内分点，外分点の座標

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「点と直線」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓◎内分点,外分点の図示
↓◎内分点,外分点の座標計算
↓◎内分点,外分点の座標

↓三角形の重心

↓2点間の距離の公式
↓点と直線の距離

↓三角形の形状問題
↓同(2)

↓1点と傾き→直線の方程式
↓2点→直線の方程式

↓2直線の平行条件
↓2直線の垂直条件

↓3点が1直線上にあるための条件
↓3直線が1点で交わるための条件
2直線の交点を通る直線の方程式

【平面上の内分点，外分点の座標】
　２点

A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})

を結ぶ線分ABを
(1)　m : nに内分する点Pの座標は

P (\frac{n x_{1} + m x_{2}}{m + n}, \frac{n y_{1} + m y_{2}}{m + n})

　特に，中点(１：１に内分する点)Mの座標は

M (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})

(2)　m : n (m≠n)に外分する点Qの座標は

Q (\frac{- n x_{1} + m x_{2}}{m - n}, \frac{- n y_{1} + m y_{2}}{m - n})

（解説）

　以下の解説は，多くの教科書に書かれているものとほぼ同じです．

(1)←

以下においては，

x_{2} > x_{1}

の場合の図をもとにして解説するが，結果は

x_{2} ≦ x_{1}

の場合も成り立つ．

中学2年生で習う平行線の性質，または中学校3年生で習う相似図形の性質を使うと，右図においてAP : BP=m : nのとき,
A'P' : B'P'=m : n
したがって

(x - x_{1}) : (x_{2} - x) = m : n

n (x - x_{1}) = m (x_{2} - x)

n x - n x_{1} = m x_{2} - m x

m x + n x = n x_{1} + m x_{2}

(m + n) x = n x_{1} + m x_{2}

x = \frac{n x_{1} + m x_{2}}{m + n}

　y座標についても同様に示すことができる．
　中点の公式はm=n=1とすると得られる．

(2)←

以下においては，

x_{2} > x_{1}

かつ

m > n

の場合の図をもとにして解説するが，結果は

x_{2} ≦ x_{1}

や

m < n

の場合も成り立つ．

中学2年生で習う平行線の性質，または中学校3年生で習う相似図形の性質を使うと，右図においてAQ : BQ=m : nのとき,
A'Q' : B'Q'=m : n
したがって

(x - x_{1}) : (x - x_{2}) = m : n

n (x - x_{1}) = m (x - x_{2})

n x - n x_{1} = m x - m x_{2}

- n x_{1} + m x_{2} = m x - n x

- n x_{1} + m x_{2} = (m - n) x

x = \frac{- n x_{1} + m x_{2}}{m - n}

　y座標についても同様に示すことができる．
⇒このように，内分公式のｎのところに−ｎを代入すると，外分公式になる

※よくある間違いに注意

　座標の値が

x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}

の4個，比率の値がm, nの２個，合計6個の値があるので，初心者ではこれらが「もつれて」間違ってしまう場合があります．次の３点に注意しましょう．

(1)　ｘ座標とｙ座標を「混ぜない」こと
(2)　ｍとｎは「クロスして掛ける」こと
(3)　外分公式では，「ｎだけを負にする」こと

(1)　ｘ座標とｙ座標を「混ぜない」こと

x_{1}

と

x_{2}

でxを作ること，

y_{1}

と

y_{2}

でyを作ること．
#1つの点のx座標とy座標を混ぜてしまう間違いが多い#
　〇：正しい計算↓

　×：よくある間違い答案↓
　

＃自家受粉になっている＃

【例１】
　２点A(1, 2), B(3, 4)を結ぶ線分ABを5 : 6に内分する点の座標は

間違い ⇒

(\frac{6 \times 1 + 5 \times 2}{5 + 6}, \frac{6 \times 3 + 5 \times 4}{5 + 6})

正しい ⇒

(\frac{6 \times 1 + 5 \times 3}{5 + 6}, \frac{6 \times 2 + 5 \times 4}{5 + 6})

