文字式の表し方

大きな区分

現在地と前後の項目

*** 文字と式 ***/文字を使った式/×や÷を省略した書き方/文字式.問題1/文字式.問題2/文字式.入試問題/*** 式の計算 ***/１次式の計算1/１次式の計算2/１次式の計算3/１次式の計算4/１次式の計算5（割り算）/*** 式の値 ***/式の値1/式の値2/式の値3/式の値4(試験問題)/*** 文章題 ***/文字を使った式(文章題1)/文字を使った式(文章題2)/2文字を使った式(文章題)/図形と文字/速さ,時間,距離1/速さ,時間,距離2/関係を表す式1/関係を表す式2/関係を表す式3[図形問題]/規則性を見つける/

== 文字式の表し方 ==

【要点】
文字を使った式を表すときは，次の約束で書きます．

1. 文字式では，かけ算×の結果（積）は×を省略して書く．

1)　足し算+の結果（和）や引き算−の結果（差）では，+や−を省略できない．
2)　２つ以上の文字の積は，原則としてアルファベットの順に書く

2. 文字と数の積では，数を文字の前に書く．

これには例外があります
1)　1a, 1xは，a, xと書く．
2)　−1a, −1xは，−a, −xと書く．
3)　0.1a, −0.01xのように，1を取り除いてしまうと変なものになってしまうものは，そのまま0.1a, −0.01xと書く．
4)　0a, 0xなどは，単に0と書く．どんな数でも0をかけたら0になるからです．

3. 同じ文字の積は，指数を使って書く．
4. 文字式では，割り算÷の結果は分数で表す．

(割られる数)÷(割る数)を分数に直すには，(割られる数)を分子に，(割る数)を分母にします．
例

3 \div 7 = \frac{3}{7}, a \div b = \frac{a}{b}

（解説と例）

1.1) 文字式では，かけ算×の結果（積）は×を省略して書く．

【例1.1】
［この約束に当てはまる例］

(1)

a \times b

は

a b

と書きます
(2)

3 \times x

は

3 x

と書きます

［この約束に当てはまらない例］

(3)

a + b

は

a b

とは書きません．足し算の記号

+

は省略できないので，

a + b

は

a + b

のままです．
(4)

x - y

は

x y

とは書きません．引き算の記号

-

は省略できないので，

x - y

は

x - y

のままです．
(5)

3 \times 5

は

35

とは書きません．数字のかけ算は，かけ算の規則に従って１つの数字に直したもの，この計算の場合は

15

を使います．
(＊) 「ややこしい話」
小学校で習う「帯分数」

1 \frac{2}{3}

などは，整数と分数の掛け算の省略

1 \times \frac{2}{3}

ではなくて，整数と分数の足し算の省略

1 + \frac{2}{3}

です

【※覚えておきたいもの】

（引用：学校図書,数研出版）

「4. 文字式では，割り算÷の結果は分数で表す」に関連するもの

（◎よい例　悪い例×）

（参考）

◎

\frac{x}{3}

　◎

\frac{1}{3} x

◎

\frac{a + b}{2}

　◎

\frac{1}{2} (a + b)

x \div 3

は

x \times \frac{1}{3}

と同じだから，

\frac{x}{3}

も

\frac{1}{3} x

も使える．

\frac{a + b}{2}

も同様

◎

\frac{3 x}{4}

　◎

\frac{3}{4} x

3 x \div 4

は

x \times \frac{3}{4}

と同じだから，

\frac{3 x}{4}

も

\frac{3}{4} x

も使える．

◎

\frac{5 a}{b}

5 \frac{a}{b}

◎

\frac{5}{3} a

1 \frac{2}{3} a

文字式では，「帯分数」「帯分数風の書き方」は使わない

【問題1.1】　次のうちで文字式の表し方として，適切なものを選んでください．
（選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます）

