放物線と三角形の面積2

大きな区分

現在地と前後の項目

*** 二次関数の基本 ***
/間違い探し/対応表の完成/関数の用語/係数の決定/
*** 放物線のグラフ ***
/点→関数（解説）/点→関数（問題）/関数→点1/関数→点2/関数形の決定（解説）/関数形の決定（問題1）/関数形の決定（問題1）/
*** 変化の割合 ***
/変化の割合1/変化の割合2/変化の割合3/変化の割合とグラフ/変化の割合(入試問題)/変域(1)/変域(2)/
*** 面積 ***
/放物線と直線→面積1/放物線と直線→面積2/放物線と直線→面積3/2次関数のグラフと直線/放物線と三角形の面積1/放物線と三角形の面積2/
*** まとめ ***
/放物線と直線/

== 放物線と三角形の面積2（入試問題） ==

【考え方１】
〇三角形の面積は，小学校のときから使っている公式

底辺×高さ2nnnnnnnn

で求めることができます．

〇右のような図形において， △PABと△PBCの面積比を求めたいとき
ABとBCをそれぞれの三角形の底辺に選ぶと，高さPH=hが共通になるので
△PAB:△PBC

AB×h2nnnnn : .

BC×h2nnnnn

=AB:BC
⇒　高さが共通なら，三角形の面積比は底辺の長さの比に等しい

【例題１】
　右の図で，①は関数 $y=\frac{2}{3}x^2$ ， ②は関数y=ax+bのグラフであり，①と②は２点A, Bで交わっている。点A, Bのx座標がそれぞれ−3, 6であるとき，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。

(1)　略
(2)　定数a, bの値を求めよ。
(3)　線分AB上に点Pをとり，△OAPの面積が△OPBの面積の２倍となるようにしたい。このとき点Pの座標を求めよ。

（高知県2000年入試問題）

（解答）
(2)　点A, Bは $y=\frac{2}{3}x^2$ のグラフ上にあるから

A　：　x=−3のとき， $y=\frac{2}{3}\times(-3)^2=6$
B　：　x=6のとき， $y=\frac{2}{3}\times 6^2=24$
したがって，A(−3, 6), B(6, 24)

直線y=ax+bは２点A, Bを通るから

A　：　6=−3a+b…(i)
B　：　24=6a+b…(ii)
この連立方程式(i)(ii)を解いて，a, bを求める．
(ii)−(i)
18=9a
a=2
これを(i)に代入すると，b=12
y=2x+12…（答）

(3)
△OAPと△OPBの面積を計算するときに，辺AP, BPを底辺に選ぶと，右図のように高さOHは共通になり等しい．
このとき，△OAPと△OPBの面積比は底辺AP, BPの長さの比になる．

右図のように縦線と横線をひくと，相似図形の性質から横線すなわちx座標の差が2 : 1になる．
x座標を
A(−3) → P(3) → B(6)
とするとx座標の差は6:3=2:1になる．
Pはy=2x+12上にあって，x=3だから
y=2×3+12=18
P(3, 18)…（答）

※元の問題は記述式問題ですが，ｗｅｂ上での読者の操作性をよくするために，このサイトでは，独自に選択問題にしています．選択肢の中から正しいものを１つクリックしてください．問題や選択肢に疑問があるときは，原著作者を煩わすことなく，このサイトの管理人に質問してください．

【問題１】
　右の図で，曲線はy=x2のグラフであり，グラフ上に，x座標が−1である点Aをとります。点Aを通る傾き1の直線と曲線との交点をBとし，直線AB上に，x座標が正である点Pをとります。
　△OABと△OBPの面積が等しいとき，点Pの座標を求めなさい。

（埼玉県2000年入試問題）

解説やり直す

（正しいものをクリック．だたし，暗算ではできません．別途計算用紙を使って十分考えてから答えてください．）

P(2, 4) P(3, 5) P(4, 6) P(5, 7)

点Aは曲線y=x2上の点だからx=−1のとき
y=(−1)2=1
点Aの座標は(−1, 1)になるから，この点Aを通り傾き1の直線の式をy=x+bとおくと
1=−1+b
b=2
直線ABの式はy=x+2になる．
Bの座標は，次の連立方程式の解になる．

y=x2…(i)
y=x+2…(ii)

yを消去するとx2=x+2
x2−x−2=0
(x+1)(x−2)=0
x=−1, 2
x=−1は点Aを表すから，点Bはx=2
　右図において△OABと△OBPの面積が等しいとき，ABとBPをそれぞれの三角形の底辺に選ぶと，高さは共通になるから，底辺の長さはAB=BPになる．
　このとき，中学校２年生で習った平行線の性質から，図のA'B'=B'P'が成り立つ．
A'からB'まで3進むから，B'からP'まで3進むとP'=5
(ii)にx=5を代入するとy=7
P(5, 7)…（答）

