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高卒から大学初年度レベル「積分」について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください.  が現在地です.


== sinxに関する不定積分 ==

sinxに関する不定積分≪一覧≫】
○[基本]
wnsinx dx=−cosx+C…(*1.1)
○[sinnx]の形のうちnが小さいとき→2倍角公式,3倍角公式などで変形する.
wnsin2x dx=−.14nsin2x+.x2n+C…(*1.2)
wnsin3x dx=.112nncos3x−.34ncosx+C…(*1.3)
wnsin4x dx=.38nx−.14nsin2x+.132nnsin4x+C…(*1.4)
=.38nx−.38nsinxcosx−.14nsin3xcosx+Cでもよい
wnsin5x dx
=−.15nsin4xcosx−.415nnsin2xcosx−.815nncosx+C
=−.15ncos5x+.23ncos3x−cosx+C…(*1.5)
○[sinnx]の形のうちnが奇数の場合
wnf(cosx)sinx dxcosx=tとおいて置換積分
の応用として
wnsin2n+1x dx=wnsin2nxsinx dx
=wn(1−cos2x)nsinx dx

…(*1.6)
○[sinnx]の形のうちnが偶数の場合
nが正の整数のとき(奇数のときでも使えます)
wnsinnx dx→漸化式を作り,逐次次数を下げる.…(*1.7)
(※一般項を求めるのではない.)
○[.1sinnxnnnn]の形
wn.dxsinxnnnn=log|tan.x2n|+C…(*1.8)
=.12nlog(.1−cosx1+cosxnnnnnn)+Cでもよい
wn.dxsin2xnnnn=−.1tanxnnnn+C…(*1.9)
wn.dxsin2n−1xnnnnnn=wn.sinxsin2nxnnnnn dx =wn.sinx(1−cos2x)nnnnnnnnn dx
…(*1.10)
○[xnsinx]の形→部分積分
wnxsinx dx=sinx−xcosx+C…(*1.11)
wnx2sinx dx=2xsinx−(x2−2)cosx+C…(*1.12)
wnxnsinx dx→漸化式を作り,逐次次数を下げる.
…(*1.13)
○[eaxsinbx]の形→部分積分を2回行う
wnexsinx dx=.12nex(sinx−cosx)+C…(*1.14)
wne2xsin3x dx=.113nne2x(2sin3x−3cos3x)+C…(*1.15)
wne−xsinx dx=−.12ne−x(sinx+cosx)+C…(*1.16)
○[.f’(x)f(x)nnnn]の形→則答:log|f(x)|
 一般に,分子が分母の微分となっている関数の場合は,分母・分子がどんなに複雑であっても,直ちにlog|f(x)|の形で積分が求まります.
.wn.1+cosxx+sinxnnnnnndx=log|x+sinx|+C…(*1.17)
.wn.sin2x1+sin2xnnnnnndx=log(1+sin2x)+C…(*1.18)
.wn.dxcos2xtanxnnnnnnnn=log|tanx|+C…(*1.19)
○[f(sinx, cosx, tanx)]の形tan.x2n=tとおけば,
.sinx=.2t1+t2nnnn, cosx=.1−t21+t2nnnn, tanx=.2t1−t2nnnnとなって
.tで表されます.ただし,複雑な式になることが多いので,これは「最後の手段」と考えた方がよい.…(*1.20)

(解説)
(*1.1)←
.ddxnn(cosx)=−sinxの両辺を積分して符号を変えます.
(*1.2)←
半角公式(=2倍角公式)を使って,被積分関数を書き換えるとできます.
sin2x=.1−cos2x2nnnnnnnnにより
wnsin2x dx=wn(.12n.cos2x2nnnnn)dx=.x2n.14nsin2x+C
(*1.3)←
3倍角公式を使って,被積分関数を書き換えるとできます.
sin3x=3sinx−4sin3xにより
sin3x=.34nsinx−.14nsin3x
wnsin3x dx=wn( .34nsinx−.14nsin3x)dx
=−.34ncosx+.112nncos3x+C
..(#1)
この積分は(*1.6)を使って求めることもできます.
wnsin3x dx=wnsin2xsinx dx
=wn(1−cos2x)sinx dx

