PC用は別頁
※高校数学Ⅱの「点と直線」について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください.  が現在地です.
◎内分点,外分点の図示
◎内分点,外分点の座標計算
◎内分点,外分点の座標
三角形の重心
2点間の距離の公式
点と直線の距離
三角形の形状問題
同(2)
1点と傾き→直線の方程式
2点→直線の方程式
2直線の平行条件
2直線の垂直条件
3点が1直線上にあるための条件
3直線が1点で交わるための条件
2直線の交点を通る直線の方程式

【平面上の内分点,外分点の座標】
 2点A(x1,y1),B(x2,y2)を結ぶ線分AB
(1) m : nに内分する点Pの座標は
P(nx1+mx2m+n,ny1+my2m+n)
 特に,中点(1:1に内分する点)Mの座標は
M(x1+x22,y1+y22)
(2) m : n (m≠n)に外分する点Qの座標は
Q(nx1+mx2mn,ny1+my2mn)
(解説)
 以下の解説は,多くの教科書に書かれているものとほぼ同じです.
(1)←
以下においては,x2>x1の場合の図をもとにして解説するが,結果はx2x1の場合も成り立つ.
中学2年生で習う平行線の性質,または中学校3年生で習う相似図形の性質を使うと,右図においてAP : BP=m : nのとき,
A'P' : B'P'=m : n
したがって
(xx1):(x2x)=m:n
n(xx1)=m(x2x)
nxnx1=mx2mx
mx+nx=nx1+mx2
(m+n)x=nx1+mx2
x=nx1+mx2m+n
 y座標についても同様に示すことができる.
 中点の公式はm=n=1とすると得られる.

(2)←
以下においては,x2>x1かつm>nの場合の図をもとにして解説するが,結果はx2x1m<nの場合も成り立つ.
中学2年生で習う平行線の性質,または中学校3年生で習う相似図形の性質を使うと,右図においてAQ : BQ=m : nのとき,
A'Q' : B'Q'=m : n
したがって
(xx1):(xx2)=m:n
n(xx1)=m(xx2)
nxnx1=mxmx2
nx1+mx2=mxnx
nx1+mx2=(mn)x
x=nx1+mx2mn
 y座標についても同様に示すことができる.
⇒このように,内分公式のnのところに−nを代入すると,外分公式になる