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【考え方２】
　三角形の面積は，小学校のときから使っている公式

底辺×高さ2nnnnnnnn

で求めることができます．

(1)　右図においてABがx軸に平行であるとき

△ABCの面積を求めるには

底辺をx軸に平行なABに選ぶと計算が楽になります．
底辺の長さ：AB=c−a
このとき，高さはA, BとCのy座標の差だから
高さ：b−f
結局
△ABC=.

(c−a)(b−f)2nnnnnnnnn

(2)　右図において△DOFの面積を求めたいとき

△DOEと△OFEに分けて求めると，どちらもy軸上の線分OEを底辺に選ぶと計算が楽になります．

△DOEは底辺をOEとすると，高さはDのx座標（の符号を正に書き換えたもの）になり
△DOE=.

−pa2nnn

△OFEは底辺をOEとすると，高さはFのx座標になり
△OFE=.

pc2nn

結局，△DOF=.

pc−pa2nnnnn=.

p(c−a)2nnnnnn

【問題２】
　右の図で，曲線は $y=\frac{1}{2}x^2$ のグラフであり，２点A, Bはこの曲線と直線y=8との交点で，点Aからx軸に垂線ACをひきます。また，点Pは，この曲線上を原点Oから点Bまで動きます。△PACと△PABの面積が等しくなるとき，点Pの座標を求めなさい．

（埼玉県1999年入試問題）

解説やり直す

（正しいものをクリック．だたし，暗算ではできません．別途計算用紙を使って十分考えてから答えてください．）

$(1,\hspace{5}\frac{1}{2})$ $(1,\hspace{5}1)$ $(2,\hspace{5}2)$ $(4,\hspace{5}8)$

A, Bは曲線 $y=\frac{1}{2}x^2$ と直線y=8の交点だから，
$\frac{1}{2}x^2=8$ よりx=±4
A(−4, 8), B(4, 8)

$P(x,\hspace{5}\frac{1}{2}x^2)$ とおく　（ただしx>0）
(1) △PACにおいてAC=8を底辺とすると，高さはPとACのx座標の差：x−(−4)=x+4
$\Delta PAC=\frac{8\times(x+ 4)}{2}=4(x+ 4)$
(2) △PABにおいてAB=8を底辺とすると，高さはPとABのy座標の差： $8-\frac{1}{2}x^2$
$\Delta PAB=\frac{8\times(8-\frac{1}{2}x^2)}{2}=4(8-\frac{1}{2}x^2)=32-2x^2$
(1)(2)の面積が等しいのだから
$4(x+ 4)=32-2x^2$
$2x^2+ 4x-16=0$
$x^2+ 2x-8=0$
$(x+ 4)(x-2)=0$
$x=-4,\hspace{5}2$
x>0だから，x=2
したがって，点Pの座標は(2, 2) …（答）

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【問題３】
　右の図のように，関数 $y=\frac{1}{4}x^2$ のグラフ上に２点A, Bがあり，点A, Bのx座標はそれぞれ4, −6である。

関数 $y=\frac{1}{4}x^2$ のグラフ上に点Pをとり，２点A, Pを通る直線がy軸と交わる点をQとするとき，次の(1),(2)の問いに答えなさい。ただし，点Pのx座標は点Aのx座標より大きいものとする。
(1)　点Pのx座標が6のとき，点Qのy座標を求めなさい。
(2)　点Aが線分PQの中点となるとき，△BOPと△ABQの面積の比を求めなさい。

（千葉県1999年入試問題）

(1)　 $y=\frac{1}{4}x^2$ にx=6を代入すると，y=9になるからP(6, 9)
　 $y=\frac{1}{4}x^2$ にx=4を代入すると，y=4になるからA(4, 4)
　２点A(4, 4), P(6, 9)を通る直線の方程式を
y=ax+b
とおいてa, bを求める．
A(4, 4)を通るから4=4a+b…(i)
P(6, 9)を通るから9=6a+b…(ii)