(2)　ｍとｎは「クロスして掛ける」こと

　図の見かけ上は，Aの座標

x_{1}

に近い方の比率がｍで，Bの座標

x_{2}

に近い方の比率がｎであるが，公式としては

x = \frac{n x_{1} + m x_{2}}{m + n}

y = \frac{n y_{1} + m y_{2}}{m + n}

であるから，分母にあるｍ，ｎを分子に掛けるときは「クロスして掛ける」ことになります．
（見かけにダマされてはいけない「意地悪」「へそ曲げ」の公式となっています）
　証明は，上で行ったので，ここでは別の解釈を示してみます．

x = \frac{n}{m + n} x_{1} + \frac{m}{m + n} x_{2}

のように分けて見ると，２つの係数の和は１です．

\frac{n}{m + n} + \frac{m}{m + n} = 1

　このとき，

x_{2}

に掛けてある数字

\frac{m}{m + n}

が

x_{1}

に掛けてある数字

\frac{n}{m + n}

よりも大きければ，

x_{2}

の影響を強く受け，

x_{2}

に近い場所に来るはずです．

　例えば，

m : n = 9 : 1

のとき，

x = 0.1 x_{1} + 0.9 x_{2}, (0.1 + 0.9 = 1)

になっています．このとき，

x_{2}

には

x_{1}

の9倍の数字が掛けてあって（加重平均），非常に

x_{2}

に近い点になります．だから，Ａからの距離の比ｍが大きいほど

x_{2}

に近付くという事情が，公式に反映されています．
⇒大きい数字が掛けてある方の点に近くなる

(3)　外分公式では，「ｎだけを負にする」こと

　外分公式

(\frac{- n x_{1} + m x_{2}}{m - n}, \frac{- n y_{1} + m y_{2}}{m - n})

…(*1)
のｘ座標，ｙ座標のいずれも分母と分子の両方に−1を掛けても，分数には１を掛けることになって，元の式と同じ値になるから

(\frac{n x_{1} - m x_{2}}{- m + n}, \frac{n y_{1} - m y_{2}}{- m + n})

…(*2)
と書いてもよい．さらに，分母が負の数になってしまうと，計算間違いしやすくなるので，これを防ぐために「ｍとｎの符号は大きい方を正に，小さい方を負にする」…(*3)と教える先生もいます.
　(*1)(*2)(*3)とも正しく，実際，筆者も「どれでもよい」と教えてきましたが，教育心理的にはそれは「できる生徒向けの説明」かもしれません．同値な式を一巡聞いておくのはよいことですが，まとめとしては１つの公式を確実に身に着ける方がよいでしょう．苦手な生徒向けとしては，正しいからと言って，何を言ってもよいとは限らず，揺れのある表現で言われると，判断で迷って，形が混ざってしまうミスを誘発しやすいので，
外分公式では，「ｎだけを負にする」
と決める方が間違いが少なくなると考えられます．
　特に，(*1)(*2)を並べて教えると，「外分では，ｍ，ｎを負にすればいいんだな」と単純化して覚える生徒が見られ，

(\frac{- n x_{1} - m x_{2}}{- m - n}, \frac{- n y_{1} - m y_{2}}{- m - n})

…(*4)
にしてしまうことがあります．実際には，(*4)の分母分子に−1を掛けると分かるように，次の内分公式と同じものになります．［(*1)(*2)(*3)は外分公式，(*4)は内分公式］

(\frac{n x_{1} + m x_{2}}{m + n}, \frac{n y_{1} + m y_{2}}{m + n})

⇒２つとも負にすると，元に戻ってしまう．

公式を確実に身に着けるための問題

【問題１】　次の各点の座標を求めてください．（選択肢の中から正しいものをクリック）

※暗算でやるのは無理ですから，別途計算用紙で計算してから答えてください．まぐれ当たりで合っても実力はつきません．

(1)
　2点A(3, 4),B(5, 6)を結ぶ線分ABを2：1に内分する点の座標

解説やり直す

(\frac{10}{3}, \frac{16}{3})

(\frac{11}{3}, \frac{14}{3})

(\frac{13}{3}, \frac{16}{3})

(\frac{19}{3}, \frac{17}{3})

(\frac{1 \times 3 + 2 \times 5}{2 + 1}, \frac{1 \times 4 + 2 \times 6}{2 + 1}) = (\frac{13}{3}, \frac{16}{3})

…（答）

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(2)
　2点A(3, 5),B(4, 6)を結ぶ線分ABを1:2に内分する点の座標

