倍角公式,2倍角公式を使って変形すると,(#3)と(#4)とは同じ式であることが分かります. ∫sin5x dx=∫ (1−cos2x)2sinx dxから(*1.6)または (2倍角公式を2回)使うことにより ∫sin5x dx=−15cos5x+23cos3x−cosx+C…(#5) - - - In=−sinn−1xcosxn +n−1n In−2 (n=2,3,4,..) により, I1→I3→I5→...の順に求めるときは, I1=∫sin1x dx=−cosx+C I3=−sin2xcosx3 +23 I1 を使って ∫sin5x dx=−15sin4xcosx−415sin2xcosx−815cosx+C …(#6) となります.(#5)と(#6)は,sin2x=1−cos2xを使って変形すると,同じ式であることが分かります. |
(*1.6)← ∫ f(cosx)sinx dx→cosx=tとおいて置換積分すると dtdx =−sinx ∫ f(cosx)sinx dx=∫ f(t)sinxdt(−sinx) =−∫ f(t)dt =−F(t)+C=−F(cosx)+Cのようにf(t)の不定積分を求める問題となります. [例] cosx≧0の区間で ∫√cosxsinx dx =−∫√t dt=−23 t√t +C=−23cosx√cosx +C ∫cos4xsinx dx=∫ t4sinxdt(−sinx) =−∫ t4dt =−cos5x5 +C ∫sin2n+1x dx=∫sin2nxsinx dx=∫ (1−cos2x)nsinx dx 一般に ∫cosnxsinx dx=−cosn+1xn+1 +Cとなります. (注)← 0<k<1のとき ∫1√1−k2sin2x dxや∫√1−k2sin2x dx の形をした不定積分は,各々第1種及び第2種楕円積分と呼ばれ,初等的には求められないことが知られています.(定積分は数値積分により近似値を求めることができます.) (*1.7)← In=∫sinnx dx=∫sinn−1xsinx dxとして部分積分を行う
In=sinn−1x(−cosx)−∫ (n−1)sinn−2xcosx(−cosx)dx =−sinn−1xcosx+(n−1)∫sinn−2xcos2x dx =−sinn−1xcosx+(n−1)∫sinn−2x(1−sin2x)dx =−sinn−1xcosx+(n−1)(∫sinn−2x dx−∫sinnx dx) In=−sinn−1xcosx+(n−1)(In−2−In ) nIn=−sinn−1xcosx+(n−1)In−2 In=−sinn−1xcosxn +n−1n In−2 (n=2,3,4,..) (*1.8)← ∫dxsinx =∫12sinx2cosx2 dx=∫121cos2x2tanx2 dx =∫(tanx2)’tanx2 dx=log|tanx2|+C (*1.6)を用ると次のように計算できます. ∫dxsinx =∫sinxsin2x dx=∫sinx1−cos2x dx=Iとおく cosx=tとおいて置換積分すると dtdx =−sinxだから I=∫sinx1−t2dt(−sinx) =∫1t2−1 dt=12∫ ( 1t−1 −1t+1 )dt =12 (log|t−1|−log|t+1|)+C=12log|t−1t+1|+C =12log|cosx−1cosx+1|+C=12log(1−cosx1+cosx )+C (*1.9)← ddx (1tanx )=ddx (cosxsinx )=(−sinx)sinx−(cosx)cosxsin2x =−1sin2xの両辺を積分して符号を変えれば示されます. |
(*1.10)← (*1.6)を使った置換積分になります. [例] ∫dxsin3x =∫sinxsin4x dx =∫sinx(1−cos2x)2 dx=−∫dt(t2−1)2 =Iとおく (部分分数分解を行う) とおき,展開整理して係数比較を行うことによりを求める.
なお,のように,重解型になっている式を部分分数分解するには,分母の次数が1次になるまで「子分」も並べなければならない
となるから
なお,だから,つねにとなり,絶対値記号を使わずに表せる
(*1.11)←次の部分積分を行います.
=−xcosx+∫cosx dx=−xcosx+sinx+C (*1.12)← 部分積分を2回行います.
=−x2cosx+2∫ xcosx dx=Iとおく
I=−x2cosx+2xsinx+2cosx+C (*1.13)← nが小さな整数の場合は,(*1.11)(*1.12)のようにxnを微分する側に選んで,それが定数になるまで部分積分を行うとできますが,nが大きい整数であるときは,次のような漸化式を作って,Inを順に求めて行くことができます. In=∫ xnsinx dxとおく(n≧2)
=−xncosx−∫ nxn−1(−cosx)dx =−xncosx+n∫ xn−1cosx dx
=−xncosx+nxn−1sinx−n(n−1)In−2 これにより,
I0=−cosx+C→I2→I4→...の順に求めます.
