sinxの不定積分

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【sinxに関する不定積分≪一覧≫】

○［基本］

sinx dx=−cosx+C…(*1.1)

（解説）
(*1.1)←

(cosx)=−sinxの両辺を積分して符号を変えます．

○［sinnx］の形のうちnが小さいとき→２倍角公式，３倍角公式などで変形する．

sin2x dx=−sin2x++C…(*1.2)

sin3x dx=cos3x−cosx+C…(*1.3)

sin4x dx=x−sin2x+sin4x+C…(*1.4)

=x−sinxcosx−sin3xcosx+Cでもよい

sin5x dx

=−sin4xcosx−sin2xcosx−cosx+C

=−cos5x+cos3x−cosx+C…(*1.5)

（解説）
(*1.2)←
半角公式（=２倍角公式）を使って，被積分関数を書き換えるとできます．

sin2x=により

sin2x dx=(−)dx=−sin2x+C

(*1.3)←
３倍角公式を使って，被積分関数を書き換えるとできます．
sin3x=3sinx−4sin3xにより

sin3x=sinx−sin3x

sin3x dx=( sinx−sin3x)dx

=−cosx+cos3x+C..(#1)

この積分は(*1.6)を使って求めることもできます．

sin3x dx=sin2xsinx dx

=(1−cos2x)sinx dx

cosx=tとおくと

=−sinx

(1−cos2x)sinx dx=(1−t2)sinx

=(t2−1)dt=−t+C=−cosx+C..(#2)

cos3xの３倍角公式を使って変形すると，(#1)と(#2)とは同じ式であることが分かります．

(*1.4)←
半角公式（=２倍角公式）を２回使って，被積分関数を書き換えるとできます．

sin2x=により

sin4x=()2=(1−2cos2x+cos22x)

=(1−2cos2x+)

=−cos2x+cos4x

sin4x dx=x−sin2x+sin4x+C…(#3)

この積分は(*1.7)を使って求めることもできます．

In=sinnx dxとおくと

In=−+In−2 (n=2,3,4,..)…(*1.7)

により，I0→I2→I4→...と順に求めることができます．

I0=sin0x dx=1 dx=x+C

I2=−+x+C

I4=−+(−+x)+C

=−−sinxcosx+x+C…(#4)

sin3xの３倍角公式，２倍角公式を使って変形すると，(#3)と(#4)とは同じ式であることが分かります．

(*1.5)←

sin5x dx=(1−cos2x)2sinx dxから(*1.6)または

(２倍角公式を２回)使うことにより

sin5x dx=−cos5x+cos3x−cosx+C…(#5)

- - -

In=−+In−2 (n=2,3,4,..)

により， I1→I3→I5→...の順に求めるときは，

I1=sin1x dx=−cosx+C

I3=−+I1

を使って

sin5x dx=−sin4xcosx−sin2xcosx−cosx+C

…(#6)
となります．(#5)と(#6)は，sin2x=1−cos2xを使って変形すると，同じ式であることが分かります．

○［sinnx］の形のうちnが奇数の場合

f(cosx)sinx dx→cosx=tとおいて置換積分

の応用として

sin2n+1x dx=sin2nxsinx dx

=(1−cos2x)nsinx dx

…(*1.6)