(i),(ii)を解くと $a=\frac{5}{2},\hspace{5}b=-6$
点Qのy座標は−6…（答）

(2)　（正しいものをクリック．だたし，暗算ではできません．）

解説やり直す

$3:2$ $4:3$ $5:4$ $6:5$

　「点Aが線分PQの中点」という条件から，できるだけ簡単にP, Qの座標を求められるかどうかが鍵になります．
　QA=APなら，中学校２年生で習う平行線の性質，または中学校３年生で習う相似図形の性質を使うと，右図において２つの直角三角形△AA'Qと△PP'Qは相似比1:2の相似図形になります．
　したがって，Pのx座標はPP'=8

これにより，Pのy座標は $y=\frac{1}{4}\times 8^2=16$
P'A'=16−4=12だからA'Q=12とするとQ(0, −8)

この後の計算をする前に，図の中に分かる数字は全部埋めておくとよい．
右図のR, Sの座標は，直線の方程式を作ってy軸との交点を求めるのが中学校の正統派と考えられるが，なるべく算数でできるものは簡単に求めることにすると

　PR:RB=8:6=4:3（長さだから符号は正）だからPのy座標16からBのy座標9までの幅7を4:3に分けると，R(0, 12)
　BS:SA=6:4=3:2（長さだから符号は正）だからBのy座標9からAのy座標4までの幅5を3:2に分けると，S(0, 6)
　△BOP=△ROB+△ROP
$=\frac{12\times 6}{2}+ \frac{12\times 8}{2}=84$
　△ABQ=△SQB+△SQA
$=\frac{14\times 6}{2}+ \frac{14\times 4}{2}=70$
　△BOP:△ABQ=84:70=6:5…（答）

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【問題４】
　右の図は，２つの関数y=x2…(1)　y=ax2 (a<0)…(2)のグラフである。
　また，点A, B, C, Dはそれぞれx=2およびx=−1における関数(1),(2)のグラフ上の点である。
　このとき，次の各問いに答えなさい．
問１問２（略）
問３　点(2, 0)をE，点(−1, 0)をFとする。台形ABFEと台形CDEFの面積の比が3 : 2となるように，aの値を求めなさい。

（沖縄県2000年入試問題）

解説やり直す

$-\frac{3}{4}$ $-\frac{2}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{1}{2}$

　台形の面積は（上底+下底）×高さ÷2 で求められます．
右図の台形ABFEにおいては

Aのy座標はy=22=4だからAE=4…下底とする
Bのy座標はy=(−1)2=1だからBF=1…上底とする
EF=3…高さとする

面積は $\frac{(4+ 1)\times 3}{2}=\frac{15}{2}$

台形CDEFにおいては

Dのy座標はy=a×22=4aだからDE=−4a（a<0だから符号を変える）…下底とする
Cのy座標はy=a×(−1)2=aだからCF=a（a<0だから符号を変える）…上底とする
EF=3…高さとする

面積は $\frac{(-4a-a)\times 3}{2}=-\frac{15a}{2}$

このとき，面積比は $\frac{15}{2}:(-\frac{15a}{2})=1:(-a)=3:2$
$-3a=2$
$a=-\frac{2}{3}$ 　…（答）

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【問題５】
　右の図のように，関数 $y=\frac{1}{4}x^2$ のグラフ上に，x座標がそれぞれ−4, 2となる点A, Bをとる。このとき，次の(1),(2)の問いに答えよ。
(1)　直線ABの式を求めよ。
(2)　直線ABとy軸との交点をCとする。また，関数

$y=\frac{1}{4}x^2$ のグラフ上に点Pをとって，△OCPの面積が△OABの面積の $\frac{1}{3}$ になるようにしたい。このとき，点Pの座標を求めよ。ただし，Pは原点OとAの間にとるものとする。

（新潟県1999年入試問題）

(1)　Aのy座標は $\frac{1}{4}\times(-4)^2=4$
　　Bのy座標は $\frac{1}{4}\times 2^2=1$
　２点ABを通る直線の方程式をy=ax+bとおくと

A(−4, 4)を通るから

4=−4a+b…(i)

B(2, 1)を通るから

1=2a+b…(ii)

(i)(ii)を解くと， $a=-\frac{1}{2},\hspace{5}b=2$
ABを通る直線の方程式は $y=-\frac{1}{2}x+ 2$ …（答）

