|
■重積分--積分順序の変更
【記号】
○ 領域D：*1≦x≦*2, *3≦y≦*4における重積分 f(x,y)dxdy （*1, *2は定数である場合も，yに依存する場合もある．同様に，*3, *4は定数である場合も，xに依存する場合もある．）
を，まずxについて積分してから，次にyについて積分を行う累次積分（繰り返し積分）として行うことを
( f(x,y)dx)dy …(1)
で表す．(1)式は dy f(x,y)dx …(1’) という記号で表されることもある．この場合において，xについて積分した結果は，一般にはyを含んだ式となっているので， dy の部分は，そのyを含んだ関数の積分という意味になる． ○ 同様にして， dx f(x,y)dy …(2’) は，まずyについて積分して得られる（一般にはxを含んだ関数になる）ものを，次にxで積分したもの ( f(x,y)dy)dx …(2) を表す．
例１(2xydy)dxの積分の順序を換えると
(2xydx)dyになる 
≪解説≫右図の領域Dにおいて， (1) 青の縦線で示した線に沿って，はじめにxを固定して，それぞれのxに対して，0≦y≦xの区間で変数yで積分してxを含んだ関数として得られる式が 2xydy (2) 次に，0≦x≦1の区間で変数xで積分するというのが元の式 (2xydy)dx が表しているもの．
2xydy=xy2=x3
積分の順序を変更して，はじめにyを固定して，それぞれのyに対して，xで積分するときは，図のように積分区間の左端がy，右端が1になる．x3dx=x4= になる (1) 赤の横線で示した線に沿って，y≦x≦1の区間で変数xで積分して得られる式は 2xydx (2) これらを0≦y≦1の区間で変数yで積分すると (2xydx)dy
2xydy=x2y=y−y3
(y−y3)dy=y2−y4=−= になる
問１次のうちでdxx2y dyと等しいものを選んでください．
1dyx2y dx
2dyx2y dx(出典B)
3dyx2y dx 4dyx2y dx HELP
はじめに，記号の確認：
dxf(x,y)dyとは(f(x,y)dy)dxのこと
dyf(x,y)dxとは(f(x,y)dx)dyのこと 
右図の領域Dにおいて，はじめにxを固定して，それぞれのxに対して，青の縦線に沿って0≦y≦xの区間で変数yで積分して，xを含んだ関数として得られる式 x2y dy を0≦x≦2の区間で変数xで積分するというのが元の問題の表しているものとなっている．
この順序で積分すると
これは，はじめにyを固定して，それぞれのyに対して，赤の横線に沿ってy≦x≦2の区間で変数xで積分して，yを含んだ関数として得られる式
x2y dxx2y dy=xy2=x4 x4 dx=x5=になる を0≦y≦2の区間で変数yで積分したもの dyx2y dx に等しい． → 3
この順序で積分すると
x2y dx=xy=y−y4 (y−y4)dx=y2−y5=になる |
【元の問題の出典】
(出典A) 「微分積分学Ⅱ」（共立出版 基礎数学講座７巻/宇野利雄著） (出典B) 「新編 高専の数学３ 問題集」（森北出版/田代嘉宏著） (出典C) 「理工系基礎 微分積分学」（培風館/堀内龍太郎.川崎廣吉.浦部治一郎共著） (出典D) 「数学へのアプローチ」（裳華房/八木克已著）
例２dyf(x,y)dxの積分の順序を換えると
dx f(x,y)dyになる 
≪解説≫右図の領域Dにおいて， (1) 赤の横線に沿って，はじめにyを固定して，それぞれのyに対して，y≦x≦の区間で変数xで積分してyを含んだ関数として得られる式が f(x,y)dx (2) 次に，0≦y≦1の区間で変数yで積分するというのが元の式 dyf(x,y)dx が表しているもの． 積分の順序を変更して， (1) はじめにxを固定して，それぞれのxに対して，yで積分するときは，青の縦線に沿って，x2≦y≦xの区間で変数yで積分して得られる式が f(x,y)dy (2) これらを0≦x≦1の区間で変数xで積分すると dx f(x,y)dy
