現在地と前後の項目 *** 二次関数の基本 *** /間違い探し/対応表の完成/関数の用語/係数の決定/ *** 放物線のグラフ *** /点→関数(解説)/点→関数(問題)/関数→点1/関数→点2/関数形の決定(解説)/関数形の決定(問題1)/関数形の決定(問題1)/ *** 変化の割合 *** /変化の割合1/変化の割合2/変化の割合3/変化の割合とグラフ/変化の割合(入試問題)/変域(1)/変域(2)/ *** 面積 *** /放物線と直線→面積1/放物線と直線→面積2/放物線と直線→面積3/2次関数のグラフと直線/放物線と三角形の面積1/放物線と三角形の面積2/ *** まとめ *** /放物線と直線/ 【例題1】 放物線y=x2と直線y=x+2の交点をA, Bとするとき,△AOBの面積を求めてください はじめに,連立方程式 ![]() y=x+2 …(2) を解いて,2交点A, Bの座標を求めます.
(1)を(2)に代入すると
x2=x+2 x2−x−2=0 (x−2)(x+1)=0 x=2, −1 A(−1, 1), B(2, 4) ![]() とy軸との交点(切片)をPとしてPの座標を求めると,P(0, 2) 右図のように△AOBをy軸で2つに分けて,△AOPと△BOPとする. 各々の三角形の底辺をOP=2と考えると高さはA, Bのx座標(の絶対値=符号を正にしたもの)だから, △AOPの高さは1 △BOPの高さは2 三角形の面積は(底辺)×(高さ)÷2で求められるから △AOPの面積は ![]() △BOPの面積は ![]() よって △AOBの面積は3…(答)
【要点】
三角形をy軸で2つに分けると
![]() OPを底辺と考えると,各々の三角形の底辺の長さはOP=6 高さはA, Bのx座標(の符号を正にしたもの)だから,各々3と2になる. 面積は各々 ![]() ![]() だから,△AOBの面積は15…(答) ![]() ![]() y=2x+3 …(2) を解いて,2交点A, Bの座標を求める.
(1)を(2)に代入すると
△AOBをABとy軸との交点Pを使って,△AOPと△BOPに分ける.x2=2x+3 x2−2x−3=0 (x−3)(x+1)=0 x=3, −1 A(−1, 1), B(3, 9) OPの長さは直線y=2x+3の切片3に等しい. 高さはA, Bのx座標(の符号を正にしたもの)だから,各々1と3になる. 面積は各々 ![]() ![]() だから,△AOBの面積は ![]() ![]() |
![]() 【例題2】 放物線y=x2と直線y=x+6の交点をA, Bとし,放物線y=x2上の1点をP(1, 1)とするとき,△APBの面積を求めてください 連立方程式 ![]() y=x+6 …(2) を解いて,2交点A, Bの座標を求める.
(1)を(2)に代入すると
x2=x+6 x2−x−6=0 (x−3)(x+2)=0 x=3, −2 A(−2, 4), B(3, 9) ![]() ![]() y=x+6 …(4) より,Q(1, 7) △APBを△APQと△BPQに分けると
PQ=7−1=6
PQを底辺とすると,△APQの高さは
1−(−2)=3
△BPQの高さは
3−1=2
△APQ, △BPQの面積は各々![]() ![]() だから,△APBの面積は9+6=15…(答) ![]() ![]() y=2x+3 …(2) を解いて,2交点A, Bの座標を求める.
(1)を(2)に代入すると
Pを通りy軸に平行な直線x=2と直線y=2x+3との交点をQとすると,Qの座標は次の連立方程式で求められる.x2=2x+3 x2−2x−3=0 (x−3)(x+1)=0 x=3, −1 A(−1, 1), B(3, 9) ![]() y=2x+3 …(4) より,Q(2, 7) △APBを△APQと△BPQに分ける. PQの長さは7−4=3に等しい. △APQの高さは2−(−1)=3,△BPQの高さは3−2=1になる. 面積は各々 ![]() ![]() だから,△APBの面積は ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() y=x+4 …(2) を解いて,2交点A, Bの座標を求める.
(1)を(2)に代入すると
![]() x2=2x+8 x2−2x−8=0 (x−4)(x+2)=0 x=4, −2 A(−2, 2), B(4, 8) 直線PBの方程式を求める.
y=ax+bとおくと
Qの座標は次の連立方程式で求められる.P(−6, 18)を通るから,18=−6a+b…(3) B(4, 8)を通るから,8=4a+b…(4) (3)(4)からa=−1, b=12 y=−x+12 ![]() y=−x+12 …(6) より,Q(−2, 14) △APBを△APQと△ABQに分ける. AQの長さは14−2=12に等しい. △APQの高さは−2−(−6)=4,△ABQの高さは4−(−2)=6になる. 面積は各々 ![]() ![]() だから,△APBの面積は24+36=60…(答) |
![]() 【例題3】 放物線y=x2と直線y=x+2の交点をA, Bとし,x軸上の1点をP(1, 0)とするとき,△APBの面積を求めてください 連立方程式 ![]() y=x+2 …(2) を解いて,2交点A, Bの座標を求める.
(1)を(2)に代入すると
x2=x+2 x2−x−2=0 (x−2)(x+1)=0 x=2, −1 A(−1, 1), B(2, 4) ![]() ![]() y=x+2 …(4) より,Q(1, 3) △APBを△APQと△BPQに分けると
PQ=3
PQを底辺とすると,△APQの高さは
1−(−1)=2
△BPQの高さは
2−1=1
△APQ, △BPQの面積は各々![]() ![]() だから,△APBの面積は ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() y=−2x+3 …(2) を解いて,2交点A, Bの座標を求める.
(1)を(2)に代入すると
Pを通りy軸に平行な直線x=−1と直線ABとの交点をQとする.x2=−2x+3 x2+2x−3=0 (x−1)(x+3)=0 x=1, −3 A(−3, 9), B(1, 1) Qの座標は次の連立方程式で求められる. ![]() y=−2x+3 …(6) より,Q(−1, 5) △APBを△APQと△BPQに分ける. PQの長さは5に等しい. △APQの高さは−1−(−3)=2,△BPQの高さは1−(−1)=2になる. 面積は各々 ![]() ![]() だから,△APBの面積は5+5=10…(答) ![]() |
![]() ![]() y=x+2 …(2) を解いて,2交点A, Bの座標を求める.
(1)を(2)に代入すると
Pを通りy軸に平行な直線x=3と直線ABとの交点をQとする.x2=x+2 x2−x−2=0 (x−2)(x+1)=0 x=2, −1 A(−1, 1), B(2, 4) Qの座標は次の連立方程式で求められる. ![]() y=x+2 …(6) より,Q(3, 5) △APBを△APQから△BPQを引いたものと考える. PQの長さは5に等しい. △APQの高さは3−(−1)=4,△BPQの高さは3−2=1になる. 面積は各々 ![]() ![]() だから,△APBの面積は ![]() ![]() ![]() (別解) 図の桃色で示したように,△APBを△BRPから△ARPを引いたものと考えても簡単にできる. Rのx座標はy=x+2にy=0を代入すれば得られ,R(−2, 0). 底辺をRP=3−(−2)=5(オレンジ色)と考えると △ARPの高さ(緑)は1,△BRPの高さ(緑)は4になる. 面積は各々 ![]() ![]() だから,△APBの面積は ![]() ![]() ![]() |
笆�縺薙�繧オ繧、繝亥�縺ョGoogle讀懃エ「笆� |