(2)　（正しいものをクリック．計算用紙が必要です．）

解説やり直す

$(2,\hspace{5}1)$ $(1,\hspace{5}\frac{1}{4})$ $(-1,\hspace{5}\frac{1}{4})$ $(-2,\hspace{5}1)$

　直線ABとy軸との交点をCとおくと，直線ABの方程式が
$y=-\frac{1}{2}x+ 2$
であることから，C(0, 2)
　△OABをy軸で２つに分けて面積を求めると

△OAB=△OCA+△OCB △OCAは底辺の長さがOC=2，高さがAのx座標（の符号を変えたもの）4だから，その面積は
$\frac{2\times 4}{2}=4$
△OCBは底辺の長さがOC=2，高さがBのx座標2だから，その面積は
$\frac{2\times 2}{2}=2$
したがって，△OAB=4+2=6

Pのx座標をxとおくと，△OCPは

底辺の長さがOC=2，高さがPのx座標の符号を変えたもの−x（x<0だから符号を変える）だから，その面積は
$\frac{-x\times 2}{2}=-x$

△OAB=3△OCPとなるには

$6=-3x$
$x=-2$

このとき，P(−2, 1)となる…（答）

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【問題６】
　右の図で放物線(1)はy=2x2，直線(2)はy=ax+b（a>0, b>0），直線(3)はy=bのグラフであり，点Pは(2)と(3)の交点，点Q, Rは(1)と(2)の交点，点S, Tは(1)と(3)の交点である。
　次の(1)～(2)に答えなさい。
(1)(2)略
(3)　点Qのx座標が−1，△PQTと△PRSの面積比が2 : 3のとき，直線(2)の式を求めなさい。

（青森県1999年入試問題）

解説やり直す

$y=x+ 1$ $y=x+ 2$

$y=x+ 3$ $y=x+ 4$

算数で解ける部分は，なるべく簡単に算数で解くと，計算間違いが少なくなります

△PQTと△PRSにおいて底辺をそれぞれSP, PTとすると，放物線は左右対称だから，SP=PT
したがって，△PQTと△PRSの面積比は，右図で高さBPとPAの比に等しい．ここで△PBQと△PARは相似図形だから，BP : PA=2 : 3のとき，QB : AR=2 : 3になればよい．
いま，QB=1なのだから
$1:AR=2:3$
$AR=\frac{3}{2}$
したがって，Rのx座標は $\frac{3}{2}$ ，y座標は $2\times(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{2}$
$Q(-1,2),R(\frac{3}{2},\frac{9}{2})$ を通る直線の方程式を
y=ax+b
とおいて，a, bを求めたらよい．
$2=-a+ b$ …(i)
$\frac{9}{2}=\frac{3}{2}a+ b$ …(ii)
(ii)×2
9=3a+2b…(iii)
(i)×2
4=−2a+2b…(iv)
(iii)−(iv)
5a=5
これより，a=1, b=3
y=x+3…（答）

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【問題７】
　右の図のように，関数y=ax2のグラフ上にx座標が−4, 2である２点A, Bがある。
　次の(1),(2)の問いに答さない。
(1)　点Aのy座標をaを使って表しなさい。
(2)　直線ABが直線y=−xに平行であるとき，次の①～③の問いに答えなさい。

①　aの値を求めなさい。
②　△AOBの面積を求めなさい。
③　点Bを通る直線lと線分AOとの交点をCとする。△ACBの面積が3になるとき，直線lの式を求めなさい。

（大分県2000年入試問題）

(1)　16a…（答）

(2)　① $a=\frac{1}{2}$ 　②12…（答）

③（次の選択肢のうちで正しいものをクリック．暗算ではできません．）

解説やり直す

$y=-\frac{1}{2}x+ 1$ $y=-\frac{2}{3}x+ \frac{10}{3}$

$y=-\frac{3}{4}x+ \frac{5}{2}$ $y=-\frac{4}{5}x+ \frac{18}{5}$

この問題で，△ACBの面積をBCを通る直線の式を使って表すのは大変です．
むしろ，算数で解ける部分は，なるべく簡単に算数で解くと，計算間違いが少なくなります．
(2)②で△AOBの面積が12と求まっていて，△ACBの面積が3になるのだから，面積が４分の１になればよいということです．

