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*** 大区分 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 中区分 ***
ベクトル・行列連立方程式複素数関数・数列微分積分微分方程式統計maxima

※高卒から大学初年度レベルの「積分」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．

○図１のような立体の体積（縦棒の体積の総和）は，面積要素ds=dxdyに高さz=f(x, y)を掛けて得られる体積要素
dV=f(x, y)ds=f(x, y)dxdy
の総和として，定義域D上の重積分 .∫wn∫Dwwwf(x, y)dxdy
で求めることができます．
○f(x, y)が連続関数で，各変数の定義域がa≦x≦b, α≦y≦βであるとき,この重積分は .β∫αwww b∫awwwf(x, y)dx dy…(1)
または .b∫awww β∫αwwwf(x, y)dy dx…(2)
のように，１変数の積分の繰り返しによって行うことができます．
　(1)は図２のように，まず変数yを固定して，各々のyについて，xで積分し（図で示した壁の面積S(y)を求めて），次にyの関数として表されたその面積をyで積分することによって体積を求めることに対応しています．
　(2)は図３のように，初めにxを固定してyで積分し，図で示した壁の面積S(x)を求めて，次にxで積分するものです．
○変数の定義域が0≦x≦1, 0≦y≦xのように他の変数に依存しているときは .1∫0www x∫0wwwf(x, y)dy dx

または0≦y≦1, y≦x≦1として
.1∫0www 1∫ywwwf(x, y)dx dy
のように計算できます．

○この頁に登場する【問題】は，公益社団法人日本技術士会のホームページに掲載されている「技術士第一次試験過去問題 共通科目A 数学」の引用です．（=公表された著作物の引用）

○【解説】は個人の試案ですが，Ｗｅｂ教材化にあたって「問題の転記ミス」「考え方の間違い」「プログラムの作動ミス」などが含まれる場合があり得ます．
　問題や解説についての質問等は，原著作者を煩わせることなく，当Ｗｅｂ教材の作成者（<浅尾>mwm48961@uniteddigital.com）に対して行ってください．

平成16年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-12
　閉領域D:0≦x≦1, 0≦y≦xに対して，
.∫wn∫Dwww(x+ay)dxdy=1
となるとき，定数aの値は次のどれか．
10 21 32 43 54
解説

まず，yについて積分してから，次にxについて積分すると ∫wn∫Dwww(x+ay)dxdy=1∫0www x∫0www(x+ay)dy dx
x∫0www(x+ay)dy=[nxy+.a2ny2 =x2+.a2nx2=.a+22nnnx2
1∫0www x∫0www(x+ay)dy dx=1∫0www.a+22nnnx2dx
=.a+22nnn[n.x33nn =.a+22nnn.13n=.a+26nnn=1となるから
a+2=6
a=4 → 5
※　この問題で，変数x→yの順に積分すると，計算がやや長くなる
0≦x≦1, 0≦y≦x→y≦x≦1, 0≦y≦1と読み替える
∫wn∫Dwww(x+ay)dxdy=1∫0www 1∫ywww(x+ay)dx dy
1∫ywww(x+ay)dx=...=.12n+ay−.2a+12nnnny2
1∫0www(.12n+ay−.2a+12nnnny2)dy=...=.a+26nnn=1
よりa=4

平成17年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-10
　閉領域D:0≦x≦1, x≦y≦1に対して，
重積分∫wn∫Dwwwx2y dxdyの値は次のどれか．
1.115nn 2.215nn 3.15n 4.415nn 5.13n 解説

まず，yについて積分してから，次にxについて積分すると ∫wn∫Dwwwx2y dxdy=1∫0www 1∫xwwwx2y dy dx
1∫xwwwx2y dy=[n.12nx2y2 =.x22nn−.x42nn
1∫0www(.x22nn−.x42nn)dx=[n.x36nn−.x510nn =.16n−.110nn=.115nn → 1
※（別解）
0≦x≦y≦1→0≦x≦y, 0≦y≦1と読み替える
y∫0wwwx2y dx=[n.13nx3y =.y43nn
1∫0www.y43nn dy=[n.115nny5 =.115nn

平成18年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-10
　 重積分∫wn∫Dwwwe−x+ydxdyの値は，次のどれか．ただし，
D:0≦y≦x≦1とし，eは自然対数の底とする．
1e−2 2e−1 3e−1 4e 5e+1
解説

