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【点と直線の距離の公式】 　点$(x_0,y_0)$ と直線$ax+by+c=0$の距離は
${\displaystyle \frac{\mid a{x}_0+b{y}_0+c\mid }{\sqrt{a^2+b^2}}}$

　$ax+by+c=0$だから，分子は0だろうと考えると，それは違う！
　図を見れば分かるように，点$(x_0,y_0)$ は直線$ax+by+c=0$ 上にないから，方程式$a{x}_0+b{y}_0+c=0$を満たさない．
　この公式の分子に書いてあるのは，方程式でなく式です．正確に言えば「式の値」です．
　例えば，$x+y+1=0$ は，直線の方程式で，その直線上にある点$(1,-2)$ はこの直線の方程式を満たしますが，直線外の１点$(1,0)$ は，$1+0+1=2$ となって，直線の方程式を満たしません．それなら，この「式」$1+0+1$ の「値」2 は，何の役に立つのかと言うと，これが「求める距離」に関係のある数字になっています．ただ，そのままでは距離にはならないので，距離になるように尺度を調整する方法があるのです．

　試験の前の日に，公式の形をぼんやりと覚えただけの生徒がよくやる間違いは，分母に２つの数字があったということから，次のように２つの数字を当てはめる傾向です．
点$(3,4)$ と直線$2x+y+3=0$の距離は
${\displaystyle \frac{\mid 2\times 3+4+3\mid }{\sqrt{3^2+4^2}}}$ ←分母が間違い！
　公式をよく見ると，点の座標$(x_0,y_0)$ではなく，$a,b,c$ の３つある係数の内で，cの面目を丸つぶれにして，a, bの２つだけ使うようになっているのです．

　直線x+y−2=0上の点(2, 0)の座標をx+y−1に代入すると，2+0−1=1になります．これは，x+y−2=0 ⇒ x+y−1=1となることからも分かります．この事情は，直線x+y−2=0上の点(1, 1)や(0, 2)についても同様で，直線x+y−2=0上の点は，すべてx+y−1の式の値が1になります．

　直線x+y−3=0上の点(3, 0)の座標をx+y−1に代入すると，3+0−1=2になります．これは，x+y−3=0 ⇒ x+y−1=2となることからも分かります． この事情は，直線x+y−3=0上の点(2, 1)や(1, 2)についても同様で，直線x+y−3=0上の点は，すべてx+y−1の式の値が2になります．

　直線x+y=0上の点(0, 0)の座標をx+y−1に代入すると，0+0−1=−1になります．これは， x+y=0 ⇒ x+y−1=−1となることからも分かります．この事情は，直線x+y=0上の点(−1, 1)や(1, −1)についても同様で，直線x+y=0上の点は，すべてx+y−1の式の値が−1になります．

【例題1.1】
　点(1, 2)と直線3x+4y−5=0の距離を求めてください．

【例題1.2】
　点(2, 0)と直線y=2x+1の距離を求めてください．

【例題1.3】
　原点(0, 0)と直線4x−3y=25の距離を求めてください．

【例題1.4】
　点(4, −5)と直線x=−1の距離を求めてください．

(1)
　点(3, −4)と直線2x−y−5=0の距離を求めてください．

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{1}{5}}$ 1 $\sqrt{5}$ 5

${\displaystyle \frac{\mid 2\times 3-(-4)-5\mid }{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}}={\displaystyle \frac{5}{\sqrt{5}}}=\sqrt{5}$ …（答）

(2)
　原点(0, 0)と直線3x+4y=5の距離を求めてください．

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{1}{5}}$ 1 $\sqrt{5}$ 5

直線の方程式を3x+4y−5=0に直しておく.
${\displaystyle \frac{\mid 3\times 0+4\times 0-5\mid }{5}}={\displaystyle \frac{5}{5}}=1$ …（答）

(3)
　点$({\displaystyle \frac{1}{4}},-{\displaystyle \frac{1}{3}})$と直線${\displaystyle \frac{x}{3}}-{\displaystyle \frac{y}{4}}=1$の距離を求めてください．

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{1}{5}}$ 1 2 $\sqrt{5}$

直線の方程式を4x−3y−12=0に直しておく.
${\displaystyle \frac{\mid 4\times {\displaystyle \frac{1}{4}}+3\times {\displaystyle \frac{1}{3}}-12\mid }{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}}={\displaystyle \frac{10}{5}}=2$ …（答）

(4)
　点(1, 0)と直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+2$の距離を求めてください．

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{1}{5}}$ 1 $\sqrt{5}$ 5

直線の方程式をx−2y+4=0に直しておく.
${\displaystyle \frac{\mid 1-2\times 0+4\mid }{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}}={\displaystyle \frac{5}{\sqrt{5}}}=\sqrt{5}$ …（答）

【例題2.1】
　平行な２直線3x+4y+1=0と3x+4y+2=0の距離を求めてください．

一般に，平行な2直線ax+by+c=0とax+by+d=0の距離は
${\displaystyle \frac{\mid d-c\mid }{\sqrt{a^2+b^2}}}$…(*)
となることが証明できます．

(1)
　平行な２直線3x−4y−2=0と3x−4y+1=0の距離を求めてください．

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{1}{5}}$ ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ $\sqrt{5}$ 3

　直線3x−4y−2=0上の1点(2, 1)と
直線3x−4y+1=0の距離を求める．
${\displaystyle \frac{\mid 3\times 2-4\times 1+1\mid }{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$ …（答）