※よくある間違いに注意
 座標の値がx1,x2,y1,y2の4個,比率の値がm, nの2個,合計6個の値があるので,初心者ではこれらが「もつれて」間違ってしまう場合があります.次の3点に注意しましょう.
(1) x座標とy座標を「混ぜない」こと
(2) mとnは「クロスして掛ける」こと
(3) 外分公式では,「nだけを負にする」こと
(1) x座標とy座標を「混ぜない」こと
 x1x2xを作ること,y1y2yを作ること.
#1つの点のx座標とy座標を混ぜてしまう間違いが多い#
 〇:正しい計算
 ×:よくある間違い答案
 #自家受粉になっている#
【例1】
 2点A(1, 2), B(3, 4)を結ぶ線分AB5 : 6に内分する点の座標は
間違い ⇒ (6×1+5×25+6,6×3+5×45+6)
正しい ⇒ (6×1+5×35+6,6×2+5×45+6)
(2) mとnは「クロスして掛ける」こと
 図の見かけ上は,Aの座標x1に近い方の比率がmで,Bの座標x2に近い方の比率がnであるが,公式としては
x=nx1+mx2m+n
y=ny1+my2m+n
であるから,分母にあるm,nを分子に掛けるときは「クロスして掛ける」ことになります.
(見かけにダマされてはいけない「意地悪」「へそ曲げ」の公式となっています)
 証明は,上で行ったので,ここでは別の解釈を示してみます.
x=nm+nx1+mm+nx2
のように分けて見ると,2つの係数の和は1です.
nm+n+mm+n=1
 このとき,x2に掛けてある数字 mm+nx1に掛けてある数字 nm+nよりも大きければ, x2の影響を強く受け, x2に近い場所に来るはずです.
 例えば,m:n=9:1のとき,
x=0.1x1+0.9x2,(0.1+0.9=1)
になっています.このとき,x2 にはx1 の9倍の数字が掛けてあって(加重平均),非常にx2 に近い点になります.だから,Aからの距離の比mが大きいほどx2 に近付くという事情が,公式に反映されています.
⇒大きい数字が掛けてある方の点に近くなる
(3) 外分公式では,「nだけを負にする」こと
 外分公式
(nx1+mx2mn,ny1+my2mn)…(*1)
のx座標,y座標のいずれも分母と分子の両方に−1を掛けても,分数には1を掛けることになって,元の式と同じ値になるから
(nx1mx2m+n,ny1my2m+n)…(*2)
と書いてもよい.さらに,分母が負の数になってしまうと,計算間違いしやすくなるので,これを防ぐために「mとnの符号は大きい方を正に,小さい方を負にする」…(*3)と教える先生もいます.
 (*1)(*2)(*3)とも正しく,実際,筆者も「どれでもよい」と教えてきましたが,教育心理的にはそれは「できる生徒向けの説明」かもしれません.同値な式を一巡聞いておくのはよいことですが,まとめとしては1つの公式を確実に身に着ける方がよいでしょう.苦手な生徒向けとしては,正しいからと言って,何を言ってもよいとは限らず,揺れのある表現で言われると,判断で迷って,形が混ざってしまうミスを誘発しやすいので,
外分公式では,「nだけを負にする」
と決める方が間違いが少なくなると考えられます.
 特に,(*1)(*2)を並べて教えると,「外分では,m,nを負にすればいいんだな」と単純化して覚える生徒が見られ,
(nx1mx2mn,ny1my2mn)…(*4)
にしてしまうことがあります.実際には,(*4)の分母分子に−1を掛けると分かるように,次の内分公式と同じものになります.[(*1)(*2)(*3)は外分公式,(*4)は内分公式]
(nx1+mx2m+n,ny1+my2m+n)
⇒2つとも負にすると,元に戻ってしまう.

公式を確実に身に着けるための問題
【問題1】 次の各点の座標を求めてください.(選択肢の中から正しいものをクリック)
※暗算でやるのは無理ですから,別途計算用紙で計算してから答えてください.まぐれ当たりで合っても実力はつきません.
(1)
 2点A(3, 4),B(5, 6)を結ぶ線分ABを2:1に内分する点の座標

(2)
 2点A(3, 5),B(4, 6)を結ぶ線分ABを1:2に内分する点の座標

(3)
 2点A(3, −5),B(4, −6)を結ぶ線分ABを3:2に内分する点の座標

(4)
 2点A(−3, 5),B(−4, 6)を結ぶ線分ABを1:2に外分する点の座標

(5)
 2点A(3, −4), B(5, −6)を結ぶ線分ABを2:3に外分する点の座標

(6)
 2点A(−3, −4), B(−5, 6)を結ぶ線分ABを1:3に外分する点の座標

(7)
 2点A(−3, −5), B(5, 6)を結ぶ線分ABを2:5に内分する点の座標

(8)
 2点A(3, 4), B(−5, −6)を結ぶ線分ABを3:2に外分する点の座標

ゆっくり考える問題(教科書レベル)
【問題2】 (選択肢の中から正しいものをクリック)
(1)
 点A(−1, 2)に関して点B(3, −4)と対称な点Pの座標を求めてください.

[平行四辺形の2つの対角線は,互いに他を二等分することを使って,次の問題を解いてください]
(2)
 4点A, B, C, Dをこの順にたどると平行四辺形になるという.
 A(2, 2), B(−1, 1), C(0, 3)のとき,点Dの座標を求めてください.

(3) 少し難しいかも
△ABCの頂点A, B, Cについて,ABの中点をPPCの中点をQBC2 : 1に内分する点をRとすると,QARを何対何に内分しますか.

(4) 少し難しいかも
m>n>0とするとき,線分ABm : nに内分する点をPm : nに外分する点をQとおくと,点Bは線分PQを何対何に内分しますか.

