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中学数学>> 中学１年 >>文字と式

【要点】
(1)　積${\displaystyle ab}$や商 ${\displaystyle \frac{a}{b}}$が「割り算の後にあるとき」に，元の掛け算 ${\displaystyle a\times b}$や割り算 ${\displaystyle a÷b}$に戻してはいけない．

${\displaystyle 3\times 4=12}$であるが
${\displaystyle 2÷3\times 4=\frac{2}{3}\times 4=\frac{8}{3}}$…(1.1)
${\displaystyle 2÷12=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}}$…(1.2)
このように(1.1)と(1.2)は違う．
(1.1)のように書くと，初めに${\displaystyle 2÷3}$を行い，その結果に ${\displaystyle 4}$を掛けるという意味になります．(*)
つまり，${\displaystyle 3}$は ${\displaystyle 4}$よりも先に ${\displaystyle 2}$との間で演算を行います．
次のようにかっこで囲むと，(1.1)の結果は(1.2)の結果と等しくなります．
${\displaystyle 2÷(3\times 4)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}}$…(1.1')
つまり，${\displaystyle 4}$として ${\displaystyle 3}$に逃げられないようにするには（人間関係を連想しそうな，何と通俗的な表現！），かっこで囲んでおけばよい．(**)

${\displaystyle a\times b=ab}$であるが
${\displaystyle c÷a\times b=\frac{c}{a}\times b=\frac{bc}{a}}$…(2.1)
${\displaystyle c÷ab=\frac{c}{ab}}$…(2.2)
このように(2.1)と(2.2)は違う．
(2.1)のように書くと，初めに${\displaystyle c÷a}$を行い，その結果に ${\displaystyle b}$を掛けるという意味になります．
つまり，${\displaystyle a}$は ${\displaystyle b}$よりも先に ${\displaystyle c}$との間で演算を行います．
次のようにかっこで囲むと，(2.1)の結果は(2.2)の結果と等しくなります．
${\displaystyle c÷(a\times b)=\frac{c}{a\times b}=\frac{c}{ab}}$…(2.1')
つまり，${\displaystyle b}$として ${\displaystyle a}$に逃げられないようにするには，かっこで囲んでおけばよい．

${\displaystyle x=a\times b}$のとき
${\displaystyle c÷x}$ は${\displaystyle c÷a\times b}$ にはならない…(3.1)
${\displaystyle c÷x}$は ${\displaystyle c÷ab=\frac{c}{ab}}$ になる…(3.2)
このように(3.1)と(3.2)は違う．
次のようにかっこで囲むと，(3.1)の結果は(3.2)の結果と等しくなる
${\displaystyle c÷x=c÷(a\times b)=\frac{c}{ab}}$ …(3.1')
(*)と(**)は同様

${\displaystyle 3÷4=\frac{3}{4}}$ であるが
${\displaystyle 2÷3÷4=\frac{2}{3}÷4=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}}$ …(4.1)
${\displaystyle 2÷\frac{3}{4}=2\times \frac{4}{3}=\frac{8}{3}}$ …(4.2)
このように(4.1)と(4.2)は違う．
次のようにかっこで囲むと，(4.1)の結果は(4.2)の結果と等しくなる
${\displaystyle 2÷(3÷4)=2÷\frac{3}{4}=2\times \frac{4}{3}=\frac{8}{3}}$ …(4.1')
(*)と(**)は同様

${\displaystyle a÷b=\frac{a}{b}}$ であるが
${\displaystyle c÷a÷b=\frac{c}{a}÷b=\frac{c}{ab}}$ …(5.1)
${\displaystyle c÷\frac{a}{b}=c\times \frac{b}{a}=\frac{bc}{a}}$ …(4.2)
このように(5.1)と(5.2)は違う．
次のようにかっこで囲むと，(5.1)の結果は(5.2)の結果と等しくなる
${\displaystyle c÷(a÷b)=c÷\frac{a}{b}=c\times \frac{b}{a}=\frac{bc}{a}}$ …(5.1')
(*)と(**)は同様

