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現在地と前後の項目 *** 二次関数の基本 *** /間違い探し/対応表の完成/関数の用語/係数の決定/ *** 放物線のグラフ *** /点→関数（解説）/点→関数（問題）/関数→点1/関数→点2/関数形の決定（解説）/関数形の決定（問題1）/関数形の決定（問題1）/ *** 変化の割合 *** /変化の割合1/変化の割合2/変化の割合3/変化の割合とグラフ/変化の割合(入試問題)/変域(1)/変域(2)/ *** 面積 *** /放物線と直線→面積1/放物線と直線→面積2/放物線と直線→面積3/2次関数のグラフと直線/放物線と三角形の面積1/放物線と三角形の面積2/ *** まとめ *** /放物線と直線/ 【例題１】 放物線y=x2と直線y=x+2の交点をA, Bとするとき，△AOBの面積を求めてください はじめに，連立方程式 
y=x2 …(1)y=x+2 …(2) を解いて，２交点A, Bの座標を求めます．
(1)を(2)に代入すると
x2=x+2 x2−x−2=0 (x−2)(x+1)=0 x=2, −1 A(−1, 1), B(2, 4) 
次に，直線y=x+2 …(2)とy軸との交点（切片）をPとしてPの座標を求めると，P(0, 2) 右図のように△AOBをy軸で２つに分けて，△AOPと△BOPとする． 各々の三角形の底辺をOP=2と考えると高さはA, Bのx座標（の絶対値=符号を正にしたもの）だから， △AOPの高さは1 △BOPの高さは2 三角形の面積は（底辺）×（高さ）÷２で求められるから △AOPの面積は  2×12=1△BOPの面積は 2×22=2よって △AOBの面積は3…（答）
【要点】
三角形をy軸で２つに分けると
△AOBをABとy軸との交点P(0, 6)を使って，△AOPと△BOPに分ける．OPを底辺と考えると，各々の三角形の底辺の長さはOP=6 高さはA, Bのx座標（の符号を正にしたもの）だから，各々3と2になる． 面積は各々 6×32=96×22=6だから，△AOBの面積は15…（答） 
連立方程式
y=x2 …(1)y=2x+3 …(2) を解いて，２交点A, Bの座標を求める．
(1)を(2)に代入すると
△AOBをABとy軸との交点Pを使って，△AOPと△BOPに分ける．x2=2x+3 x2−2x−3=0 (x−3)(x+1)=0 x=3, −1 A(−1, 1), B(3, 9) OPの長さは直線y=2x+3の切片3に等しい． 高さはA, Bのx座標（の符号を正にしたもの）だから，各々1と3になる． 面積は各々 3×12，3×32だから，△AOBの面積は 3×12+3×32=6…（答）
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【例題２】 放物線y=x2と直線y=x+6の交点をA, Bとし，放物線y=x2上の１点をP(1, 1)とするとき，△APBの面積を求めてください 連立方程式
y=x2 …(1)y=x+6 …(2) を解いて，２交点A, Bの座標を求める．
(1)を(2)に代入すると
x2=x+6 x2−x−6=0 (x−3)(x+2)=0 x=3, −2 A(−2, 4), B(3, 9) 
次に，P(1, 1)からy軸に平行な直線をひき，ABとの交点をQとすると
x=1 …(3)y=x+6 …(4) より,Q(1, 7) △APBを△APQと△BPQに分けると
PQ=7−1=6
PQを底辺とすると，△APQの高さは
1−(−2)=3
△BPQの高さは
3−1=2
△APQ, △BPQの面積は各々6×32=9，6×22=6だから，△APBの面積は9+6=15…（答） 
連立方程式
y=x2 …(1)y=2x+3 …(2) を解いて，２交点A, Bの座標を求める．
(1)を(2)に代入すると
Pを通りy軸に平行な直線x=2と直線y=2x+3との交点をQとすると，Qの座標は次の連立方程式で求められる．x2=2x+3 x2−2x−3=0 (x−3)(x+1)=0 x=3, −1 A(−1, 1), B(3, 9)
