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※高校数学Bの「空間ベクトル・空間図形」について，このサイトには次の教材があります．
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↓空間座標と空間ベクトル(1)
↓空間座標と空間ベクトル(2)
↓空間における直線の方程式
↓空間における平面の方程式
空間における平面と直線の方程式-現在地

== 空間における平面と直線 ==

○　三次元空間において１点P0(x0 , y0 , z0 )を通り，方向ベクトル→uw=(a, b, c)に平行な直線の方程式は
.x−x0annnn=.y−y0bnnnn=.z−z0cnnnn …(1)
○　三次元空間において１点P0(x0 , y0 , z0 )を通り，法線ベクトル→nw=(a, b, c)に垂直な平面の方程式は
a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0 …(2)

※（参考）　直線の方程式(1)は，２つの平面の方程式を連立方程式として書いたものとなっています．
.x−x0annnn=.y−y0bnnnn , .y−y0bnnnn=.z−z0cnnnn
⇔ b(x−x0)−a(y−y0)=0
c(y−y0)−b(z−z0)=0
空間における直線の方程式は，直線に平行な「方向ベクトル」をもとにして考えます
空間における平面の方程式は，平面に垂直な「法線ベクトル」をもとにして考えます

　以下，正しい番号を選択してください．
［問題１］
点(−1, 3, 2)を通り，直線.x3n=2−y=.z−32nnnに垂直な
平面の方程式を求めてください．

13x−y+2z−4=0 23x−y+2z−2=0

33x−y+2z+2=0 43x−y+2z+4=0




［問題２］
平面x+y+2z+1=0と直線x−2=.y−2nn=.z−13nnnの交点の座標を求めてください．

1(1, −2, 0) 2(1, 2, −2)

3(2, 0, 1) 4(3, −2, 4)




［問題３］
２平面
2x+y−3z+3=0…(1)
3x+y−2z=0…(2)
の交線の方程式を求めてください．

1.x−12nnn=.y−2−3nnn=z−3 2.x−12nnn=.y−1−3nnn=z−2
3.x−1−1nnn=.y−25nnn=z−3 4.x−1−1nnn=.y−15nnn=z−2




【上の図の例】
と は
⇒　同じ点(3 , −9 , 0)を通り，
方向ベクトルとが平行だから同じ直線
【上の図の例】
…(1)と …(2)は

⇒　方向ベクトルが共通で
(1 , 1 , 2)=(3 , −9 , 0)+2(−1 , 5 , 1)が成り立つことにより，点(1 , 1 , 2)が(1)上にあるといえるから同じ直線


［問題４］
２平面
x−2y+2z=5…(1)
x+y−4z=2…(2)
の交線の方程式を求めてください．


1.x−12nnn=.y+32nnn=z 2.x−22nnn=.y+22nnn=z
3.x−32nnn=.y+12nnn=z 4.x−42nnn=.y2n=z




【例１】
　２つの媒介変数s, tを用いて
x=3t−s+1…(1)
y=t+2s+2…(2)
z=2t+s−3…(3)
で表される平面の方程式をx, y, zの関係式として表してください．
（解答）→下の≪解説≫参照
(3)よりs=z−2t+3
これを(1)(2)に代入して，まずsを消去する
(1)→x=3t−(z−2t+3)+1=5t−z−2…(1’)
(2)→y=t+2(z−2t+3)+2=2z−3t+8…(2’)
次に，(1’)×3+(2’)×5によりtを消去する
3x+5y=7z+34
3x+5y−7z−34=0…(答)

≪解説≫
　平行でない２つのベクトル→uw, →vwを用いて，s→uw+t→vwの形に表されるベクトルはこれら２つのベクトルで張られる平面内にあります．
　したがって，２つの媒介変数s, tが各々実数値をとるとき
→pw=→OP0+s→uw+t→vw
で表される位置ベクトル→pwは，点P0を通り，２つのベクトル→uw, →vwを含む平面を表します．
　例えば，
(x,y,z)=(1,2,−3)+s(−1,2,1)+t(3,1,2)
で表される図形は，
点(1,2,−3)を通り，２つのベクトル→uw=(−1,2,1), →vw=(3,1,2)を含む平面を表します．
　【例１】のような２つの媒介変数を含む方程式から，これらの媒介変数を消去すればx, y, zの関係式が求められます．

［問題５］
　２つの媒介変数s, tを用いて
x=s+4t+2…(1)
y=−2s−5t−3…(2)
z=3s+6t+1…(3)
で表される平面の方程式をx, y, zの関係式として表してください．

1x+2y+z−3=0 2x+2y+z+3=0

34x−5y+6z−3=0 4x−2y+3z+3=0




【例２】
　直線x−1=.y−12nnn=z−2と点(0, 0, 3)を含む平面
の方程式を求めてください．
　いろいろな解き方が考えられます．
　直線は点(1, 1, 2)を通り，方向ベクトル→uw=(1,2,1)に平行だから，右図を参考にすると
(A) 点(0, 0, 3)を通り，２つのベクトル→uw=(1,2,1), →vw=(1,1,−1)を含む平面と考えることができます．
(B) ３点(0, 0, 3), (1, 1, 2), (1+1, 1+2, 2+1)を通る平面と考えることができます．
(C) ２つのベクトル→uw=(1,2,1), →vw=(1,1,−1)の両方に垂直なベクトルを求めて，それを平面の法線ベクトルとすることができます．
(A)
　点(0, 0, 3)を通り，２つのベクトル→uw=(1,2,1), →vw=(1,1,−1)を含む平面と考えると，２つの媒介変数s, tを用いて
(x,y,z)=(0,0,3)+s(1,1,−1)+t(1,2,1)
と書けるから
x=s+t…(1)
y=s+2t…(2)
z=3−s+t…(3)
で表される平面を求めればよい．
(1)よりs=x−t
これを(2)(3)に代入
y=(x−t)+2t=x+t…(2’)
z=3−(x−t)+t=3−x+2t…(3’)
次に(2’)×2−(3’)によりtを消去すると
2y−z=2x−3+x
3x−2y+z−3=0
(B)
　３点(0, 0, 3), (1, 1, 2), (2, 3, 3)を通る平面の方程式をax+by+cz+d=0とおくと
3c+d=0…(1)
a+b+2c+d=0…(2)
2a+3b+3c+d=0…(3)
この連立方程式は不定解をもつから，dを媒介変数として他の文字について解くことにすると
3c=(−d)…(1’)
a+b+2c=(−d)…(2’)
2a+3b+3c=(−d)…(3’)
(1’)によりc=−.13nd
これを(2’)(3’)に代入してa,bについても解くと
a=−d, b=.23nd
以上により，平面の方程式は
(−d)x+(.23nd)y+(−.13nd)z+(d)=0
3x−2y+z−3=0
(C)
　２つのベクトル→uw=(1,2,1), →vw=(1,1,−1)の両方に垂直なベクトル→nw=(3,−2,1)を求めると，平面の方程式は
3x−2y+z−3=0となることがわかります．

［問題６］
直線.x−4−1nnn=.y−43nnn=.z+2−2nnnと点(3, 2, 1)を含む平面
の方程式を求めてください．

1x+y+z−6=0 2x+y+z+6=0

3x+2y+3z−6=0 4x+2y+3z+6=0




［問題７］
空間において１点で交わる２直線
x=y−1=.z−2−2nnn…(1)
.x2n=.y−1−1nnn=z−2…(2)
によって決定される平面の方程式を求めてください．

14x+y−5z+2=0 23x+2y−4z+1=0

32x−y+3z−6=0 4x+5y+3z−11=0




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