${\displaystyle x=a÷b}$のとき
${\displaystyle c÷x}$ は ${\displaystyle c÷a÷b}$ にはならない…(6.1)
${\displaystyle c÷x}$は ${\displaystyle c÷\frac{a}{b}=c\times \frac{b}{a}=\frac{bc}{a}}$ になる…(6.2)
このように(6.1)と(6.2)は違う．
次のようにかっこで囲むと，(6.1)の結果は(6.2)の結果と等しくなる
${\displaystyle c÷x=c÷(a÷b)=c÷\frac{a}{b}=c\times \frac{b}{a}=\frac{bc}{a}}$ …(6.1')
(*)と(**)は同様

(2)　和${\displaystyle a+b}$や差 ${\displaystyle a-b}$は，割り算だけでなく，掛け算，引き算の後にあるときでも，かっこを付けない限り意味が変わる．

※以下に引用する高校入試問題で，元の問題は記述式の問題ですが，ｗｅｂ画面上で入力問題にすると操作性が悪いので，選択問題に書き換えています．

(1)
${\displaystyle 8ab÷(-4b)}$

解説 やり直す

${\displaystyle 4a}$ ${\displaystyle -2a}$ ${\displaystyle -2ab}$ ${\displaystyle 4a{b}^2}$

${\displaystyle 8ab÷(-4b)=\frac{\stackrel{\boxed{{\displaystyle -2a}}}{\cancel{8a}}\cancel{b}}{\cancel{-4}\cancel{b}}=-2a}$…（答）
※約分した後に，残っているものを明示する方法を，各自で決めておくとよいでしょう．

(2)
${\displaystyle 15xy÷\frac{5}{8}y}$

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{3}{8}x}$ ${\displaystyle \frac{3}{8}x{y}^2}$ ${\displaystyle 24x}$ ${\displaystyle 24x{y}^2}$

${\displaystyle \frac{5}{8}y=\frac{5y}{8}}$を１つの数として，割り算をします．
${\displaystyle 15xy÷\frac{5}{8}y=15xy÷\frac{5y}{8}=\stackrel{\boxed{{\displaystyle 3x}}}{\cancel{15xy}}\times \frac{\boxed{{\displaystyle 8}}}{\cancel{5y}}=24x}$…（答）

(3)
${\displaystyle \frac{10}{3}{a}^3{b}^2÷\frac{5}{9}{a}^2{b}^2}$

解説 やり直す

${\displaystyle 6a}$ ${\displaystyle \frac{2}{3}a}$ ${\displaystyle 6a{b}^4}$ ${\displaystyle \frac{2}{3}{a}^5{b}^4}$

横に掛けてあることは，分子に掛けてあることと全く同じです．
${\displaystyle \frac{10}{3}{a}^3{b}^2=\frac{10a^3{b}^2}{3}}$
${\displaystyle \frac{5}{9}{a}^2{b}^2=\frac{5a^2{b}^2}{9}}$
（原式）＝ ${\displaystyle \frac{10a^3{b}^2}{3}÷\frac{5a^2{b}^2}{9}=\frac{\stackrel{\boxed{{\displaystyle 2a}}}{\cancel{10a^3{b}^2}}}{\cancel{3}}\times \frac{\stackrel{\boxed{{\displaystyle 3}}}{\cancel{9}}}{\cancel{5a^2{b}^2}}=6a}$ …（答）

(4)
${\displaystyle (-4ab{)}^2÷(-8a^{2}b)}$を計算しなさい。

解説 やり直す

${\displaystyle 2b}$ ${\displaystyle -2b}$ ${\displaystyle \frac{2b}{a}}$ ${\displaystyle -\frac{2b}{a}}$