解説やり直す

(\frac{10}{3}, \frac{16}{3})

(\frac{11}{3}, \frac{14}{3})

(\frac{11}{3}, \frac{17}{3})

(\frac{13}{3}, \frac{16}{3})

(\frac{2 \times 3 + 1 \times 4}{1 + 2}, \frac{2 \times 5 + 1 \times 6}{1 + 2}) = (\frac{10}{3}, \frac{16}{3})

…（答）

→閉じる←

(3)
　2点A(3, −5),B(4, −6)を結ぶ線分ABを3:2に内分する点の座標

解説やり直す

(- \frac{1}{5}, 0)

(- \frac{9}{5}, - 2)

(\frac{17}{5}, - \frac{27}{5})

(\frac{18}{5}, - \frac{28}{5})

(\frac{2 \times 3 + 3 \times 4}{3 + 2}, \frac{2 \times (- 5) + 3 \times (- 6)}{3 + 2}) = (\frac{18}{5}, - \frac{28}{5})

…(答)

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(4)
　2点A(−3, 5),B(−4, 6)を結ぶ線分ABを1:2に外分する点の座標

解説やり直す

(- 5, 7)

(- \frac{10}{3}, \frac{16}{3})

(- 2, 4)

(1, 4)

(\frac{(- 2) \times (- 3) + 1 \times (- 4)}{1 - 2}, \frac{(- 2) \times 5 + 1 \times 6}{1 - 2}) = (- 2, 4)

…(答)

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(5)
　2点A(3, −4), B(5, −6)を結ぶ線分ABを2:3に外分する点の座標

解説やり直す

(−18, −28) (−1, 0) (9, −10) (17, 27)

(\frac{(- 3) \times 3 + 2 \times 5}{2 - 3}, \frac{(- 3) \times (- 4) + 2 \times (- 6)}{2 - 3}) = (- 1, 0)

…(答)

→閉じる←

(6)
　2点A(−3, −4), B(−5, 6)を結ぶ線分ABを1:3に外分する点の座標

解説やり直す

(- 6, 11)

(- \frac{7}{2}, - \frac{3}{2})

(- 2, - 9)

(- \frac{5}{2}, - \frac{21}{2})

(\frac{(- 3) \times (- 3) + 1 \times (- 5)}{1 - 3}, \frac{(- 3) \times (- 4) + 1 \times 6)}{1 - 3}) = (- 2, - 9)

…(答)

→閉じる←

(7)
　2点A(−3, −5), B(5, 6)を結ぶ線分ABを2:5に内分する点の座標

解説やり直す

(- \frac{5}{3}, \frac{13}{3})

(- \frac{5}{7}, - \frac{13}{7})

(- \frac{25}{3}, - \frac{37}{3})

(\frac{31}{3}, \frac{40}{3})

(\frac{5 \times (- 3) + 2 \times 5}{2 + 5}, \frac{5 \times (- 5) + 2 \times 6)}{2 + 5}) = (- \frac{5}{7}, - \frac{13}{7})

…(答)

→閉じる←

(8)
　2点A(3, 4), B(−5, −6)を結ぶ線分ABを3:2に外分する点の座標

解説やり直す

(−21, −26)

(- \frac{9}{5}, - 2)

(6, −8) (19, 24)

(\frac{(- 2) \times 3 + 3 \times (- 5)}{3 - 2}, \frac{(- 2) \times 4 + 3 \times (- 6))}{3 - 2}) = (- 21, - 26)

…(答)

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ゆっくり考える問題（教科書レベル）

【問題２】　（選択肢の中から正しいものをクリック）

(1)
　点A(−1, 2)に関して点B(3, −4)と対称な点Pの座標を求めてください．

解説やり直す

(−5, 8) (1, −1) (2, −2) (7, −10)

［未知数を(x, y)とおいて，方程式で解く方法］
　Ａに関してＢと対称な点がＰであるとは，右図の茶色で示したように，点Ａを対称の中心としてＢとＰが点対称であるということ．
　このためには，ＢＰの中点がＡになればよい．
P(x, y)とおくと

\frac{3 + x}{2} = - 1, \frac{- 4 + y}{2} = 2

を解くと

(x, y) = (- 5, 8)

