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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「点と直線」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓◎内分点,外分点の図示
↓◎内分点,外分点の座標計算
↓◎内分点,外分点の座標
↓三角形の重心
↓2点間の距離の公式
↓点と直線の距離
↓三角形の形状問題
↓同(2)
↓1点と傾き→直線の方程式
↓2点→直線の方程式
↓2直線の平行条件
↓2直線の垂直条件
↓3点が1直線上にあるための条件
↓3直線が1点で交わるための条件
2直線の交点を通る直線の方程式

【平面上の内分点，外分点の座標】
　２点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$を結ぶ線分ABを
(1)　m : nに内分する点Pの座標は
$P({\displaystyle \frac{n{x}_1+m{x}_2}{m+n}},{\displaystyle \frac{n{y}_1+m{y}_2}{m+n}})$
　特に，中点(１：１に内分する点)Mの座標は
$M({\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}},{\displaystyle \frac{y_1+y_2}{2}})$
(2)　m : n (m≠n)に外分する点Qの座標は
$Q({\displaystyle \frac{-n{x}_1+m{x}_2}{m-n}},{\displaystyle \frac{-n{y}_1+m{y}_2}{m-n}})$

　以下の解説は，多くの教科書に書かれているものとほぼ同じです．

以下においては，$x_2>x_1$の場合の図をもとにして解説するが，結果は$x_2\leqq x_1$の場合も成り立つ．

以下においては，$x_2>x_1$かつ$m>n$の場合の図をもとにして解説するが，結果は$x_2\leqq x_1$や$m<n$の場合も成り立つ．

　座標の値が$x_1,x_2,y_1,y_2$の4個，比率の値がm, nの２個，合計6個の値があるので，初心者ではこれらが「もつれて」間違ってしまう場合があります．次の３点に注意しましょう．

(1)　ｘ座標とｙ座標を「混ぜない」こと

【例１】
　２点A(1, 2), B(3, 4)を結ぶ線分ABを5 : 6に内分する点の座標は

(2)　ｍとｎは「クロスして掛ける」こと

　例えば，$m:n=9:1$のとき，
$x=0.1x_1+0.9x_2,(0.1+0.9=1)$
になっています．このとき，$x_2$ には$x_1$ の9倍の数字が掛けてあって（加重平均），非常に$x_2$ に近い点になります．だから，Ａからの距離の比ｍが大きいほど$x_2$ に近付くという事情が，公式に反映されています．
⇒大きい数字が掛けてある方の点に近くなる

(3)　外分公式では，「ｎだけを負にする」こと

公式を確実に身に着けるための問題

※暗算でやるのは無理ですから，別途計算用紙で計算してから答えてください．まぐれ当たりで合っても実力はつきません．

(1)
　2点A(3, 4),B(5, 6)を結ぶ線分ABを2：1に内分する点の座標

解説 やり直す

$({\displaystyle \frac{10}{3}},{\displaystyle \frac{16}{3}})$ $({\displaystyle \frac{11}{3}},{\displaystyle \frac{14}{3}})$ $({\displaystyle \frac{13}{3}},{\displaystyle \frac{16}{3}})$ $({\displaystyle \frac{19}{3}},{\displaystyle \frac{17}{3}})$

$({\displaystyle \frac{1\times 3+2\times 5}{2+1}},{\displaystyle \frac{1\times 4+2\times 6}{2+1}})=({\displaystyle \frac{13}{3}},{\displaystyle \frac{16}{3}})$ …（答）

(2)
　2点A(3, 5),B(4, 6)を結ぶ線分ABを1:2に内分する点の座標

解説 やり直す

$({\displaystyle \frac{10}{3}},{\displaystyle \frac{16}{3}})$ $({\displaystyle \frac{11}{3}},{\displaystyle \frac{14}{3}})$ $({\displaystyle \frac{11}{3}},{\displaystyle \frac{17}{3}})$ $({\displaystyle \frac{13}{3}},{\displaystyle \frac{16}{3}})$