...(携帯版)メニューに戻る

...メニューに戻る


鬮ォ�ィ�ス�ス�ス�ソ�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ鬮ヲ�ョ陷サ�サ�ス�ソ�ス�ス鬩幢ス「�ス�ァ�ス�ス�ス�オ鬩幢ス「�ス�ァ�ス�ス�ス�、鬩幢ス「隴乗��ス�コ�ス�・�ス�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ョGoogle鬮ォ�カ�つ€髫イ蟷「�ソ�ス�ス�ス�ス�エ�ス�ス�ス�「鬮ォ�ィ�ス�ス�ス�ソ�ス�ス

鬮ォ�ィ�ス�ス�ス�ス�ス�ウ鬩搾スオ�ス�コ鬮ヲ�ョ陷サ�サ�ス�ソ�ス�ス鬩幢ス「隴取得�ス�」�ス�ケ�ス�ス�ス�ス鬩幢ス「�ス�ァ�ス�ス�ス�ク鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ョ鬮ッ�キ髢ァ�イ�ス�」�ス�ッ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ュ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ォ鬮ォ�ー鬲�シ夲スス�ス�ス�サ鬩幢ス「�ス�ァ鬯ゥ�ォ�つ€髴取サゑスス�。
鬩搾スオ�ス�イ�ス�ス�ス�ス 鬩幢ス「�ス�ァ�ス�ス�ス�「鬩幢ス「隴趣ス「�ス�ス�ス�ウ鬩幢ス「�ス�ァ�ス�ス�ス�ア鬩幢ス「隴趣ス「�ス�ス�ス�シ鬩幢ス「隴惹シ夲スス�」�ス�ッ�ス縺、ツ€驕カ謫セ�ス�ス�ス�ス�ス�ソ�ス�ス�ス�。 鬩搾スオ�ス�イ�ス�ス�ス�ス
… 鬩搾スオ�ス�コ鬮ヲ�ョ陷サ�サ�ス�ソ�ス�ス鬩幢ス「�ス�ァ�ス�ス�ス�「鬩幢ス「隴趣ス「�ス�ス�ス�ウ鬩幢ス「�ス�ァ�ス�ス�ス�ア鬩幢ス「隴趣ス「�ス�ス�ス�シ鬩幢ス「隴主�讓滂ソス�ス�ス�ス鬮ォ�ー�ス�ィ髯キ�サ陷ソ螟懶スァ�ス蝙茨ソス�セ�ス�ス�ス�ケ鬮ッ諛茨スサ繧托スス�ソ�ス�ス�ス�ス�ス�ス鬮ッ�キ�ス�ソ驛「�ァ霑コ�ー�つ€�ス�ス�ス�ス驕カ莨∬アェ�ス�ク�ス�コ鬮エ蝓溷繭鬮ョ�キ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ヲ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ス髫ィ�ウ�ス�ス�ス�ク�ス�コ�ス�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ鬯ョ�ヲ�ス�ェ驕カ謫セ�ス�ェ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ス