cosx=tとおくと
.dtdxnn=−sinx
wn(1−cos2x)sinx dx=wn(1−t2)sinx.dt(−sinx)nnnnnn
=wn(t2−1)dt=.t33n−t+C=.cos3x3nnnncosx+C..(#2)
cos3xの3倍角公式を使って変形すると,(#1)と(#2)とは同じ式であることが分かります.
(*1.4)←
半角公式(=2倍角公式)を2回使って,被積分関数を書き換えるとできます.
sin2x=.1−cos2x2nnnnnnnnにより
sin4x=(.1−cos2x2nnnnnnnn)2=.14n(1−2cos2x+cos22x)
=.14n(1−2cos2x+.1+cos4x2nnnnnnnn)
=.38n.12ncos2x+.18ncos4x
wnsin4x dx=.38nx−.14nsin2x+.132nnsin4x+C…(#3)
この積分は(*1.7)を使って求めることもできます.
In=wnsinnx dxとおくと
In=−.sinn−1xcosxnnnnnnnnnnn+.n−1nnnnIn−2 (n=2,3,4,..)…(*1.7)
により,I0→I2→I4→...と順に求めることができます.
I0=wnsin0x dx=wn1 dx=x+C
I2=−.sinxcosx2nnnnnnnn+.12nx+C
I4=−.sin3xcosx4nnnnnnnn+.34n(−.sinxcosx2nnnnnnnn+.12nx)+C
=−.sin3xcosx4nnnnnnnn.38nsinxcosx+.38nx+C…(#4)
sin3xの3倍角公式,2倍角公式を使って変形すると,(#3)と(#4)とは同じ式であることが分かります.
(*1.5)←
wnsin5x dx=wn(1−cos2x)2sinx dxから(*1.6)または
(2倍角公式を2回)使うことにより
wnsin5x dx=−.15ncos5x+.23ncos3x−cosx+C…(#5)
- - -
In=−.sinn−1xcosxnnnnnnnnnnn+.n−1nnnnIn−2 (n=2,3,4,..)
により, I1→I3→I5→...の順に求めるときは,
I1=wnsin1x dx=−cosx+C
I3=−.sin2xcosx3nnnnnnnn+.23nI1
を使って
wnsin5x dx=−.15nsin4xcosx−.415nnsin2xcosx−.815nncosx+C
…(#6)
となります.(#5)と(#6)は,sin2x=1−cos2xを使って変形すると,同じ式であることが分かります.

(*1.6)←
wnf(cosx)sinx dxcosx=tとおいて置換積分すると
.dtdxnn=−sinx
wnf(cosx)sinx dx=wnf(t)sinx.dt(−sinx)nnnnnn=−wnf(t)dt
=−F(t)+C=−F(cosx)+C
のようにf(t)の不定積分を求める問題となります.
[例]
cosx≧0の区間で
wn.cosx√nnnnisinx dx
=−wn.t√nidt=−.23nt.t√ni+C=−.23ncosx.cosx√nnnni+C

wncos4xsinx dx=wnt4sinx.dt(−sinx)nnnnnn=−wnt4dt
=−.cos5x5nnnnn+C
wnsin2n+1x dx=wnsin2nxsinx dx=wn(1−cos2x)nsinx dx
一般に
wncosnxsinx dx=−.cosn+1xn+1nnnnnn+Cとなります.
(注)←
0<k<1のとき
wn.1.1−k2sin2x√nnnnnnnninnnnnnnnndxwn.1−k2sin2x√nnnnnnnnidx
の形をした不定積分は,各々第1種及び第2種楕円積分と呼ばれ,初等的には求められないことが知られています.(定積分は数値積分により近似値を求めることができます.)
(*1.7)←
In=wnsinnx dx=wnsinn−1xsinx dxとして部分積分を行う
f(x)=sinn−1xf’(x)=(n−1)sinn−2xcosx
g’(x)=sinxg(x)=−cosx
wnf(x)g’(x) dx=f(x)g(x)−wnf’(x)g(x) dxにより
In=sinn−1x(−cosx)−wn(n−1)sinn−2xcosx(−cosx)dx
=−sinn−1xcosx+(n−1)wnsinn−2xcos2x dx
=−sinn−1xcosx+(n−1)wnsinn−2x(1−sin2x)dx
=−sinn−1xcosx+(n−1)(wnsinn−2x dx−wnsinnx dx)
In=−sinn−1xcosx+(n−1)(In−2−In )
nIn=−sinn−1xcosx+(n−1)In−2
In=−.sinn−1xcosxnnnnnnnnnnn+.n−1nnnnIn−2 (n=2,3,4,..)
(*1.8)←
wn.dxsinxnnnn=wn.12sin.x2ncos.x2nnnnnnnnnnndx=wn..12n.1cos2.x2nnnnntan.x2nnnnnnnndx