$({\displaystyle \frac{2\times 3+1\times 4}{1+2}},{\displaystyle \frac{2\times 5+1\times 6}{1+2}})=({\displaystyle \frac{10}{3}},{\displaystyle \frac{16}{3}})$ …（答）

(3)
　2点A(3, −5),B(4, −6)を結ぶ線分ABを3:2に内分する点の座標

解説 やり直す

$(-{\displaystyle \frac{1}{5}},0)$ $(-{\displaystyle \frac{9}{5}},-2)$ $({\displaystyle \frac{17}{5}},-{\displaystyle \frac{27}{5}})$ $({\displaystyle \frac{18}{5}},-{\displaystyle \frac{28}{5}})$

$({\displaystyle \frac{2\times 3+3\times 4}{3+2}},{\displaystyle \frac{2\times (-5)+3\times (-6)}{3+2}})=({\displaystyle \frac{18}{5}},-{\displaystyle \frac{28}{5}})$…(答)

(4)
　2点A(−3, 5),B(−4, 6)を結ぶ線分ABを1:2に外分する点の座標

解説 やり直す

$(-5,7)$ $(-{\displaystyle \frac{10}{3}},{\displaystyle \frac{16}{3}})$ $(-2,4)$ $(1,4)$

$({\displaystyle \frac{(-2)\times (-3)+1\times (-4)}{1-2}},{\displaystyle \frac{(-2)\times 5+1\times 6}{1-2}})=(-2,4)$…(答)

(5)
　2点A(3, −4), B(5, −6)を結ぶ線分ABを2:3に外分する点の座標

解説 やり直す

(−18, −28) (−1, 0) (9, −10) (17, 27)

$({\displaystyle \frac{(-3)\times 3+2\times 5}{2-3}},{\displaystyle \frac{(-3)\times (-4)+2\times (-6)}{2-3}})=(-1,0)$…(答)

(6)
　2点A(−3, −4), B(−5, 6)を結ぶ線分ABを1:3に外分する点の座標

解説 やり直す

$(-6,11)$ $(-{\displaystyle \frac{7}{2}},-{\displaystyle \frac{3}{2}})$ $(-2,-9)$ $(-{\displaystyle \frac{5}{2}},-{\displaystyle \frac{21}{2}})$

$({\displaystyle \frac{(-3)\times (-3)+1\times (-5)}{1-3}},{\displaystyle \frac{(-3)\times (-4)+1\times 6)}{1-3}})=(-2,-9)$…(答)

(7)
　2点A(−3, −5), B(5, 6)を結ぶ線分ABを2:5に内分する点の座標

解説 やり直す

$(-{\displaystyle \frac{5}{3}},{\displaystyle \frac{13}{3}})$ $(-{\displaystyle \frac{5}{7}},-{\displaystyle \frac{13}{7}})$ $(-{\displaystyle \frac{25}{3}},-{\displaystyle \frac{37}{3}})$ $({\displaystyle \frac{31}{3}},{\displaystyle \frac{40}{3}})$

$({\displaystyle \frac{5\times (-3)+2\times 5}{2+5}},{\displaystyle \frac{5\times (-5)+2\times 6)}{2+5}})=(-{\displaystyle \frac{5}{7}},-{\displaystyle \frac{13}{7}})$ …(答)

(8)
　2点A(3, 4), B(−5, −6)を結ぶ線分ABを3:2に外分する点の座標

解説 やり直す

(−21, −26) $(-{\displaystyle \frac{9}{5}},-2)$ (6, −8) (19, 24)

$({\displaystyle \frac{(-2)\times 3+3\times (-5)}{3-2}},{\displaystyle \frac{(-2)\times 4+3\times (-6))}{3-2}})=(-21,-26)$ …(答)

ゆっくり考える問題（教科書レベル）

(1)
　点A(−1, 2)に関して点B(3, −4)と対称な点Pの座標を求めてください．

解説 やり直す

(−5, 8) (1, −1) (2, −2) (7, −10)

［未知数を(x, y)とおいて，方程式で解く方法］
　Ａに関してＢと対称な点がＰであるとは，右図の茶色で示したように，点Ａを対称の中心としてＢとＰが点対称であるということ．
　このためには，ＢＰの中点がＡになればよい．
P(x, y)とおくと
${\displaystyle \frac{3+x}{2}}=-1,{\displaystyle \frac{-4+y}{2}}=2$
を解くと
$(x,y)=(-5,8)$…(答)