…(答)

［未知数を使わずに，算数で解く方法］
　Ａに関してＢと対称な点がＰであるとは，右図の灰色で示したように，ＢＡを2：1に外分する点がＰであるということ

(\frac{(- 1) \times 3 + 2 \times (- 1)}{2 - 1}, \frac{(- 1) \times (- 4) + 2 \times 2}{2 - 1}) = (- 5, 8)

…(答)

→閉じる←

［平行四辺形の２つの対角線は，互いに他を二等分することを使って，次の問題を解いてください］
(2)
　４点A, B, C, Dをこの順にたどると平行四辺形になるという．
　A(2, 2), B(−1, 1), C(0, 3)のとき，点Dの座標を求めてください．

解説やり直す

(−3, 2) (1, 0) (3, 4) (4, 5)

ＡＣの中点とＢＤの中点が一致すればよい

D (x, y)

とおくと

\frac{2 + 0}{2} = \frac{x - 1}{2}

\frac{2 + 3}{2} = \frac{y + 1}{2}

より

D (3, 4)

…(答)

※もし，３点Ａ，Ｂ，Ｃの座標が与えられていて，「平行四辺形の第４の頂点を求めよ」という問題であれば，右図のように，回り方の順序が３通り考えられるので，(1)ＡＣの中点がＢＤの中点と一致する場合，(2)ＢＣの中点がＡＤの中点と一致する場合，(1)ＡＢの中点がＣＤの中点と一致する場合の３通りの答えを書かなければならない．

→閉じる←

(3) 少し難しいかも
△ABCの頂点A, B, Cについて，ABの中点をP，PCの中点をQ，BCを2 : 1に内分する点をRとすると，QはARを何対何に内分しますか．

解説やり直す

1 : 1 2 : 1 3 : 1 4 : 1

A (a_{1}, a_{2}), B (b_{1}, b_{2}), C (c_{1}, c_{2})

とおくと

P (\frac{a_{1} + b_{1}}{2}, \frac{a_{2} + b_{2}}{2})

R (\frac{b_{1} + 2 c_{1}}{3}, \frac{b_{2} + 2 c_{2}}{3})

Q (\frac{\frac{a_{1} + b_{1}}{2} + c_{1}}{2}, \frac{\frac{a_{2} + b_{2}}{2} + c_{2}}{2}) = (\frac{a_{1} + b_{1} + 2 c_{1}}{4}, \frac{a_{2} + b_{2} + 2 c_{2}}{4})

ここで，Qの座標をA, Rの座標を使って表すと，

Q (\frac{a_{1} + 3 \frac{b_{1} + 2 c_{1}}{3}}{4}, \frac{a_{2} + 3 \frac{b_{2} + 2 c_{2}}{3}}{4})

と書けるから
QはARを３：１に内分する…(答)

→閉じる←

(4) 少し難しいかも
m>n>0とするとき，線分ABをm : nに内分する点をP，m : nに外分する点をQとおくと，点Bは線分PQを何対何に内分しますか．

解説やり直す

1 : 1 (m−n) : n

(m−n) : (m+n) 2m : (m+n)

A (a_{1}, a_{2}), B (b_{1}, b_{2})

とおくと

P (\frac{n a_{1} + m b_{1}}{m + n}, \frac{n a_{2} + m b_{2}}{m + n}) = (p_{1}, p_{2})

Q (\frac{- n a_{1} + m b_{1}}{m - n}, \frac{- n a_{2} + m b_{2}}{m - n}) = (q_{1}, q_{2})

p_{1}, p_{2}, q_{1}, q_{2}

を既知数，

a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}

を未知数として，連立方程式を解く
ｘ成分は

n a_{1} + m b_{1} = (m + n) p_{1}

- n a_{1} + m b_{1} = (m - n) q_{1}

より

b_{1} = \frac{(m + n) p_{1} + (m - n) q_{1}}{2 m}

= \frac{(m + n) p_{1} + (m - n) q_{1}}{(m - n) + (m + n)}

ｙ成分も同様にして

b_{2} = \frac{(m + n) p_{2} + (m - n) q_{2}}{(m - n) + (m + n)}

以上により，BはPQを(m−n) : (m+n)に内分する…(答)

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