(1)

a + b = a b

a - b = a b

a \times b = a b

a \div b = a b

解説やり直す

文字式では，かけ算×の結果（積）は×を省略して書きますので，

a \times b = a b

になります…（答）

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(2)

x + y + z = x y z

x + y \times z = x y z

x \times y + z = x y z

x \times y \times z = x y z

解説やり直す

文字式で，+,−,×のうちで省略できるのは×だけです．

x \times y \times z = x y z

になります…（答）

→閉じる←

（解説と例）

1.2) ２つ以上の文字の積は，原則としてアルファベットの順に書く．

　「原則としてアルファベットの順に書く」とは，特別な事情がなければ，アルファベットの順(a, b, c, d, …, x, y, z)に書くということです．
　この約束を絶対に守らければ間違いになるというほどの強いルールではありませんが，文字はアルファベットの順に書いてある方が「見やすく」「間違いにくくなる」ので，このルールに従った方がよいということです．

【例1.2】

(1)

b \times a \times c

は

a b c

と書きます
(2)

y \times x

は

x y

と書きます

※特別な事情があって，アルファベットの順に書かない場合とは，例えば次のような場合です．
(1) サイクリックな順（輪のように回る順）に書くとき

a b + b c + c a

♦ ♪ ♫ ♥ ♬ ♣ ∃ ♠
（こぶた）→（たぬき）→（きつね）→（ねこ）
(2) 前後の文脈から，並べ替えない方が見やすいもの

m (a + b) = m a + m b

【問題1.2】　２つ以上の文字の積はアルファベットの順に書くとき，適切なものを選んでください．
（選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます）

(1)

b \times a \times c = b a c

c \times a \times b = c a b

z \times y \times x = x y z

y \times x \times z = y x z

解説やり直す

アルファベットの順ではa, b, c, d, …, x, y, zに並べます．

z \times y \times x = x y z

になります…（答）

→閉じる←

(2)

c \times a - b \times a = c a - a b

c \times b - c \times a = c b - c a

z \times y - y \times x = z y - y x

y \times x - y \times z = x y - y z

解説やり直す

アルファベットの順ではa, b, c, d, …, x, y, zに並べます．

y \times x - y \times z = x y - y z

になります…（答）

→閉じる←

（解説と例）

2. 文字と数の積では，数を文字の前に書く．

ただし，1×の1は省略します．
1)　1a, 1xは，a, xと書く．
2)　−1a, −1xは，−a, −xと書く．

【例2】

(1)

a \times 3

は

3 a

と書きます
(2)

x \times (- 5)

は

- 5 x

と書きます

≪ただし≫

(3)

1 \times a \times b

は

a b

と書きます
(4)

a \times (- 1) \times b

は

- a b

と書きます

≪危険な落とし穴≫

(5)0.1a, −0.01xは，そのまま0.1a, −0.01xと書きます
(6)0a, 0xは，どちらも単に0と書きます

【問題2】　次のうちで文字式の表し方として，適切なものを選んでください．
（選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます）

(1)

a \times 3 = a 3

a \times 5 = 5 a

x \times y \times (- 3) = x y - 3

y \times 5 \times x = y 5 x

解説やり直す

文字と数の積では，数を文字の前に書きます

a \times 3 = 3 a

a \times 5 = 5 a

←◎これが答

x \times y \times (- 3) = - 3 x y

y \times 5 \times x = 5 x y

になります …（答）
※

y \times x \times y \times (- 3) = x y - 3

という間違いを時々見かけますので気をつけましょう

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(2)

a \times 1 \times b = 1 a b

b \times c \times (- 1) = b c - 1

1 \times y \times x = y x

z \times (- 1) x = - x z

解説やり直す

文字と数の積では，数を文字の前に書きます
1×の１は省略します.−1×は単に−にします．

a \times 1 \times b = a b

b \times c \times (- 1) = - b c

1 \times y \times x = x y

←アルファベットの順

z \times (- 1) x = - x z

←◎これが答
になります …（答）

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(3)

x \times y \times 0.1 = 0. x y

b \times (- 0.01) \times a = - 0.0 a b

- 0.1 \times s \times t = - 0.1 s t

c d \times 0.01 = 0.0 c d

解説やり直す

文字式にかける数字の1は省略します.−1×は単に−にします．
しかし，小数の0.1や0.01の1は省略できません．

x \times y \times 0.1 = 0.1 x y

b \times (- 0.01) \times a = - 0.01 a b

- 0.1 \times s \times t = - 0.1 s t

←◎これが答

c d \times 0.01 = 0.01 c d

になります …（答）

→閉じる←

(4)