0≦y≦x≦1 → 0≦y≦xかつ0≦x≦1
まず，0≦y≦xの区間についてyについて積分してから，次に0≦x≦1の区間についてxについて積分すると
∫wn∫Dwwwe−x+ydxdy=1∫0www x∫0wwwe−x+ydy dx
x∫0wwwe−x+ydy=[ne−x+y =1−e−x
1∫0www(1−e−x)dx=[nx+e−x =(1+e−1)−(0+1)=e−1 → 3
（別解）
0≦y≦x≦1 → y≦x≦1かつ0≦y≦1
まず，y≦x≦1の区間についてxについて積分してから，次に0≦y≦1の区間についてyについて積分すると
∫wn∫Dwwwe−x+ydxdy=1∫0www 1∫ywwwe−x+ydx dy
1∫ywwwe−x+ydx=[n−e−x+y =(−e−1+y)−(−e0)=1−ey−1
1∫0www(1−ey−1)dy=[ny−ey−1 =(1−1)−(0−e−1)=e−1 → 3

平成19年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-11
　重積分∫wn∫Dwwwsinx cosy dxdyの値は，次のどれか．ただし，
D:0≦x≦.π2n, 0≦y≦.π3nとする．
1.√3√ni 2..√3√ni2nn 3..√3√ni3nn 4..√3√ni4nn 5..√3√ni5nn
解説

∫wn∫Dwwwsin x cos y dxdy=π−3∫0www π−2∫0wwwsin x cos y dx dy
π−2∫0wwwsin x cos y dx=[n−cos x cos y=cos y
π−3∫0wwwcos y dy=[nsin y=..√3√ni2nn → 2

平成20年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-11
　D : 0≦x≦π, 0≦y≦1のとき，
重積分∫wn∫Dwwwxcosxy dxdyの値は次のどれか．
1.1πn 2.2πn 3.3πn 41 52
解説

∫wn∫Dwwwx cos xy dxdy=π∫0www 1∫0wwwx cos xy dy dx
1∫0wwwx cos xy dy=[nsin xy=sin x
π∫0wwwsin x dx=[n−cos x=(−(−1))−(−1)=1+1=2 → 5

平成21年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-10
重積分∫wn∫Dwww(x−y)2 dxdyの値は，次のどれか．
ただし，D : x≧0, y≧0, x+y≦1とする．
1.112nn 2.16n 3.13n 4.12n 51
解説

x≧0, y≧0, x+y≦1 → 0≦y≦1−x, 0≦x≦1とする
∫wn∫Dwww(x−y)2 dxdy=1∫0www 1−x∫0www(y−x)2 dy dx
1−x∫0www(x−y)2 dy=[n.13n(y−x)3=.13n{ (1−2x)3+x3}
.13n1∫0www{(1−2x)3+x3}dx=.13n[n.1−8nn(1−2x)4+.x44nn

=.13n{(−.18n+.14n)−(−.18n)}=.112nn → 1

平成22年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-10
定数a, bに対して，∫wn∫Dwww(ax+by)dxdy=1とする．
このとき，a+bの値は，次のどれか．ただし，D : 0≦x≦1, 0≦y≦1とする．
10 2.12n 31 4.32n 52
解説

∫wn∫Dwww(ax+by)dxdy=1∫0www 1∫0www(ax+by)dy dx
1∫0www(ax+by)dy=[naxy+.12ny2=ax+.b2ny2
1∫0www(ax+.b2ny2)dx=[n.a2nx2+.b2nx

=.a2n+.b2n=1 より
a+b=2 → 5

平成23年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-10
重積分∫wn∫Dwww(x+y)2 dxdyの値は，次のどれか．
ただし，D : 0≦x≦1, 0≦y≦1とする．
1.12n 2.23n 3.56n 41 5.76n
解説

∫wn∫Dwww(x+y)2 dxdy=1∫0www 1∫0www(x+y)2 dx dy
1∫0www(x+y)2 dx=[n.13n(x+y)3=.13n{ (1+y)3−y3}
.13n1∫0www{(1+y)3−y3}dy=.112nn[n(1+y)4−y4

=.112nn{16−1)−(1−0)}=.76n → 5

平成24年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-10
重積分∫wn∫Dwww(x+2y)dxdyの値は，次のどれか．
ただし，D : 1≦x≦3, 2≦y≦3とする．
110 211 312 413 514
解説

∫wn∫Dwww(x+2y)dxdy=3∫2www 3∫1www(x+2y)dx dy
3∫1www(x+2y)dx=[n.12nx2+2xy=(.92n+6y)−(.12n+2y)

=4+4y
3∫2www(4+4y)dy=[n4y+2y2

=(12+18)−(8+8)=14 → 5

H24のⅢ-10の問題いいですね。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．