鬮ォ�ィ�ス�ス�ス�ソ�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ鬮ヲ�ョ陷サ�サ�ス�ソ�ス�ス鬯ッ�ッ�ス�ス�ス�ス驕カ莨∬アェ�ス�ク�ス�コ�ス�ス�ス�、鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ス驕ッ�カ�ス�サ�ス�ス�ス�ス髴托スケ陞「�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ス髯懶スィ隰夲スオ�ス�ソ�ス�ス髫エ�エ�ス�ァ驍オ�コ隶呵カ」�ス�ク�ス�コ�ス�ス�ス�ス髯懶スィ隰夲スオ�ス�ソ�ス�ス鬩募●謌厄ソス�ソ�ス�」鬯ッ�ゥ隰悟・�スス�シ髮具スサ�ス�シ隶捺慣�ス�ク�ス�コ�ス�ス�ス�ョ鬮ォ�ー陷エ�ス�ス�ソ�ス�ス鬯ゥ蛹�スス�ュ�ス�ス�ス�ス髯溷供�ィ�ッ髣懶スス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ョ鬮」逧ョ蛻、邵コ蛛�スソ�ス�ス�ス鬮ォ�イ�ス�「髮倶シ�スウ�カ�ス�ヲ鬩搾スオ�ス�コ髯溷供�ィ�ッ隴鯉スコ鬩幢ス「�ス�ァ髯滓坩�ッ莨夲スス�ソ�ス�ス鬯ッ�ィ�ス�セ驕カ謫セ�ス�ス�ス�ス�ス�ソ�ス�ス�ス�。鬩搾スオ�ス�コ髯キ莨夲スス�ア驕ッ�カ�ス�サ鬩搾スオ�ス�コ髣包スウ陝ッ�ゥ陷サ�ウ鬩搾スオ�ス�コ鬮エ驛�スイ�サ�ス�シ隶厄スク�ス�ソ�ス�ス�ス�ス�ス�ス
鬮ォ�ィ�ス�ウ髯具スケ�ス�コ髫エ�ォ陞滓腸�ソ�ス�ス�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ョ鬮ッ貅キ遘�ソス�ス�ス�「鬩幢ス「�ス�ァ髯句ケ「�ス�オ�ス�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ヲ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ス�ス�ス驍�私�ス�ォ�ス�「髮倶シ�スウ�カ�ス�ヲ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ッ鬮ッ�キ髣鯉スィ�ス�ス�ス�ィ鬯ッ�ゥ陝キ�「�ス�ス�ス�ィ鬯ョ�ォ�ス�ア�ス�ス�ス�ュ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�セ鬩搾スオ�ス�コ髯晢スカ陷キ�ョ�つ€�ス�サ鬩幢ス「�ス�ァ驛「�ァ�ス�ス�ス�ス髢セ�・�ス�ク�ス�コ�ス�ス�ス�」鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ヲ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ス驕カ謫セ�ス�ェ鬩搾スオ�ス�コ髯キ�サ�ス�サ�ス�ス�ス�シ�ス�ス�ス�ス
鬮ォ�ィ�ス�ウ髯具スケ�ス�コ髫ィ貂可€鬮ォ�イ�ス�ス�ス�ス�ス�ウ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ョ鬮ッ�キ�つ€�ス�ス�ス�ス驍オ�イ隰夲スオ�ス�ソ�ス�ス髯溷供�ィ�ッ�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ョ鬮ッ諛カ�ソ�ス髯懈・「�カ�」�ス�ス�ス�。髯溷供�ィ�ッ�つ€�ス�イ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ゥ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ス驍オ�イ陜」�、�ス�ク�ス�コ驛「�ァ�ス�ス陞滂ス「鬩搾スオ�ス�コ髮具ソス�シ莨夲スス�ー鬩幢ス「�ス�ァ髯キ�サ髣鯉スィ�ス�ス�ス�ュ�ス�ス�ス�」鬯ゥ蠅捺��ス�ス�ス�コ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ェ鬮ォ�エ�ス�ス�ス�ソ�ス�ス�ス�ス�ス�ォ�ス�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ァ鬮」雋サ�ス�ィ髫エ謫セ�ス�エ驕カ謫セ�ス�エ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ヲ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ス髫ィ�ウ�ス�ス�ス�ク�ス�コ�ス�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ス髫ィ�ウ�ス�ス�ス�ャ�ス�セ�ス�ス�ス�ケ鬮ッ諛茨スサ繧托スス�ソ�ス�ス�ス�ス�ス�ヲ驕カ謫セ�ス�オ髫ー豕瑚ェソ�ス�ク�ス�コ�ス�ス�ス�ォ鬮ッ譎「�ソ�ス�ス�ス�ス�セ鬩搾スオ�ス�コ髯キ莨夲スス�ア驕ッ�カ�ス�サ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ッ�ス�ス�ス�ス髫ー逍イ�コ�キ�ス�コ�ス�ス陞ッ蜻サ�ソ�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ェ鬯ッ�ョ�ス�ッ鬮」莨�スッ莨夲スス�ス鬯倅ソカ�ア讖ク�ソ�ス�ス�セ鬮ッ貊ゑスス�「髫イ蟶幢スイ�ゥ�ス�ス鬩幢ス「�ス�ァ髣包スオ隴趣ス「�ス�ス髢ァ�イ�ス�ク�ス�コ�ス�ス�ス�ス驕カ莨∬アェ�ス�ク�ス�コ髯キ莨夲スス�ア驕ッ�カ�ス�サ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ス驕カ謫セ�ス�ェ鬩搾スオ�ス�コ髯キ�サ�ス�サ�ス�ス�ス�シ鬮ョ諛カ�ス�」�ス�ス�ス�シ鬯ゥ蛹�スス�コ�ス縺、ツ€�ス�ス�ス�サ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ェ鬩搾スオ�ス�コ髯槭q�ソ�ス�ス�ス�ス�シ髫エ�エ�ス�ァ髯具スサ�ス�、鬮ォ�ー�ス�ヲ�ス�ス�ス�ス髯懆カ」�ス�ェ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ェ鬮ォ�エ�ス�ス�ス�ソ�ス�ス�ス�ス�ス�ォ�ス�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ォ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ェ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�」鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ヲ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ス�ス�ス驍�戟謐暦ソス�ス�ス�エ鬮ッ�キ�ス�キ髯具スケ�ス�サ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス髯溷供�ィ�ッ髣懶スス鬩幢ス「�ス�ァ髯滓坩�ッ莨夲スス�ス陞ウ螢スツ€�ヲ�ス�ス�ス�ャ鬯ッ�ョ�ス�「髣包スオ隴擾スカ�ス�ス鬩幢ス「�ス�ァ髣包スオ隴擾スカ�ス�ス鬯ゥ蛹�スス�イ�ス�ス�ス�ス�ス縺、ツ€�ス�ス�ス�ス髫ィ�ス�ス�。鬩搾スオ�ス�コ髣比シ夲スス�」驍オ�イ陜」�、�ス�ク�ス�コ�ス�ス�ス�ェ鬩搾スオ�ス�コ髯キ謇假スス�ー�ス�ス�ス�ェ�ス�ス�ス�ュ鬯ョ�「�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス郢ァ蜿・謫�ソス�ス�ス�ュ鬩幢ス「�ス�ァ�ス縺、ツ€鬩搾スオ�ス�コ鬮ヲ�ョ陷キ�ョ�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ォ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ェ鬩幢ス「�ス�ァ鬩怜遜�ス�ォ驕カ謫セ�ス�ェ鬩搾スオ�ス�コ髯キ�キ�ス�カ�ス�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ァ�ス�ス�ス�ス髫エ�エ�ス�ァ髮取腸�ス�サ鬯ィ�セ陋ケ�ス�ス�ス�ス�ィ鬩搾スオ�ス�コ髯キ莨夲スス�ア驕カ謫セ�ス�ェ鬩搾スオ�ス�コ髯晢スカ陷サ�サ�ス�ス鬮ョ�」�ス�ソ�ス�ス鬮ョ諛カ�ス�」�ス�ス�ス�シ�ス�ス�ス�ス