初めの項の２乗を先に計算しておきます．
${\displaystyle (-4ab{)}^2=(-4{)}^2{a}^2{b}^2=16a^2{b}^2}$
（原式）＝${\displaystyle 16a^2{b}^2÷(-8a^{2}b)=\frac{\stackrel{\boxed{{\displaystyle -2b}}}{\cancel{16a^2{b}^2}}}{\cancel{-8a^{2}b}}}$
${\displaystyle =-2b}$ …（答）

※元の問題は記述式の問題ですが，ｗｅｂ画面上で入力問題にすると操作性が悪いので，選択問題に書き換えています．

(1)
${\displaystyle 2xy\times 3x^2÷\frac{12}{5}x{y}^2}$を計算しなさい。

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{2y}{5x^2}}$ ${\displaystyle \frac{2y^2}{5x}}$ ${\displaystyle \frac{5y^2}{2x}}$ ${\displaystyle \frac{5x^2}{2y}}$

${\displaystyle 2xy\times 3x^2÷\frac{12}{5}x{y}^2=\cancel{2}\cancel{x}\cancel{y}\times \cancel{3}\boxed{{\displaystyle x^2}}\times \frac{\boxed{{\displaystyle 5}}}{\underset{\boxed{{\displaystyle 2}}}{\cancel{12}}\cancel{x}\underset{\boxed{{\displaystyle y}}}{\cancel{y^2}}}}$
${\displaystyle =\frac{5x^2}{2y}}$…（答）

(2)
${\displaystyle 4a{b}^2\times (-\frac{3a}{2}{)}^2÷3a^{2}b}$を計算しなさい。

解説 やり直す

${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a{b}^2}$ ${\displaystyle 3ab}$ ${\displaystyle 3a{b}^2}$

初めに第２項の２乗を計算しておきます
${\displaystyle 4a{b}^2\times (-\frac{3a}{2}{)}^2÷3a^{2}b=4a{b}^2\times \frac{9a^2}{4}÷3a^{2}b}$
${\displaystyle =\cancel{4}\boxed{{\displaystyle a}}\stackrel{\boxed{{\displaystyle b}}}{\cancel{b^2}}\times \frac{\stackrel{\boxed{{\displaystyle 3}}}{\cancel{9a^2}}}{\cancel{4}}\times \frac{1}{\cancel{3a^2}\cancel{b}}=3ab}$ …（答）

(3)
${\displaystyle 4a{b}^2\times (-3a{)}^2÷2b^2}$

解説 やり直す

${\displaystyle -6a^2}$ ${\displaystyle 12a^2}$ ${\displaystyle 18a^3}$ ${\displaystyle 18a^3{b}^4}$

初めに第２項の２乗を計算しておきます
${\displaystyle 4a{b}^2\times (-3a{)}^2÷2b^2=4a{b}^2\times 9a^2÷2b^2}$
${\displaystyle =\stackrel{\boxed{{\displaystyle 2a}}}{\cancel{4a{b}^2}}\times \boxed{{\displaystyle 9a^2}}\times \frac{1}{\cancel{2b^2}}=18a^3}$ …（答）

(4)
${\displaystyle (-\frac{1}{3}a{b}^2{)}^2\times (-2a^{4}b)÷\frac{1}{6}(a^{2}b{)}^3}$を計算をしなさい。

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{4}{3}{b}^2}$ ${\displaystyle -\frac{4}{3}{b}^2}$ ${\displaystyle \frac{4}{3}{a}^3{b}^2}$ ${\displaystyle -\frac{4}{3}{a}^3{b}^2}$