［平行四辺形の２つの対角線は，互いに他を二等分することを使って，次の問題を解いてください］
(2)
　４点A, B, C, Dをこの順にたどると平行四辺形になるという．
　A(2, 2), B(−1, 1), C(0, 3)のとき，点Dの座標を求めてください．

解説 やり直す

(−3, 2) (1, 0) (3, 4) (4, 5)

ＡＣの中点とＢＤの中点が一致すればよい
$D(x,y)$とおくと
${\displaystyle \frac{2+0}{2}}={\displaystyle \frac{x-1}{2}}$
${\displaystyle \frac{2+3}{2}}={\displaystyle \frac{y+1}{2}}$
より
$D(3,4)$…(答)
※もし，３点Ａ，Ｂ，Ｃの座標が与えられていて，「平行四辺形の第４の頂点を求めよ」という問題であれば，右図のように，回り方の順序が３通り考えられるので，(1)ＡＣの中点がＢＤの中点と一致する場合，(2)ＢＣの中点がＡＤの中点と一致する場合，(1)ＡＢの中点がＣＤの中点と一致する場合の３通りの答えを書かなければならない．

(3) 少し難しいかも
△ABCの頂点A, B, Cについて，ABの中点をP，PCの中点をQ，BCを2 : 1に内分する点をRとすると，QはARを何対何に内分しますか．

解説 やり直す

1 : 1 2 : 1 3 : 1 4 : 1

$A(a_1,a_2),B(b_1,b_2),C(c_1,c_2)$とおくと
$P({\displaystyle \frac{a_1+b_1}{2}},{\displaystyle \frac{a_2+b_2}{2}})$
$R({\displaystyle \frac{b_1+2c_1}{3}},{\displaystyle \frac{b_2+2c_2}{3}})$
$Q({\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a_1+b_1}{2}}+c_1}{2}},{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a_2+b_2}{2}}+c_2}{2}})=({\displaystyle \frac{a_1+b_1+2c_1}{4}},{\displaystyle \frac{a_2+b_2+2c_2}{4}})$
ここで，Qの座標をA, Rの座標を使って表すと，
$Q({\displaystyle \frac{a_1+3{\displaystyle \frac{b_1+2c_1}{3}}}{4}},{\displaystyle \frac{a_2+3{\displaystyle \frac{b_2+2c_2}{3}}}{4}})$
と書けるから
QはARを３：１に内分する…(答)

(4) 少し難しいかも
m>n>0とするとき，線分ABをm : nに内分する点をP，m : nに外分する点をQとおくと，点Bは線分PQを何対何に内分しますか．

解説 やり直す

1 : 1 (m−n) : n (m−n) : (m+n) 2m : (m+n)

$A(a_1,a_2),B(b_1,b_2)$とおくと
$P({\displaystyle \frac{n{a}_1+m{b}_1}{m+n}},{\displaystyle \frac{n{a}_2+m{b}_2}{m+n}})=(p_1,p_2)$
$Q({\displaystyle \frac{-n{a}_1+m{b}_1}{m-n}},{\displaystyle \frac{-n{a}_2+m{b}_2}{m-n}})=(q_1,q_2)$
$p_1,p_2,q_1,q_2$を既知数，$a_1,a_2,b_1,b_2$を未知数として，連立方程式を解く
ｘ成分は
$n{a}_1+m{b}_1=(m+n)p_1$
$-n{a}_1+m{b}_1=(m-n)q_1$
より
$b_1={\displaystyle \frac{(m+n)p_1+(m-n)q_1}{2m}}$
$={\displaystyle \frac{(m+n)p_1+(m-n)q_1}{(m-n)+(m+n)}}$
ｙ成分も同様にして
$b_2={\displaystyle \frac{(m+n)p_2+(m-n)q_2}{(m-n)+(m+n)}}$
以上により，BはPQを(m−n) : (m+n)に内分する…(答)