(2)
a, b≠0のとき，平行な２直線${\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{b}}=1$と${\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{b}}=0$の距離を求めてください．

解説 やり直す

$\mid a+b\mid$ $\mid {\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}\mid$ $\sqrt{a^2+b^2}$ ${\displaystyle \frac{\mid ab\mid }{\sqrt{a^2+b^2}}}$

直線の方程式をbx+ay−ab=0, bx+ay=0に直しておく.
　直線bx+ay−ab=0上の1点(a, 0)と
直線bx+ay=0の距離を求める．
${\displaystyle \frac{\mid ab\mid }{\sqrt{a^2+b^2}}}$ …（答）

(3)
　３点A(−1, 1), B(2, −2), C(3, 3)を頂点とする△ABCの面積を求めてください．

解説 やり直す

$3\sqrt{2}$ $2\sqrt{3}$ 9 18

○考え方：線分ABの長さLを求める．
　直線ABの方程式を求めてから，CとABの距離Hを求める．
　S=L×H÷2が面積
○答案
　線分ABの長さは$L=\sqrt{(2+1{)}^2+(-2-1{)}^2}$
$=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
　直線ABの方程式は
$y-1={\displaystyle \frac{-2-1}{2+1}}(x+1)$
x+y=0
　点Cから直線ABに引いた垂線の長さは
$H={\displaystyle \frac{\mid 3+3\mid }{\sqrt{1^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{6}{\sqrt{2}}}=3\sqrt{2}$
　面積は
$S={\displaystyle \frac{L\times H}{2}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}}{2}}=9$ …（答）
（別解1）BCの長さとAからBCまでの距離で求めてもよい．（組合せは自由）
（別解2）三角形の面積は$S={\displaystyle \frac{AB\times AC\sin A}{2}}$で求めてもよい．（$\sin A$は余弦定理を使って$\cos A$から求める）
（別解3）この程度の問題なら，外側の四角形の面積4×5から，不要な三角形3個の面積を引いても求められる（中学生で解ける）

(4)
　３点A(−1, 2), B(1, −3), C(2, 4)を頂点とする△ABCの面積を求めてください．

解説 やり直す

$5\sqrt{2}$ $\sqrt{19}$ $\sqrt{29}$ ${\displaystyle \frac{19}{2}}$

　線分ABの長さは$L=\sqrt{(1+1{)}^2+(-3-2{)}^2}=\sqrt{29}$
　直線ABの方程式は
$y-2={\displaystyle \frac{-3-2}{1+1}}(x+1)=-{\displaystyle \frac{5}{2}}(x+1)$
$5x+2y+1=0$
　点Cから直線ABに引いた垂線の長さは
$H={\displaystyle \frac{\mid 10+8+1\mid }{\sqrt{2^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{19}{\sqrt{29}}}$
　面積は
$S={\displaystyle \frac{L\times H}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{29}\times {\displaystyle \frac{19}{\sqrt{29}}}}{2}}={\displaystyle \frac{19}{2}}$ …（答）

【３次元空間における点と平面の距離】
　３次元空間における点(x0, y0, z0)と平面ax+by+cz+d=0の距離は
${\displaystyle \frac{\mid a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d\mid }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$

(1)
　３次元空間において，点(4, 1, 2)と平面2x−2y+z+4=0の距離（点から平面に引いた垂線の長さ）を求めてください．

解説 やり直す

1 2 3 4

${\displaystyle \frac{\mid 2\times 4-2\times 1+1\times 2+4\mid }{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{12}{3}}=4$ …（答）

(2)
　３次元空間において，原点(0, 0, 0)と平面2x−3y+6z+7=0の距離（原点から平面に引いた垂線の長さ）を求めてください．

解説 やり直す

1 2 3 4

${\displaystyle \frac{\mid 0-0+0+7\mid }{\sqrt{2^2+(-3{)}^2+6^2}}}={\displaystyle \frac{7}{7}}=1$ …（答）

　平行な2平面ax+by+cz+d=0とax+by+cz+e=0の距離は
${\displaystyle \frac{\mid e-d\mid }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$…(*)

(1)
　３次元空間において，平行な２つの平面$4x+2y-\sqrt{5}z-5=0$と$4x+2y-\sqrt{5}z+5=0$の距離を求めてください．

解説 やり直す

1 2 3 4

　平面$4x+2y-\sqrt{5}z-5=0$上の1点$(0,0,-\sqrt{5})$と平面$4x+2y-\sqrt{5}z+5=0$の距離を求めると
${\displaystyle \frac{\mid 0+0+5+5\mid }{\sqrt{4^2+2^2+(-\sqrt{5}{)}^2}}}={\displaystyle \frac{10}{5}}=2$ …（答）

(2)
　３次元空間において，平行な２つの平面$2x+\sqrt{3}y-3z+4=0$と$2x+\sqrt{3}y-3z-8=0$の距離を求めてください．

解説 やり直す

1 2 3 4

　平面$2x+\sqrt{3}y-3z+4=0$上の1点(−2, 0, 0)と平面$2x+\sqrt{3}y-3z-8=0$の距離を求めると
${\displaystyle \frac{\mid -4+0-0-8\mid }{\sqrt{2^2+(\sqrt{3}{)}^2+(-3{)}^2}}}={\displaystyle \frac{12}{4}}=3$ …（答）