x=2 …(3)y=2x+3 …(4) より，Q(2, 7) △APBを△APQと△BPQに分ける． PQの長さは7−4=3に等しい． △APQの高さは2−(−1)=3，△BPQの高さは3−2=1になる． 面積は各々 3×32，3×12だから，△APBの面積は 3×32+3×12=6…（答）
連立方程式
y=12x2 …(1)y=x+4 …(2) を解いて，２交点A, Bの座標を求める．
(1)を(2)に代入すると
12x2=x+4x2=2x+8 x2−2x−8=0 (x−4)(x+2)=0 x=4, −2 A(−2, 2), B(4, 8) 直線PBの方程式を求める．
y=ax+bとおくと
Qの座標は次の連立方程式で求められる．P(−6, 18)を通るから，18=−6a+b…(3) B(4, 8)を通るから，8=4a+b…(4) (3)(4)からa=−1, b=12 y=−x+12
x=−2 …(5)y=−x+12 …(6) より，Q(−2, 14) △APBを△APQと△ABQに分ける． AQの長さは14−2=12に等しい． △APQの高さは−2−(−6)=4，△ABQの高さは4−(−2)=6になる． 面積は各々 12×42=24，12×62=36だから，△APBの面積は24+36=60…（答） |
【例題３】 放物線y=x2と直線y=x+2の交点をA, Bとし，x軸上の１点をP(1, 0)とするとき，△APBの面積を求めてください 連立方程式
y=x2 …(1)y=x+2 …(2) を解いて，２交点A, Bの座標を求める．
(1)を(2)に代入すると
x2=x+2 x2−x−2=0 (x−2)(x+1)=0 x=2, −1 A(−1, 1), B(2, 4) 
次に，P(1, 0)からy軸に平行な直線をひき，ABとの交点をQとすると
x=1 …(3)y=x+2 …(4) より,Q(1, 3) △APBを△APQと△BPQに分けると
PQ=3
PQを底辺とすると，△APQの高さは
1−(−1)=2
△BPQの高さは
2−1=1
△APQ, △BPQの面積は各々3×22，3×12だから，△APBの面積は 62+32=92…（答）
連立方程式
y=x2 …(1)y=−2x+3 …(2) を解いて，２交点A, Bの座標を求める．
(1)を(2)に代入すると
Pを通りy軸に平行な直線x=−1と直線ABとの交点をQとする．x2=−2x+3 x2+2x−3=0 (x−1)(x+3)=0 x=1, −3 A(−3, 9), B(1, 1) Qの座標は次の連立方程式で求められる．
x=−1 …(5)y=−2x+3 …(6) より，Q(−1, 5) △APBを△APQと△BPQに分ける． PQの長さは5に等しい． △APQの高さは−1−(−3)=2，△BPQの高さは1−(−1)=2になる． 面積は各々 5×22=5，5×22=5だから，△APBの面積は5+5=10…（答）  ...メニューに戻る
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連立方程式
y=x2 …(1)y=x+2 …(2) を解いて，２交点A, Bの座標を求める．
(1)を(2)に代入すると
Pを通りy軸に平行な直線x=3と直線ABとの交点をQとする．x2=x+2 x2−x−2=0 (x−2)(x+1)=0 x=2, −1 A(−1, 1), B(2, 4) Qの座標は次の連立方程式で求められる．
x=3 …(5)y=x+2 …(6) より，Q(3, 5) △APBを△APQから△BPQを引いたものと考える． PQの長さは5に等しい． △APQの高さは3−(−1)=4，△BPQの高さは3−2=1になる． 面積は各々 5×42，5×12だから，△APBの面積は 202−52=152…（答）
（別解） 図の桃色で示したように，△APBを△BRPから△ARPを引いたものと考えても簡単にできる． Rのx座標はy=x+2にy=0を代入すれば得られ，R(−2, 0)． 底辺をRP=3−(−2)=5（オレンジ色）と考えると △ARPの高さ（緑）は1，△BRPの高さ（緑）は4になる． 面積は各々 5×42，5×12だから，△APBの面積は 202−52=152…（答）
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