=wn.(tan.x2n)’tan.x2nnnnnnnndx=log|tan.x2n|+C

(*1.6)を用ると次のように計算できます.
wn.dxsinxnnnn=wn.sinxsin2xnnnndx=wn.sinx1−cos2xnnnnnnndx=Iとおく
cosx=tとおいて置換積分すると
.dtdxnn=−sinxだから
I=wn.sinx1−t2nnnn.dt(−sinx)nnnnnn=wn.1t2−1nnnndt=.12nwn( .1t−1nnn.1t+1nnn )dt
=.12n(log|t−1|log|t+1|)+C=.12nlog|.t−1t+1nnn|+C
=.12nlog|.cosx−1cosx+1nnnnnn|+C=.12nlog(.1−cosx1+cosxnnnnnn)+C
(*1.9)←
.ddxnn(.1tanxnnnn)=.ddxnn(.cosxsinxnnnn)=.(−sinx)sinx−(cosx)cosxsin2xnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
=−.1sin2xnnnn
の両辺を積分して符号を変えれば示されます.


(*1.10)←
(*1.6)を使った置換積分になります.
[例]
wn.dxsin3xnnnnn=wn.sinxsin4xnnnnn dx
=wn.sinx(1−cos2x)2nnnnnnnnndx=−wn.dt(t2−1)2nnnnnn=I
とおく
(部分分数分解を行う)

とおき,展開整理して係数比較を行うことによりを求める.
なお,のように,重解型になっている式を部分分数分解するには,分母の次数が1次になるまで「子分」も並べなければならない
となるから







なお,だから,つねにとなり,絶対値記号を使わずに表せる
(*1.11)←
次の部分積分を行います.
f(x)=xf’(x)=1
g’(x)=sinxg(x)=−cosx
wnxsinx dx=−xcosx−wn(−cosx)dx
=−xcosx+wncosx dx=−xcosx+sinx+C
(*1.12)←
部分積分を2回行います.
f(x)=x2f’(x)=2x
g’(x)=sinxg(x)=−cosx
wnx2sinx dx=−x2cosx−wn(−2xcosx)dx
=−x2cosx+2wnxcosx dx=Iとおく
p(x)=xp’(x)=1
q’(x)=cosxq(x)=sinx
I=−x2cosx+2(xsinx−wnsinx dx)
I=−x2cosx+2xsinx+2cosx+C
(*1.13)←
nが小さな整数の場合は,(*1.11)(*1.12)のようにxnを微分する側に選んで,それが定数になるまで部分積分を行うとできますが,nが大きい整数であるときは,次のような漸化式を作って,Inを順に求めて行くことができます.
In=wnxnsinx dxとおく(n≧2)
f(x)=xnf’(x)=nxn−1
g’(x)=sinxg(x)=−cosx
In=wnf(x)g’(x)dx=f(x)g(x)−wnf’(x)g(x)dx
=−xncosx−wnnxn−1(−cosx)dx
=−xncosx+nwnxn−1cosx dx

p(x)=xn−1p’(x)=(n−1)xn−2
q’(x)=cosxq(x)=sinx
In=−xncosx+n(xn−1sinx−wn(n−1)xn−2sinx dx)
=−xncosx+nxn−1sinx−n(n−1)In−2
これにより,
I0=−cosx+C→I2→I4→...の順に求めます.
I1=−xcosx+sinx+C→I3→I5→...の順に求めます.
(*1.14)←
部分積分を2回行い「方程式のように解きます」.
I=wnexsinx dxとおく
f(x)=exf’(x)=ex
g’(x)=sinxg(x)=−cosx
I=wnf(x)g’(x)dx=f(x)g(x)−wnf’(x)g(x)dx
=−excosx−wnex(−cosx)dx=exsinx+wnexcosx dx
p(x)=exp’(x)=ex
q’(x)=cosxq(x)=sinx
I=−excosx+exsinx−wnexsinx dx
I=−excosx+exsinx−I
2I=−excosx+exsinxだから
I=.12nex(sinx−cosx)+C