（解説）
(*1.6)←

f(cosx)sinx dx→cosx=tとおいて置換積分すると

=−sinx

f(cosx)sinx dx=f(t)sinx=−f(t)dt

=−F(t)+C=−F(cosx)+Cのようにf(t)の不定積分を求める問題となります．

［例］
cosx≧0の区間で

sinx dx

=−dt=−t+C=−cosx+C

cos4xsinx dx=t4sinx=−t4dt

=−+C

sin2n+1x dx=sin2nxsinx dx=(1−cos2x)nsinx dx

一般に

cosnxsinx dx=−+Cとなります．

(注)←
0<k<1のとき

dxやdx

の形をした不定積分は，各々第1種及び第2種楕円積分と呼ばれ，初等的には求められないことが知られています．（定積分は数値積分により近似値を求めることができます．）

○［sinnx］の形のうちnが偶数の場合
nが正の整数のとき（奇数のときでも使えます）

sinnx dx→漸化式を作り，逐次次数を下げる．…(*1.7)
（※一般項を求めるのではない．）

（解説）
(*1.7)←

In=sinnx dx=sinn−1xsinx dxとして部分積分を行う

f(x)=sinn−1x	f’(x)=(n−1)sinn−2xcosx
g’(x)=sinx	g(x)=−cosx

f(x)g’(x) dx=f(x)g(x)−f’(x)g(x) dxにより

In=sinn−1x(−cosx)−(n−1)sinn−2xcosx(−cosx)dx

=−sinn−1xcosx+(n−1)sinn−2xcos2x dx

=−sinn−1xcosx+(n−1)sinn−2x(1−sin2x)dx

=−sinn−1xcosx+(n−1)(sinn−2x dx−sinnx dx)

In=−sinn−1xcosx+(n−1)(In−2−In )
nIn=−sinn−1xcosx+(n−1)In−2

In=−+In−2 (n=2,3,4,..)

○［］の形

=log|tan|+C…(*1.8)

=log()+Cでもよい

=−+C…(*1.9)

= dx = dx

…(*1.10)

（解説）
(*1.8)←

=dx=dx=dx

=log|tan|+C

(*1.6)を用ると次のように計算できます.

=dx=dx=Iとおく

cosx=tとおいて置換積分すると

=−sinxだから

I==dt=( − )dt

=(log|t−1|−log|t+1|)+C=log||+C

=log||+C=log()+C

(*1.9)←

()=()=

=−の両辺を積分して符号を変えれば示されます．

(*1.10)←
(*1.6)を使った置換積分になります．
［例］

= dx

=dx=−=Iとおく

部分分数分解を行う
$\frac{1}{(t^2-1)^2}=\frac{A}{(t-1)^2}+\frac{B}{t-1}+\frac{C}{(t+ 1)^2}+\frac{D}{t+ 1}$
とおき,展開整理して係数比較を行うことにより $A,B,C,D$ を求める．

なお， $\frac{1}{(t-1)^2}$ のように，重解型になっている式を部分分数分解するには，分母の次数が1次になるまで「子分」も並べなければならない

$A=C=D=\frac{1}{4},\hspace{5}B=-\frac{1}{4}$ となるから
$\int\frac{1}{(t^2-1)^2}dt$
$=\frac{1}{4}\int$\frac{1}{(t-1)^2}-\frac{1}{t-1}+\frac{1}{(t+ 1)^2}+\frac{1}{t+ 1}$dt$
$=\frac{1}{4}$-\frac{1}{t-1}-\log|t-1|-\frac{1}{t+ 1}+\log|t+ 1|$+ C$
$=\frac{1}{4}$-\frac{1}{t-1}-\log|t-1|-\frac{1}{t+ 1}+\log|t+ 1|$+ C$
$I=\frac{1}{4}$\frac{1}{t-1}+\log|t-1|+\frac{1}{t+ 1}-\log|t+ 1|$+ C$
$=\frac{1}{4}$\frac{1}{\cos x-1}+\frac{1}{\cos x+ 1}+\log\frac{|\cos x-1|}{|\cos x+ 1|}$+ C$
$=\frac{1}{4}$\frac{1}{\cos x-1}+\frac{1}{\cos x+ 1}+\log\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$+ C$

なお， $-1\underline{\le}\cos x\underline{\le}1$ だから，つねに $1-\cos x\underline{\ge}0,\hspace{5}1+\cos x\underline{\ge}0$ となり，絶対値記号を使わずに表せる

○［xnsinx］の形→部分積分

xsinx dx=sinx−xcosx+C…(*1.11)

x2sinx dx=2xsinx−(x2−2)cosx+C…(*1.12)

xnsinx dx→漸化式を作り，逐次次数を下げる．
…(*1.13)

（解説）
(*1.11)←
次の部分積分を行います．

f(x)=x	f’(x)=1
g’(x)=sinx	g(x)=−cosx

xsinx dx=−xcosx−(−cosx)dx

=−xcosx+cosx dx=−xcosx+sinx+C

(*1.12)←
部分積分を２回行います．

f(x)=x2	f’(x)=2x
g’(x)=sinx	g(x)=−cosx

x2sinx dx=−x2cosx−(−2xcosx)dx

=−x2cosx+2xcosx dx=Iとおく

p(x)=x	p’(x)=1
q’(x)=cosx	q(x)=sinx

I=−x2cosx+2(xsinx−sinx dx)