鬯ョ�ョ闔ィ螟イ�ス�ス�ス�ェ鬮ッ諛カ�ソ�ス髣包スウ陝ッ�ゥ�ス�ス鬮ッ譎「�ソ�ス�ス�ス�ス�セ鬩搾スオ�ス�コ髯キ�キ�ス�カ�ス�ス驍�戟邯憺垳謐コ諷」�ス�ス�ス�ュ髫エ竏オ閻ク�ス�ソ�ス�ス鬮」蛹�スス�ウ�ス�ス�ス�ュ鬮ッ譎「�ソ�ス�ス�ス�ス�ヲ鬮エ螟ァ�」�シ霑エ�セ�ス�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ鬮ヲ�ョ陷サ�サ�ス�ソ�ス�ス鬯ッ�ッ�ス�ス�ス�ソ�ス�ス�ス�ス�ス�ス鬩墓慣�ソ�ス�ス�ス�ス�ォ髣厄スォ�ス�カ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�。鬮エ螟ァ�」�シ霑エ�セ�ス�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ鬮ヲ�ョ陷サ�サ�ス�ソ�ス�ス鬯ッ�ッ�ス�ス�ス�ソ�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ォ鬩搾スオ�ス�コ驛「�ァ�ス�ス�ス�ス鬯倩イサ�ス�ク�ス�コ�ス�ス�ス�セ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ス