(*1.15)(*1.16)←
 係数に注意すれば(*1.14)と同様の方法で求められます.
a, b≠0のとき,I=wneaxsinbx dxを求めてみると
f(x)=eaxf’(x)=aeax
g’(x)=sinbxg(x)=−.cosbxbnnnnn
I=wnf(x)g’(x)dx=f(x)g(x)−wnf’(x)g(x)dx
=−.1bneaxcosbx+.abnwneaxcosbx dx
p(x)=eaxp’(x)=aeax
q’(x)=cosbxq(x)=.sinbxbnnnn
I=−.1bneaxcosbx+.abn(.1bneaxsinbx−.abnwneaxsinbx dx)
=−.1bneaxcosbx+.ab2nneaxsinbx−.a2b2nnI
b2I=−beaxcosbx+aeaxsinbx−a2I
(a2+b2)I=−beaxcosbx+aeaxsinbx
I=.1a2+b2nnnnneax(asinbx−bcosbx)
したがって
wneaxsinbx dx=.1a2+b2nnnnneax(asinbx−bcosbx) (a, b≠0)
この式でa=2, b=3とおけば(*1.15),a=−1, b=1とおけば(*1.16)になります.
(*1.17)←
(x+sinx)’=1+cosxだから
wn.1+cosxx+sinxnnnnnndx=wn.(x+sinx)’x+sinxnnnnnnnndx=log|x+sinx|+C
(*1.18)←
(1+sin2x)’=2sinxcosx=sin2xだから
wn.sin2x1+sin2xnnnnnndx=wn.(1+sin2x)’1+sin2xnnnnnnnndx=log(1+sin2x)+C
(*1.19)←
(tanx)’=.1cos2xnnnnだから
wn.dxcos2xtanxnnnnnnnn=wn.(tanx)’tanxnnnnnndx=log|tanx|+C
(*1.20)←
tanαの2倍角公式:tan2α=.2tanα1−tan2αnnnnnnnにより
tan.x2n=tとおけば,
.tanx=.2t1−t2nnnn
また,cosαの2倍角公式:cos2α=2cos2α−1と三角関数の相互関係: sin2α+cos2α=1 → 1+tan2α=.1cos2αnnnnを使うと
.cos2α=2.11+tan2αnnnnnn−1=.1−tan2α1+tan2αnnnnnn
となるから
.cosx=.1−t21+t2nnnn
sinx=tanxcosxだから
.sinx=.2t1−t2nnnn.1−t21+t2nnnn=.2t1+t2nnnn
 このように,sinx, cosx, tanxは,すべてtan.x2n=tで表される
ので,sinx, cosx, tanxを含んだ式tan.x2n=tおとけば,tの積分
となります.(他の方法では不定積分が求められないときでも,この方法で求められます.ただし,他の方法でも求められるような問題にこの方法を使うと,途中経過が煩雑となって,かえって困ってしまうことがありますので,何でもこれでやればよいという訳ではないことに注意)
[例]
wn.dx1−sinxnnnnnn=Iとおくと
tan.x2n=tとおけば,
sinx=.2t1+t2nnnn
.dtdxnn=.12n.1cos2.x2nnnnnn=.1+t22nnnn
dx=.21+t2nnnndt
I=wn.11−.2t1+t2nnnnnnnnnn.21+t2nnnndt=wn.2(t−1)2nnnnndt=−.2t−1nnn+C
=.21−tan.x2nnnnnnn+C…(#7)
[よくない例]
「これを使えば三角関数の不定積分はほとんどできる」というのを真に受けると,次のような簡単な問題でもできるはずですが・・・気の遠くなるような長い答案になります.
wnsinx dx
tan.x2n=tとおけば,sinx=.2t1+t2nnnndx=.21+t2nnnndt
wnsinx dx=wn.2t1+t2nnnn.21+t2nnnndt=wn.4t(1+t2)2nnnnnndt
t2+1=sとおけば,.dsdtnn=2t
wn.4ts2nn.ds2tnn=wn.2s2nds=−.2sn+C=−.21+t2nnnn+C
=−.21+tan2.x2nnnnnnn+C=−2cos2.x2n+C
=−2(.1+cosx2nnnnnnn)+C=−1−cosx+C
ここで,−1+C=C’とおくと
wnsinx dx=−cosx+C’
となります.(準備も後始末も大変で,もうこりごり#)