I=−x2cosx+2xsinx+2cosx+C

(*1.13)←
nが小さな整数の場合は，(*1.11)(*1.12)のようにxnを微分する側に選んで，それが定数になるまで部分積分を行うとできますが，nが大きい整数であるときは，次のような漸化式を作って，Inを順に求めて行くことができます．

In=xnsinx dxとおく(n≧2)

f(x)=xn	f’(x)=nxn−1
g’(x)=sinx	g(x)=−cosx

In=f(x)g’(x)dx=f(x)g(x)−f’(x)g(x)dx

=−xncosx−nxn−1(−cosx)dx

=−xncosx+nxn−1cosx dx

p(x)=xn−1	p’(x)=(n−1)xn−2
q’(x)=cosx	q(x)=sinx

In=−xncosx+n(xn−1sinx−(n−1)xn−2sinx dx)

=−xncosx+nxn−1sinx−n(n−1)In−2

これにより，

I0=−cosx+C→I2→I4→...の順に求めます．
I1=−xcosx+sinx+C→I3→I5→...の順に求めます．

○［eaxsinbx］の形→部分積分を２回行う

exsinx dx=ex(sinx−cosx)+C…(*1.14)

e2xsin3x dx=e2x(2sin3x−3cos3x)+C…(*1.15)

e−xsinx dx=−e−x(sinx+cosx)+C…(*1.16)

（解説）
(*1.14)←
部分積分を２回行い「方程式のように解きます」．

I=exsinx dxとおく

f(x)=ex	f’(x)=ex
g’(x)=sinx	g(x)=−cosx

I=f(x)g’(x)dx=f(x)g(x)−f’(x)g(x)dx

=−excosx−ex(−cosx)dx=exsinx+excosx dx

p(x)=ex	p’(x)=ex
q’(x)=cosx	q(x)=sinx

I=−excosx+exsinx−exsinx dx

I=−excosx+exsinx−I
2I=−excosx+exsinxだから

I=ex(sinx−cosx)+C

(*1.15)(*1.16)←
　係数に注意すれば(*1.14)と同様の方法で求められます．

a, b≠0のとき，I=eaxsinbx dxを求めてみると

f(x)=eax	f’(x)=aeax
g’(x)=sinbx	g(x)=−

I=f(x)g’(x)dx=f(x)g(x)−f’(x)g(x)dx

=−eaxcosbx+eaxcosbx dx

p(x)=eax	p’(x)=aeax
q’(x)=cosbx	q(x)=

I=−eaxcosbx+(eaxsinbx−eaxsinbx dx)

=−eaxcosbx+eaxsinbx−I

b2I=−beaxcosbx+aeaxsinbx−a2I
(a2+b2)I=−beaxcosbx+aeaxsinbx

I=eax(asinbx−bcosbx)

したがって

eaxsinbx dx=eax(asinbx−bcosbx) (a, b≠0)

この式でa=2, b=3とおけば(*1.15)，a=−1, b=1とおけば(*1.16)になります．

○［］の形→則答：log|f(x)|

　一般に，分子が分母の微分となっている関数の場合は，分母・分子がどんなに複雑であっても，直ちにlog|f(x)|の形で積分が求まります．

.dx=log|x+sinx|+C…(*1.17)

.dx=log(1+sin2x)+C…(*1.18)

.=log|tanx|+C…(*1.19)

（解説）

(*1.17)←
(x+sinx)’=1+cosxだから

dx=dx=log|x+sinx|+C

(*1.18)←
(1+sin2x)’=2sinxcosx=sin2xだから

dx=dx=log(1+sin2x)+C

(*1.19)←

(tanx)’=だから

=dx=log|tanx|+C

○［f(sinx, cosx, tanx)］の形→tan=tとおけば，

.sinx=, cosx=, tanx=となって

.tで表されます．ただし，複雑な式になることが多いので，これは「最後の手段」と考えた方がよい．…(*1.20)