0 \times a \times b = a b

c \times 0 \times d = 0

1 - s \times t = - s t

x \times y \times 1 = 0 x y

解説やり直す

文字式にかける数字の1は省略します.−1×は単に−にします．
0a, 0xなどは，単に0と書きます．どんな数でも0をかけたら0になるからです．

0 \times a \times b = 0

c \times 0 \times d = 0

←◎これが答

1 - s \times t = 1 - s t

x \times y \times 1 = x y

になります …（答）

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（解説と例）

3. 同じ文字の積は，指数を使って書く．

指数（右肩に付ける数字）は「かけてある同じものの個数」を表します．

【例3】

(1)

a \times a

は

a^{2}

と書きます
(2)

x \times x \times x

は

x^{3}

と書きます
(3)

3 \times a \times a

は

3 a^{2}

と書きます
(4)

- 5 \times x \times x \times x

は

- 5 x^{3}

と書きます
(5)

2 \times a \times a \times 3 \times b

は

6 a^{2} b

と書きます
（数の部分はかけて１つの数にします）

【問題3】　次のうちで文字式の表し方として正しいものを選んでください．
（選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます）

(1)

x \times x \times x = 3 x

a \times (- a) \times (- b) \times b = - a^{2} b^{2}

x \times y \times (- x) = - x^{2} y

a \times b \times a = a^{3}

解説やり直す

指数は「かけてある同じものの個数」

x

が3個かけてある

x \times x \times x = x^{3}

a

が2個，

b

が2個，符号は(−)2個で+

a \times (- a) \times (- b) \times b = a^{2} b^{2}

x

が2個，

y

が1個，符号は(−)1個で−

x \times y \times (- x) = - x^{2} y

←◎これが答

a

が2個，

b

が1個

a \times b \times a = a^{2} b

になります …（答）

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(2)

b \times (- a) \times b \times a \times b = a^{2} b^{3}

(- b) \times b \times a \times (- b) \times b = - a b^{4}

(- b) \times (- a) \times (- a) \times b \times a = - a^{3} b^{2}

a \times (- a) \times (- a) \times (- b) \times (- a) = - a^{4} b

解説やり直す

指数は「かけてある同じものの個数」
符号は(−)を「奇数個かけたら−」「偶数個かけたら+」

a

が2個，

b

が3個，符号は(−)1個で−

b \times (- a) \times b \times a \times b = - a^{2} b^{3}

a

が1個，

b

が4個，符号は(−)2個で+

(- b) \times b \times a \times (- b) \times b = a b^{4}

a

が3個，

b

が2個，符号は(−)3個で−

(- b) \times (- a) \times (- a) \times b \times a = - a^{3} b^{2}

←◎これが答

a

が4個，

b

が1個，符号は(−)4個で+

a \times (- a) \times (- a) \times (- b) \times (- a) = a^{4} b

になります …（答）

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（解説と例）

4. 文字式では，割り算÷の結果は分数で表す．

(割られる数)÷(割る数)を分数に直すには，(割られる数)を分子に，(割る数)を分母にします．
例

3 \div 7 = \frac{3}{7}, a \div b = \frac{a}{b}

【例4】

(1)

x \div y

は

\frac{x}{y}

と書きます
(2)

3 \div x

は

\frac{3}{x}

と書きます

2つ以上のかけ算，割り算が組み合わされているとき，かっこがない限り１つの演算はその直後の数字，文字だけに働きます．

(3)

a \div b \times c

は

\frac{a c}{b}

になります

(4)

a \div b \div c

は

\frac{a}{b c}

になります

(5)

a \times b \div c

は

\frac{a b}{c}

になります

【問題4】　次のうちで正しい変形を選んでください．
（選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます）

