放物線と三角形の面積

== 放物線と三角形の面積 ==

【例題１】
　放物線y=x2と直線y=x+2の交点をA, Bとするとき，△AOBの面積を求めてください

（解答）
　はじめに，連立方程式

y=x2 …(1)
y=x+2 …(2)
を解いて，２交点A, Bの座標を求めます．

(1)を(2)に代入すると
x2=x+2
x2−x−2=0
(x−2)(x+1)=0
x=2, −1
A(−1, 1), B(2, 4)

　次に，直線y=x+2 …(2)
とy軸との交点（切片）をPとしてPの座標を求めると，P(0, 2)

　右図のように△AOBをy軸で２つに分けて，△AOPと△BOPとする．

　各々の三角形の底辺をOP=2と考えると高さはA, Bのx座標（の絶対値=符号を正にしたもの）だから，
△AOPの高さは1
△BOPの高さは2
三角形の面積は（底辺）×（高さ）÷２で求められるから
△AOPの面積は
=1

△BOPの面積は
=2

よって
△AOBの面積は3…（答）

【要点】
　三角形をy軸で２つに分けると

切片の長さが底辺になる
A, Bのx座標（の符号を正にしたもの）が高さになる

※なお，この方法がただ１つの正しい方法だということではない．解き方は幾つもあるが，この方法なら簡単に解けるということである

【問題１】 …正しい選択肢をクリックしてください
　放物線y=x2と直線y=−x+6の交点A(−3, 9), B(2, 4)と原点O(0, 0)とでできる△AOBの面積を求めてください．
解説

9 12 15 20 25 30

△AOBをABとy軸との交点P(0, 6)を使って，△AOPと△BOPに分ける．
OPを底辺と考えると，各々の三角形の底辺の長さはOP=6
高さはA, Bのx座標（の符号を正にしたもの）だから，各々3と2になる．
面積は各々
=9

だから，△AOBの面積は15…（答）

【問題２】
　放物線y=x2と直線y=2x+3の２交点A, Bと原点O(0, 0)とでできる△AOBの面積を求めてください．
解説

3 4 6 8 9 12

　連立方程式

y=x2 …(1)
y=2x+3 …(2)
を解いて，２交点A, Bの座標を求める．

(1)を(2)に代入すると
x2=2x+3
x2−2x−3=0
(x−3)(x+1)=0
x=3, −1
A(−1, 1), B(3, 9)

　△AOBをABとy軸との交点Pを使って，△AOPと△BOPに分ける．
　OPの長さは直線y=2x+3の切片3に等しい．
　高さはA, Bのx座標（の符号を正にしたもの）だから，各々1と3になる．
面積は各々
，

だから，△AOBの面積は+=6…（答）

【例題２】
　放物線y=x2と直線y=x+6の交点をA, Bとし，放物線y=x2上の１点をP(1, 1)とするとき，△APBの面積を求めてください

（解答）
連立方程式

y=x2 …(1)
y=x+6 …(2)
を解いて，２交点A, Bの座標を求める．

(1)を(2)に代入すると
x2=x+6
x2−x−6=0
(x−3)(x+2)=0
x=3, −2
A(−2, 4), B(3, 9)

　次に，P(1, 1)からy軸に平行な直線をひき，ABとの交点をQとすると

x=1 …(3)
y=x+6 …(4)
より,Q(1, 7)

△APBを△APQと△BPQに分けると

PQ=7−1=6

PQを底辺とすると，△APQの高さは

1−(−2)=3

△BPQの高さは

3−1=2

△APQ, △BPQの面積は各々
=9，=6

だから，△APBの面積は9+6=15…（答）

【問題３】
　　放物線y=x2と直線y=2x+3の交点をA, Bとし，放物線y=x2上の１点をP(2, 4)とするとき，△APBの面積を求めてください．
解説

3 4 6 8 9 12

　連立方程式

y=x2 …(1)
y=2x+3 …(2)
を解いて，２交点A, Bの座標を求める．

(1)を(2)に代入すると
x2=2x+3
x2−2x−3=0
(x−3)(x+1)=0
x=3, −1
A(−1, 1), B(3, 9)

　Pを通りy軸に平行な直線x=2と直線y=2x+3との交点をQとすると，Qの座標は次の連立方程式で求められる．

x=2 …(3)
y=2x+3 …(4)
より，Q(2, 7)
△APBを△APQと△BPQに分ける．
　PQの長さは7−4=3に等しい．
　△APQの高さは2−(−1)=3，△BPQの高さは3−2=1になる．
面積は各々
，