例３dx2x2ydyの積分の順序を換えると
2x2ydxdy+2x2ydxdyになる (出典B)
≪解説≫右図の領域Dにおいて， (1) 青の縦線で示した線に沿って，はじめにxを固定して，それぞれのxに対して，x≦y≦2xの区間で変数yで積分してxを含んだ関数として得られる式が 2x2ydy (2) 次に，0≦x≦1の区間で変数xで積分するというのが元の式 dx2x2ydy が表しているもの． 積分の順序を変更して，はじめにyを固定して，それぞれのyに対して，xで積分するときは，図のように積分区間の右端がyの値によって変わるので，２つの領域に分けて求める． (1) 0≦y≦1の区間では，赤の線で示した線に沿って，≦x≦yの区間で変数xで積分して得られる式は 2x2ydx 1≦y≦2の区間では，赤の線で示した線に沿って，≦x≦1の区間で変数xで積分して得られる式は 2x2ydx (2) これらを0≦y≦2の区間で変数yで積分すると 2x2ydxdy+2x2ydxdyになる ※（参考）どちらで計算しても，結果はになる
問２a>0のとき，次のうちでdxf(x,y)dyと等しい
1dyf(x,y)dx
2dyf(x,y)dxものを選んでください． (出典A)
3dyf(x,y)dx 4dyf(x,y)dx HELP
はじめに，記号の確認：
dxf(x,y)dyとは(f(x,y)dy)dxのこと
dyf(x,y)dxとは(f(x,y)dx)dyのこと 
右図の領域Dにおいて，はじめにxを固定して，それぞれのxに対して，0≦y≦x2の区間で変数yで積分してから xを含んだ関数として得られる式 f(x,y)dy を0≦x≦aの区間で変数xで積分するというのが元の問題の表しているものとなっている． これは，はじめにyを固定して，それぞれのyに対して，≦x≦aの区間で変数xで積分してから yを含んだ関数として得られる式 f(x,y)dx を0≦y≦a2の区間で変数yで積分したもの dyf(x,y)dx に等しい． → 3 |
|
問３dx(x2+y2)dyの積分順序を変更すると，
1dy(x2+y2)dx
2dy(x2+y2)dx次のどの式になりますか． 3dy(x2+y2)dx 4dy(x2+y2)dx HELP 
右図の領域Dにおいて，はじめにxを固定して，それぞれのxに対して，0≦y≦1−xの区間で変数yで積分してから xを含んだ関数として得られる式 (x2+y2)dy を0≦x≦1の区間で変数xで積分するというのが元の問題の表しているものとなっている． これは，はじめにyを固定して，それぞれのyに対して，0≦x≦1−yの区間で変数xで積分してから yを含んだ関数として得られる式 (x2+y2)dx を0≦y≦1の区間で変数yで積分したもの dy(x2+y2)dx に等しい． → 2 ※（参考）どちらで計算しても，結果はになる |
問４(f(x,y)dy)dxの積分順序を変更すると，
1(f(x,y)dx)dy
2(f(x,y)dx)dy次のどの式になりますか． 3(f(x,y)dx)dy+(f(x,y)dx)dy 4(f(x,y)dx)dy+(f(x,y)dx)dy HELP 
右図の領域Dにおいて，はじめにxを固定して，それぞれのxに対して，x2≦y≦x+2の区間で変数yで積分して得られるxを含んだ式 f(x,y)dy を−1≦x≦2の区間で変数xで積分するというのが元の問題の表しているものとなっている． 積分の順序を変更して，はじめにyを固定して，それぞれのyに対して，xで積分するときは，図のように積分区間の左端がyの値によって変わるので，２つの領域に分けて求める． (1) 0≦y≦1の区間では，赤の線で示した線に沿って，−≦x≦の区間で変数xで積分して得られる式は f(x,y)dx だから， (f(x,y)dx)dy (2) 1≦y≦4の区間では，赤の線で示した線に沿って，y−2≦x≦の区間で変数xで積分して得られる式は f(x,y)dx だから， (f(x,y)dx)dy これらを足したものが解となる |
..高卒～大学数学のメニューに戻る
...メニューに戻る