（解説）
(*1.20)←

tanαの２倍角公式：tan2α=により

tan=tとおけば，

.tanx=

また，cosαの２倍角公式：cos2α=2cos2α−1と三角関数の相互関係： sin2α+cos2α=1 → 1+tan2α=を使うと

.cos2α=2−1=

となるから

.cosx=

sinx=tanxcosxだから

.sinx==

　このように，sinx, cosx, tanxは，すべてtan=tで表される

ので，sinx, cosx, tanxを含んだ式tan=tおとけば，tの積分

となります．（他の方法では不定積分が求められないときでも，この方法で求められます．ただし，他の方法でも求められるような問題にこの方法を使うと，途中経過が煩雑となって，かえって困ってしまうことがありますので，何でもこれでやればよいという訳ではないことに注意）

［例］

=Iとおくと

tan=tとおけば，

sinx=

dx=dt

I=dt=dt=−+C

=+C…(#7)

［よくない例］
「これを使えば三角関数の不定積分はほとんどできる」というのを真に受けると，次のような簡単な問題でもできるはずですが･･･気の遠くなるような長い答案になります．

sinx dx

tan=tとおけば，sinx=dx=dt

sinx dx=dt=dt

t2+1=sとおけば，=2t

=ds=−+C=−+C

=−+C=−2cos2+C

=−2()+C=−1−cosx+C

ここで，−1+C=C’とおくと

sinx dx=−cosx+C’

となります．（準備も後始末も大変で，もうこりごり＃）

なお，この種の問題に広く使える訳ではないが，この問題についてだけ使える変形として，次の答案が考えられる．

=dx=dx

=dx+dx=tanx++C’…(#8)

第2項はcosx=tとおいて置換積分する．

dx==−t−2dt

=t−1+C=+C

(#7)と(#8)の関数の部分はそのままでは一致しない．

tanx++C’=++C’=+C’

=+C’=−+C’=−(1+)+C’=−1+C’

任意定数をC=C’−1とすると，等しくなります．

　以下の問題は，この頁のどこかに書かれている内容か，または，それを少しだけ変形したものです．正しい番号を選択してください．

［問題１］

次の不定積分を求めてください．

.sin2x dx

12sinxcosx+C 2+C

3−sin2x++C 4sin2x−+C

HELP

…(*1.2)

→3

［問題２］

次の不定積分を求めてください．

.cos3xsinx dx

1+C 2−+C

3sin3x−sinx+C

4cos3x−cosx+C

HELP

…(*1.6)

→2

［問題３］

次の不定積分を求めてください．

.xsinx dx

1xcosx+sinx+C 2xcosx−sinx+C

3cosx−xsinx+C 4sinx−xcosx+C

HELP

…(*1.11)

→4

［問題４］

次の不定積分を求めてください．

.dx

1log|x+sinx|+C 2log|1+cosx|+C

3log||+C 4log||+C

HELP

…(*1.17)

→1

［問題５］

次の不定積分を求めてください．

.sin3x dx

1+C 2+C

3−sinx+C 4−cosx+C

HELP

…(*1.3)の解説にある別表記参照

→4

［問題６］

次の不定積分を求めてください．

1−+C 2+C

3log( )+C 4log|tanx|+C

HELP

…(*1.8)の解説にある別表記参照

→3

［問題７］

In=xnsinx dx (n≧2)とおくとき，次のどの漸化式が

成り立ちますか．

1In=−+In−2

2In=+In−2

3In=−xncosx+nxn−1sinx−n(n−1)In−2

4In=tann−1−In−2

HELP

…(*1.13)の解説参照

→3

［問題８］

次の不定積分を求めてください．

.e−xsinx dx

1e−x(sinx+cosx)+C

2−e−x(sinx+cosx)+C

3e−x(sinx−cosx)+C

4−e−x(sinx−cosx)+C

HELP

…(*1.16)の解説参照

→2

［問題９］

次の不定積分を求めてください．

1−+C 2−tanx+C

3+C 41++C

HELP

…(*1.9)の解説参照

→1

［問題10］

次の不定積分を求めてください．

1tan+C 2+C

3tanx−+C 4tanx++C

HELP

…(*1.20)の解説(#8)参照

=dx=dx

=dx−dx=tanx−+C

第2項はcosx=tとおいて置換積分する．

dx==−t−2dt

=t−1+C=+C

→3

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