(1)

x + y \div z = \frac{x + y}{z}

x \div y \times z = \frac{x}{y z}

x \div y \div z = \frac{x}{y z}

x - y \div z = \frac{x - y}{z}

解説やり直す

足し算よりも割り算を先に行うので

x + y \div z = x + \frac{y}{z}

÷は直後の

y

だけに働くので

x \div y \times z = \frac{x z}{y}

y

で割り，

z

でも割るので

x \div y \div z = \frac{x}{y z}

←◎これが答
引き算よりも割り算を先に行うので

x - y \div z = x - \frac{y}{z}

になります
…（答）

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(2)

a \times b \div 3 \times c = \frac{a b}{3 c}

a \div b \div 3 \times c = \frac{a}{3 b c}

a \times b \div 3 \div c = \frac{a b c}{3}

a \div b \times 3 \div c = \frac{3 a}{b c}

解説やり直す

÷は直後の

3

だけに働くので

a \times b \div 3 \times c = \frac{a b c}{3}

b

と

3

で割るので

a \div b \div 3 \times c = \frac{a c}{3 b}

3

と

c

で割るので

a \times b \div 3 \div c = \frac{a b}{3 c}

b

と

c

で割るので

a \div b \times 3 \div c = \frac{3 a}{b c}

←◎これが答
になります
…（答）

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*** まとめのチェックテスト ***
【問題5】　次の式を文字式の表し方にしたがって書くとき，正しいものを下の選択肢から選んでください．
（選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます）

(1)

a \times b - c \div d

a b - \frac{c}{d}

\frac{a b}{c d}

- \frac{a b c}{d}

a b d - c

解説やり直す

×を略して，÷を分数にします．引き算は省略できない

a \times b - c \div d = a b - \frac{c}{d}

…（答）

→閉じる←

(2)

a + b \div c - d

\frac{a + b}{c - d}

a + \frac{b}{c} - d

a + \frac{b}{c - d}

\frac{a + b}{c} - d

解説やり直す

÷を分数にします．足し算と引き算は省略できない

a + b \div c - d = a + \frac{b}{c} - d

…（答）

→閉じる←

(3)

a \times 1 \times a - b \times 1 + 0 \times c

1 a^{2} - 1 b + c

a^{2} - 1 b + c

a^{2} - b + c

a^{2} - b

解説やり直す

1 a^{2}

は

a^{2}

と書きます．

- 1 b

は

- b

と書きます．

0 c

は

0

ですが，

+ 0

は書きません．

a^{2} - b

…（答）

→閉じる←

(4)

a \times b \times (- 2) \times a \times (- a)

- 2 a^{3} b

2 a^{3} b

a b - 2 a^{2}

a b + 2 a^{2}

解説やり直す

- 2

は引き算ではありません．負の数のかけ算です．

- a

も引き算ではありません．負の数のかけ算です．

\times (- 2)

と

\times (- a)

で負の数を2個かけるので，符号は正になります．

a \times b \times (- 2) \times a \times (- a) = 2 a^{3} b

…（答）

→閉じる←

【ややこしい話】
　中学１年の段階では，文字式について，次の基本を確実に身に着けることが重要です．

かけ算×の結果（積）は×を省略して書く．
［例］

a \times b = a b

…(1)
割り算÷の結果（商）は分数で表す．
［例］

a \div b = \frac{a}{b}

…(2)

