== 放物線と三角形の面積 ==


【例題1】
 放物線y=x2と直線y=x+2の交点をA, Bとするとき,△AOBの面積を求めてください
(解答)
 はじめに,連立方程式
y=x2 …(1)
y=x+2 …(2)
を解いて,2交点A, Bの座標を求めます.
(1)を(2)に代入すると
x2=x+2
x2−x−2=0
(x−2)(x+1)=0
x=2, −1
A(−1, 1), B(2, 4)
 次に,直線y=x+2 …(2)
y軸との交点(切片)をPとしてPの座標を求めると,P(0, 2)

 右図のように△AOBy軸で2つに分けて,△AOP△BOPとする.

 各々の三角形の底辺をOP=2と考えると高さはA, Bx座標(の絶対値=符号を正にしたもの)だから,
△AOPの高さは1
△BOPの高さは2
三角形の面積は(底辺)×(高さ)÷2で求められるから
△AOPの面積は
.2×12nnnn=1
△BOPの面積は
.2×22nnnn=2
よって
△AOBの面積は3…(答)
【要点】
 三角形をy軸で2つに分けると
  • 切片の長さが底辺になる
  • A, Bx座標(の符号を正にしたもの)が高さになる
※なお,この方法がただ1つの正しい方法だということではない.解き方は幾つもあるが,この方法なら簡単に解けるということである

【問題1】正しい選択肢をクリックしてください
 放物線y=x2と直線y=−x+6の交点A(−3, 9), B(2, 4)と原点O(0, 0)とでできる△AOBの面積を求めてください.


【問題2】
 放物線y=x2と直線y=2x+3の2交点A, Bと原点O(0, 0)とでできる△AOBの面積を求めてください.


3 4 6 8 9 12

【例題2】
 放物線y=x2と直線y=x+6の交点をA, Bとし,放物線y=x2上の1点をP(1, 1)とするとき,△APBの面積を求めてください
(解答)
連立方程式
y=x2 …(1)
y=x+6 …(2)
を解いて,2交点A, Bの座標を求める.
(1)を(2)に代入すると
x2=x+6
x2−x−6=0
(x−3)(x+2)=0
x=3, −2
A(−2, 4), B(3, 9)
 次に,P(1, 1)からy軸に平行な直線をひき,ABとの交点をQとすると
x=1 …(3)
y=x+6 …(4)
より,Q(1, 7)


△APB△APQ△BPQに分けると
PQ=7−1=6
PQを底辺とすると,△APQの高さは
1−(−2)=3
△BPQの高さは
3−1=2
△APQ, △BPQの面積は各々
.6×32nnnn=9.6×22nnnn=6
だから,△APBの面積は9+6=15…(答)
【問題3】
  放物線y=x2と直線y=2x+3の交点をA, Bとし,放物線y=x2上の1点をP(2, 4)とするとき,△APBの面積を求めてください.


3 4 6 8 9 12
【問題4】
  放物線y=.12nx2と直線y=x+4の交点をA, Bとし,放物線y=.12nx2上の1点をP(−6, 18)とするとき,△APBの面積を求めてください.


【例題3】
 放物線y=x2と直線y=x+2の交点をA, Bとし,x軸上の1点をP(1, 0)とするとき,△APBの面積を求めてください
(解答)
連立方程式
y=x2 …(1)
y=x+2 …(2)
を解いて,2交点A, Bの座標を求める.
(1)を(2)に代入すると
x2=x+2
x2−x−2=0
(x−2)(x+1)=0
x=2, −1
A(−1, 1), B(2, 4)
 次に,P(1, 0)からy軸に平行な直線をひき,ABとの交点をQとすると
x=1 …(3)
y=x+2 …(4)
より,Q(1, 3)


△APB△APQ△BPQに分けると
PQ=3
PQを底辺とすると,△APQの高さは
1−(−1)=2
△BPQの高さは
2−1=1
△APQ, △BPQの面積は各々
.3×22nnnn.3×12nnnn
だから,△APBの面積は.62n+.32n=.92n…(答)

【問題5】
  放物線y=x2と直線y=−2x+3の交点をA, Bとし,x軸上の1点をP(−1, 0)とするとき,△APBの面積を求めてください.
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【問題6】
  放物線y=x2と直線y=x+2の交点をA, Bとし,x軸上の1点をP(3, 0)とするとき,△APBの面積を求めてください.

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