だから，△APBの面積は+=6…（答）

【問題４】
　　放物線y=x2と直線y=x+4の交点をA, Bとし，放物線y=x2上の１点をP(−6, 18)とするとき，△APBの面積を求めてください．
解説

12 18 24 30 48 60

　連立方程式

y=x2 …(1)
y=x+4 …(2)
を解いて，２交点A, Bの座標を求める．

(1)を(2)に代入すると
x2=x+4
x2=2x+8
x2−2x−8=0
(x−4)(x+2)=0
x=4, −2
A(−2, 2), B(4, 8)

　Aを通りy軸に平行な直線x=−2と直線PBとの交点をQとする．
　直線PBの方程式を求める．

y=ax+bとおくと
P(−6, 18)を通るから，18=−6a+b…(3)
B(4, 8)を通るから，8=4a+b…(4)
(3)(4)からa=−1, b=12
y=−x+12

Qの座標は次の連立方程式で求められる．

x=−2 …(5)
y=−x+12 …(6)
より，Q(−2, 14)
△APBを△APQと△ABQに分ける．
　AQの長さは14−2=12に等しい．
　△APQの高さは−2−(−6)=4，△ABQの高さは4−(−2)=6になる．
面積は各々
=24，=36

だから，△APBの面積は24+36=60…（答）

【例題３】
　放物線y=x2と直線y=x+2の交点をA, Bとし，x軸上の１点をP(1, 0)とするとき，△APBの面積を求めてください

（解答）
連立方程式

y=x2 …(1)
y=x+2 …(2)
を解いて，２交点A, Bの座標を求める．

(1)を(2)に代入すると
x2=x+2
x2−x−2=0
(x−2)(x+1)=0
x=2, −1
A(−1, 1), B(2, 4)

　次に，P(1, 0)からy軸に平行な直線をひき，ABとの交点をQとすると

x=1 …(3)
y=x+2 …(4)
より,Q(1, 3)

△APBを△APQと△BPQに分けると

PQ=3

PQを底辺とすると，△APQの高さは

1−(−1)=2

△BPQの高さは

2−1=1

△APQ, △BPQの面積は各々
，

だから，△APBの面積は+=…（答）

【問題５】
　　放物線y=x2と直線y=−2x+3の交点をA, Bとし，x軸上の１点をP(−1, 0)とするとき，△APBの面積を求めてください．
解説

6 7 8 9 10 11

　連立方程式

y=x2 …(1)
y=−2x+3 …(2)
を解いて，２交点A, Bの座標を求める．

(1)を(2)に代入すると
x2=−2x+3
x2+2x−3=0
(x−1)(x+3)=0
x=1, −3
A(−3, 9), B(1, 1)

　Pを通りy軸に平行な直線x=−1と直線ABとの交点をQとする．
Qの座標は次の連立方程式で求められる．

x=−1 …(5)
y=−2x+3 …(6)
より，Q(−1, 5)
△APBを△APQと△BPQに分ける．
　PQの長さは5に等しい．
　△APQの高さは−1−(−3)=2，△BPQの高さは1−(−1)=2になる．
面積は各々
=5，=5

だから，△APBの面積は5+5=10…（答）

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【問題６】
　　放物線y=x2と直線y=x+2の交点をA, Bとし，x軸上の１点をP(3, 0)とするとき，△APBの面積を求めてください．
解説

　連立方程式

y=x2 …(1)
y=x+2 …(2)
を解いて，２交点A, Bの座標を求める．

(1)を(2)に代入すると
x2=x+2
x2−x−2=0
(x−2)(x+1)=0
x=2, −1
A(−1, 1), B(2, 4)

　Pを通りy軸に平行な直線x=3と直線ABとの交点をQとする．
Qの座標は次の連立方程式で求められる．

x=3 …(5)
y=x+2 …(6)
より，Q(3, 5)
△APBを△APQから△BPQを引いたものと考える．
　PQの長さは5に等しい．
　△APQの高さは3−(−1)=4，△BPQの高さは3−2=1になる．
面積は各々
，

だから，△APBの面積は−=…（答）
（別解）
　図の桃色で示したように，△APBを△BRPから△ARPを引いたものと考えても簡単にできる．
　Rのx座標はy=x+2にy=0を代入すれば得られ，R(−2, 0)．
　底辺をRP=3−(−2)=5（オレンジ色）と考えると
△ARPの高さ（緑）は1，△BRPの高さ（緑）は4になる．
面積は各々
，

だから，△APBの面積は−=…（答）