　これらの基本が十分身に着いていない場合は，以下の話を読むと混乱するかもしれませんが，十分身に着いたという自信があれば読んでください．
　どんな場合でも，

a \times b

の書いてある場所を

a b

に書き換えてもよいとか，

a \div b

と書いてある場所を

\frac{a}{b}

に書き換えてもとよいというのは言い過ぎなのです．　

　そもそも，かけ算

3 \times 5

や

a \times b

は２つの数

3

と

5

，

a

と

b

をかける計算で，「かける前には２つの数（

3

と

5

，

a

と

b

）があります」．
　これに対して，かけ算の結果（積）

15

や

a b

は１つの数です．
　そこで，

4 \div 3 \times 5

や

c \div a \times b

のように，他のかけ算や割り算と組み合わされた場合に

3 \times 5

や

a \times b

の計算を先に行う場合ばかりではないのです．
　これに対して，

4 \div 15

や

c \div a b

の場合，

15

や

a b

はすでに１つの数になっているので，離れることはありません．

4 \div 3 \times 5 = \frac{20}{3}, c \div a \times b = \frac{b c}{a}

4 \div 15 = \frac{4}{15}, c \div a b = \frac{c}{a b}

　こういうことが起こる原因を考えると，かけ算，割り算は，足し算，引き算よりも優先順位が高く，先に行うことになっていますが，かけ算と割り算は優先順位が同じなので，「2つ以上の演算が並んでいる場合は，前から順に処理する」ことになっているからです．だから，

a \times b

の前に

c

が，かけ算や割り算として入ると

c \times a \times b = (c \times a) \times b

c \div a \times b = (c \div a) \times b

の順に計算を行うのに対して，積

a b

という計算の結果として１つの数を表したものの前に

c

が，かけ算や割り算として入っても

c \times a b = a b c

c \div a b = \frac{c}{a b}

のように

a b

が離れることはありません．

　３つの数のかけ算，割り算で，結果が異なるのは，次の赤で示した場合です．かっこは先に計算することを表します．

c \times a \times b = (c \times a) \times b = a b c

c \times a b = a b c

だから

c \times a \times b = c \times a b

c \times a \div b = (c \times a) \div b = \frac{a c}{b}

c \times \frac{a}{b} = \frac{a c}{b}

だから

c \times a \div b = c \times \frac{a}{b}

c \div a \times b = (c \div a) \times b = \frac{b c}{a}

c \div a b = \frac{c}{a b}

だから

c \div a \times b

は

c \div a b

と違う

c \div a \div b = (c \div a) \div b = \frac{c}{a} \div b = \frac{c}{a b}

c \div \frac{a}{b} = c \times \frac{b}{a} = \frac{b c}{a}

だから

c \div a \div b

は

c \div \frac{a}{b}

と違う
【要約】前に割り算が来たら要注意

【問題6】　かっこ(　　)の中は先に計算すること，また

a b

や

\frac{a}{b}

は１つの数と見なすことに注意して，次の文字式と等しいものを下の選択肢のうちから選んでください．
（選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます）

(1)

3 x \div (y \div z)

3 x \div (y \times z)

3 x \times (y \div z)

3 x \div y \div z

3 x \div y \times z

解説やり直す

3 x \div (y \div z) = 3 x \div \frac{y}{z} = 3 x \times \frac{z}{y} = \frac{3 x z}{y}

3 x \div (y \times z) = 3 x \div y z = \frac{3 x}{y z}

3 x \times (y \div z) = 3 x \times \frac{y}{z} = \frac{3 x y}{z}

3 x \div y \div z = \frac{3 x}{y} \div z = \frac{3 x}{y z}

3 x \div y \times z = \frac{3 x}{y} \times z = \frac{3 x z}{y}

…（答）

→閉じる←

(2)

a \div b c \times d

\frac{a c}{b d}

\frac{a d}{b c}

\frac{a c d}{b}

\frac{a}{b c d}

解説やり直す

a \div b c \times d = \frac{a}{b c} \times d = \frac{a d}{b c}

…（答）

→閉じる←

(3)

3 \div x \times (y \div z)

\frac{3 y z}{x}

\frac{3}{x y z}

\frac{3 y}{x z}

\frac{3 z}{x y}

解説やり直す

3 \div x \times (y \div z) = \frac{3}{x} \times \frac{y}{z} = \frac{3 y}{x z}

…（答）

→閉じる←

(4)

3 a \times (- b) \div (- a^{2}) \times b^{2}

\frac{3}{a}

- \frac{3}{a}

\frac{3 b^{3}}{a}

- \frac{3 b^{3}}{a}

解説やり直す

3 a \times (- b) \div (- a^{2}) \times b^{2} = \frac{- 3 a b \times b^{2}}{- a^{2}} = \frac{3 b^{3}}{a}

…（答）

→閉じる←

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