初めに第１項と第３項の累乗を計算しておきます．
${\displaystyle (-\frac{1}{3}a{b}^2{)}^2\times (-2a^{4}b)÷\frac{1}{6}(a^{2}b{)}^3}$
${\displaystyle =\frac{a^2{b}^4}{9}\times (-2a^{4}b)÷\frac{a^6{b}^3}{6}}$
${\displaystyle =\frac{\cancel{a^2}\stackrel{\boxed{{\displaystyle b}}}{\cancel{b^4}}}{\underset{\boxed{{\displaystyle 3}}}{\cancel{9}}}\times (\boxed{{\displaystyle -2}}\cancel{a^4}\boxed{{\displaystyle b}})}$ ${\displaystyle \times \frac{\stackrel{\boxed{{\displaystyle 2}}}{\cancel{6}}}{\cancel{a^6}\cancel{b^3}}=-\frac{4}{3}{b}^2}$ …（答）

(1)
${\displaystyle (-2x{)}^2÷6x{y}^2\times 3y^2}$を計算しなさい。

解説 やり直す

${\displaystyle 2x}$ ${\displaystyle -x^2}$ ${\displaystyle 2x^3{y}^4}$ ${\displaystyle -x^3{y}^4}$

初めに第１項の２乗を計算しておきます．
${\displaystyle (-2x{)}^2÷6x{y}^2\times 3y^2=4x^2÷6x{y}^2\times 3y^2}$
${\displaystyle =\frac{\stackrel{\boxed{{\displaystyle 2}}}{\cancel{4}}\stackrel{\boxed{{\displaystyle x}}}{\cancel{x^2}}\times \cancel{3}\cancel{y^2}}{\cancel{6}\cancel{x}\cancel{y^2}}=2x}$ …（答）

(2)
${\displaystyle 9a^2÷3ab\times (-b)}$を計算しなさい。

解説 やり直す

${\displaystyle 3a}$ ${\displaystyle -3a}$ ${\displaystyle \frac{3a}{b^2}}$ ${\displaystyle -\frac{3a}{b^2}}$

${\displaystyle 3ab}$は割り算だから分母に持って行き， ${\displaystyle (-b)}$は掛け算として分子に持って行きます．
（原式）${\displaystyle =9a^2÷3ab\times (-b)=\frac{\stackrel{\boxed{{\displaystyle 3a}}}{\cancel{9a^2}}\times (\stackrel{\boxed{{\displaystyle -1}}}{\cancel{-b}})}{\cancel{3a}\cancel{b}}}$
${\displaystyle =-3a}$ …（答）

(3)
${\displaystyle (2ab{)}^2÷6a^{2}b\times 3a}$

解説 やり直す

${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 2ab}$ ${\displaystyle \frac{2b}{9a}}$ ${\displaystyle \frac{b}{9a^2}}$

初めに第1項の2乗を計算しておきます．
${\displaystyle (2ab{)}^2÷6a^{2}b\times 3a=4a^2{b}^2÷6a^{2}b\times 3a}$ ${\displaystyle =\frac{\stackrel{\boxed{{\displaystyle 2}}}{\cancel{4}}\cancel{a^2}\stackrel{\boxed{{\displaystyle b}}}{\cancel{b^2}}\times \cancel{3}\boxed{{\displaystyle a}}}{\cancel{6}\cancel{a^2}\cancel{b}}=2ab}$ …（答）

(4)
${\displaystyle 8a^{2}b÷(-3a)\times \frac{3}{4}ab}$

解説 やり直す

${\displaystyle -\frac{32}{9}}$ ${\displaystyle -\frac{32}{9}{a}^4}$ ${\displaystyle -2a^2{b}^2}$ ${\displaystyle -2a^4{b}^2}$

第3項の${\displaystyle ab}$を分子に入れて，分数にしておきます．
${\displaystyle 8a^{2}b÷(-3a)\times \frac{3ab}{4}=\frac{\stackrel{\boxed{{\displaystyle 2}}}{\cancel{8}}\boxed{{\displaystyle a^{2}b}}\times \cancel{3a}\boxed{{\displaystyle b}}}{\underset{\boxed{{\displaystyle -1}}}{\cancel{(-3a)}}\times \cancel{4}}}$
${\displaystyle =-2a^2{b}^2}$ …（答）