(*1.14)←I1=−xcosx+sinx+C→I3→I5→...の順に求めます. 部分積分を2回行い「方程式のように解きます」. I=∫ exsinx dxとおく
=−excosx−∫ ex(−cosx)dx=exsinx+∫ excosx dx
I=−excosx+exsinx−I 2I=−excosx+exsinxだから I=12 ex(sinx−cosx)+C |
(*1.15)(*1.16)← 係数に注意すれば(*1.14)と同様の方法で求められます. a, b≠0のとき,I=∫ eaxsinbx dxを求めてみると
=−1b eaxcosbx+ab∫ eaxcosbx dx
=−1b eaxcosbx+ab2 eaxsinbx−a2b2 I
b2I=−beaxcosbx+aeaxsinbx−a2I
したがって(a2+b2)I=−beaxcosbx+aeaxsinbx I=1a2+b2 eax(asinbx−bcosbx) ∫ eaxsinbx dx=1a2+b2 eax(asinbx−bcosbx) (a, b≠0) この式でa=2, b=3とおけば(*1.15),a=−1, b=1とおけば(*1.16)になります. (*1.17)← (x+sinx)’=1+cosxだから ∫1+cosxx+sinx dx=∫(x+sinx)’x+sinx dx=log|x+sinx|+C (*1.18)← (1+sin2x)’=2sinxcosx=sin2xだから ∫sin2x1+sin2x dx=∫(1+sin2x)’1+sin2x dx=log(1+sin2x)+C (*1.19)← (tanx)’=1cos2xだから ∫dxcos2xtanx =∫(tanx)’tanx dx=log|tanx|+C (*1.20)← tanαの2倍角公式:tan2α=2tanα1−tan2αにより tanx2 =tとおけば, tanx=2t1−t2 また,cosαの2倍角公式:cos2α=2cos2α−1と三角関数の相互関係: sin2α+cos2α=1 → 1+tan2α=1cos2αを使うと cos2α=211+tan2α −1=1−tan2α1+tan2α となるから cosx=1−t21+t2 sinx=tanxcosxだから sinx=2t1−t21−t21+t2 =2t1+t2 このように,sinx, cosx, tanxは,すべてtanx2 =tで表される ので,sinx, cosx, tanxを含んだ式tanx2 =tおとけば,tの積分 となります.(他の方法では不定積分が求められないときでも,この方法で求められます.ただし,他の方法でも求められるような問題にこの方法を使うと,途中経過が煩雑となって,かえって困ってしまうことがありますので,何でもこれでやればよいという訳ではないことに注意) [例]
∫dx1−sinx =Iとおくと
[よくない例]
tanx2 =tとおけば,
I=∫11−2t1+t221+t2 dt=∫2(t−1)2 dt=−2t−1 +Csinx=2t1+t2 dtdx =121cos2x2 =1+t22 dx=21+t2 dt =21−tanx2 +C…(#7) 「これを使えば三角関数の不定積分はほとんどできる」というのを真に受けると,次のような簡単な問題でもできるはずですが・・・気の遠くなるような長い答案になります.
∫sinx dx
tanx2 =tとおけば,sinx=2t1+t2dx=21+t2 dt ∫sinx dx=∫2t1+t221+t2 dt=∫4t(1+t2)2 dt t2+1=sとおけば,dsdt =2t ∫4ts2ds2t =∫2s2 ds=−2s +C=−21+t2 +C =−21+tan2x2 +C=−2cos2x2 +C =−2(1+cosx2 )+C=−1−cosx+C ここで,−1+C=C’とおくと ∫sinx dx=−cosx+C’ となります.(準備も後始末も大変で,もうこりごり#) なお,この種の問題に広く使える訳ではないが,この問題についてだけ使える変形として,次の答案が考えられる. ∫dx1−sinx =∫1+sinx1−sin2x dx=∫1+sinxcos2x dx =∫1cos2x dx+∫sinxcos2x dx=tanx+1cosx +C’…(#8)
第2項はcosx=tとおいて置換積分する.
(#7)と(#8)の関数の部分はそのままでは一致しない.∫sinxcos2x dx=∫sinxt2dt−sinx =−∫ t−2dt =t−1+C=1cosx +C tanx+1cosx +C’=2t1−t2 +1+t21−t2 +C’=(1+t)21−t2 +C’ =1+t1−t +C’=−t+1t−1 +C’=−(1+2t−1 )+C’=21−tanx2 −1+C’ 任意定数をC=C’−1とすると,等しくなります. |
以下の問題は,この頁のどこかに書かれている内容か,または,それを少しだけ変形したものです.正しい番号を選択してください.
…(*1.2)
→3
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…(*1.6)
→2
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…(*1.11)
→4
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[問題4]
次の不定積分を求めてください. ∫1+cosxx+sinx dx 1log|x+sinx|+C 2log|1+cosx|+C 3log|1x+sinx|+C 4log|11+cosx|+C 解説
…(*1.17)
→1
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…(*1.3)の解説にある別表記参照
→4
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…(*1.8)の解説にある別表記参照
→3
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[問題7]
In=∫ xnsinx dx (n≧2)とおくとき,次のどの漸化式が 成り立ちますか. 1In=−sinn−1xcosxn +n−1n In−2 2In=sinxcosn−1xn +n−1n In−2 3In=−xncosx+nxn−1sinx−n(n−1)In−2 4In=1n−1tann−1−In−2 解説
…(*1.13)の解説参照
→3
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[問題8]
次の不定積分を求めてください. ∫ e−xsinx dx 112 e−x(sinx+cosx)+C 2−12 e−x(sinx+cosx)+C 312 e−x(sinx−cosx)+C 4−12 e−x(sinx−cosx)+C 解説
…(*1.16)の解説参照
→2
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…(*1.9)の解説参照
→1
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…(*1.20)の解説(#8)参照
∫dx1+sinx =∫1−sinx1−sin2x dx=∫1−sinxcos2x dx =∫1cos2x dx−∫sinxcos2x dx=tanx−1cosx +C
第2項はcosx=tとおいて置換積分する.
∫sinxcos2x dx=∫sinxt2dt−sinx =−∫ t−2dt =t−1+C=1cosx +C →3
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