　右図のように△ACBと△AOBの面積を，底辺をABとして計算するとき，それぞれの高さはDCとBOになるから， △ACBの面積が△AOBの面積の４分の１になるには，DCがBOの４分の１になればよい．
　ここで△ACDと△AOBは相似図形だから，DC : BO=1 : 4のとき，AC : AO=1 : 4になる．
　したがって，Cのx座標は−3
　CはAO : y=−2x上の点だから，y座標は6
　結局，C(−3, 6), B(2, 2)を通る直線の方程式を求めたらよい．

求める直線の方程式をy=mx+nとおく
C(−3, 6)を通るから 6=−3m+n…(i)
B(2, 2)を通るから 2=2m+n…(ii)
(i)(ii)の連立方程式を解いてm, nを求めると
$m=-\frac{4}{5},\hspace{5}n=\frac{18}{5}$

$y=-\frac{4}{5}x+\frac{18}{5}$ …（答）

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【円錐の体積の公式】
　右図のような，底面の半径がrで高さがhである円錐について
底面積をS，体積をVとおくと
$V=\frac{1}{3}Sh$ …(1)
底面は円で，底面積はπr2になるから
$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$ …(2)

※この公式は高校数学の積分を使えば証明できます．
小中学生では，よく出てくる形だということで，高校で習うものを「先取り」して「覚えて使う」ようにします．

【例題２】
　右のⅠ図のように，関数y=3x2のグラフがある。このグラフ上に点Aからx軸，y軸にひいた垂線と，座標軸との交点をそれぞれB, Cとする。点Aのx座標が2であるとき，次の問い(1)・(2)に答えよ。

(1)　△OACをy軸を軸として１回転させてできる立体の体積を求めよ。
(2)　略

（京都府1999年入試問題）

（解答）
(1)　右図のような円錐（上端が底面）になる．
　Aのx座標が2だから，y座標は3×22=12
　底面の半径はAC=2
　円錐の高さはCO=12
　円錐の体積は
$V=\frac{1}{3}\pi 2^2\times 12=16\pi$ …（答）

【問題８】
　右の図で放物線(1)はy=2x2，直線(2)はy=ax+b（a>0, b>0），直線(3)はy=bのグラフであり，点Pは(2)と(3)の交点，点Q, Rは(1)と(2)の交点，点S, Tは(1)と(3)の交点である。
　次の(1)～(2)に答えなさい。
(1)(3)略
(2)　b=4のとき，△OTPをy軸を軸として，１回転してできる立体の体積を求めなさい。ただし，座標軸の単位の長さを1cmとする。

（青森県1999年入試問題）

(2)　次の選択肢のうちで正しいものをクリック．暗算ではできません．）

解説やり直す

$\frac{1}{3}\pi(cm^3)$ $\frac{2}{3}\pi(cm^3)$ $\frac{4}{3}\pi(cm^3)$ $\frac{8}{3}\pi(cm^3)$

P, Tのy座標が4だから，x座標は
4=2x2
より
$x=\sqrt{2}$
半径PTが $\sqrt{2}$ ，高さPOが4の円錐の体積は
$\frac{1}{3}\pi\times(\sqrt{2})^2\times 4=\frac{8}{3}\pi$ (cm³)…（答）

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【問題９】
　右の図のように，関数y=ax2（aは定数）のグラフ上に２点A, Bがあり，Aの座標は(−2, −2)である。また，点Oは原点，点Pは直線ABとy軸との交点であり，AP:PB=1:2である。このとき，次の各問いに答えなさい。
(1)　aの値を求めよ。
(2)　直線ABの式を求めよ。
(3)　３点O, A, Pを頂点とする三角形がx軸を軸として１回転してできる立体の体積を求めよ。ただし，円周率はπとする。

（熊本県2000年入試問題）

(1)　 $a=-\frac{1}{2}$
(2)　y=−x−4

(3)　次の選択肢のうちで正しいものをクリック．暗算ではできません．）

解説やり直す

$8\pi$ $16\pi$ $32\pi$ $64\pi$

求める立体Vは，次の円錐V1から, V2, V3を取り除くと得られる．

$V=\frac{1}{3}\pi\times 4^2\times 4-(\frac{1}{3}\pi\times 2^2\times 2+\frac{1}{3}\pi\times 2^2\times 2)$
$=\frac{64}{3}\pi-(\frac{8}{3}\pi+\frac{8}{3}\pi)=\frac{48}{3}\pi=16\pi$ …（答）

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