なお,この種の問題に広く使える訳ではないが,この問題についてだけ使える変形として,次の答案が考えられる.
wn.dx1−sinxnnnnnn=wn.1+sinx1−sin2xnnnnnndx=wn.1+sinxcos2xnnnnnndx
=wn.1cos2xnnnndx+wn.sinxcos2xnnnndx=tanx+.1cosxnnnn+C’…(#8)
第2項はcosx=tとおいて置換積分する.
wn.sinxcos2xnnnndx=wn.sinxt2nnnn.dtsinxnnnnn=−wnt−2dt
=t−1+C=.1cosxnnnn+C
(#7)と(#8)の関数の部分はそのままでは一致しない.
tanx+.1cosxnnnn+C’=.2t1−t2nnnn+.1+t21−t2nnnn+C’=.(1+t)21−t2nnnnn+C’
=.1+t1−tnnn+C’=−.t+1t−1nnn+C’=−(1+.2t−1nnn)+C’=.21−tan.x2nnnnnnn−1+C’
任意定数をC=C’−1とすると,等しくなります.

 以下の問題は,この頁のどこかに書かれている内容か,または,それを少しだけ変形したものです.正しい番号を選択してください.
[問題1]
次の不定積分を求めてください.
.wnsin2x dx

12sinxcosx+C 2.sin3x3nnnn+C
3.14nsin2x+.x2n+C 4.14nsin2x−.x2n+C



[問題2]
次の不定積分を求めてください.
.wncos3xsinx dx

1.sin4x4nnnn+C 2.cos4x4nnnn+C
3.112nnsin3x−.34nsinx+C
4.112nncos3x−.34ncosx+C



[問題3]
次の不定積分を求めてください.
.wnxsinx dx
1xcosx+sinx+C 2xcosx−sinx+C
3cosx−xsinx+C 4sinx−xcosx+C




[問題4]
次の不定積分を求めてください.
.wn.1+cosxx+sinxnnnnnndx
1log|x+sinx|+C 2log|1+cosx|+C
3log|.1x+sinxnnnnnn|+C 4log|.11+cosxnnnnnn|+C



[問題5]
次の不定積分を求めてください.
.wnsin3x dx
1.sin4x4nnnn+C 2.cos4x4nnnn+C
3.sin3x3nnnnsinx+C 4.cos3x3nnnncosx+C



[問題6]
次の不定積分を求めてください.
.wn.dxsinxnnnn
1.1tanxnnnn+C 2.2sin2xnnnn+C
3.12nlog(.1−cosx1+cosxnnnnnn )+C 4log|tanx|+C




[問題7]
In=wnxnsinx dx (n≧2)とおくとき,次のどの漸化式が
成り立ちますか.
1In=−.sinn−1xcosxnnnnnnnnnnn+.n−1nnnnIn−2
2In=.sinxcosn−1xnnnnnnnnnnn+.n−1nnnnIn−2
3In=−xncosx+nxn−1sinx−n(n−1)In−2
4In=.1n−1nnntann−1−In−2



[問題8]
次の不定積分を求めてください.
.wne−xsinx dx
1.12ne−x(sinx+cosx)+C
2.12ne−x(sinx+cosx)+C
3.12ne−x(sinx−cosx)+C
4.12ne−x(sinx−cosx)+C



[問題9]
次の不定積分を求めてください.
.wn.dxsin2xnnnn
1.1tanxnnnn+C 2tanx+C
3.1cos2xnnnn+C 41+.1tan2xnnnn+C



[問題10]
次の不定積分を求めてください.
.wn.dx1+sinxnnnnnn
1tan.x2n+C 2.21−cos.x2nnnnnnn+C
3tanx−.1cosxnnnn+C 4tanx+.1cosxnnnn+C




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