...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る
*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Bの「空間ベクトル・空間図形」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓空間座標と空間ベクトル(1)
↓空間座標と空間ベクトル(2)
↓空間における直線の方程式
↓空間における平面の方程式-現在地
空間における平面と直線の方程式

○　三次元空間において１点P0(x0 , y0 , z0 )を通り，法線ベクトル→nw=(a, b, c)に垂直な平面の方程式は a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0 …(1) ○　三次元空間において，１点P0(x0 , y0 , z0 )と平面ax+by+cz+d=0との最短距離は .|ax0+by0+cz0+d|.√a2+b2+c2√nnnnnnnninnnnnnnnnnnnnn …(2)

⇒ P(x, y, z)はP0(x0 , y0 , z0 )を通り，法線ベクトル
→nw=(a, b, c)に垂直な平面上にある

⇒ ベクトル→P0Pが→nwに垂直

　３次元空間（自由度３）において，１つの制限（１次方程式）を入れると平面（自由度２）になります．
　これに対して，直線（自由度１）は，２平面の交線（２つの平面の共通部分）として，２つの制限（連立１次方程式）を入れたものとして表されます．

　(1)において，右辺がちょうど０となるときは，この平面上にあり，右辺が正の値になるときは平面から見て法線ベクトル→nw=(a, b, c)と同じ側にある．右辺が負の値になるときは平面から見て法線ベクトルと逆の側にある．
　右辺の値は，平面a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0からの距離に関係しており，.√a2+b2+c2√nnnnnnnniで割ったものが「符号付きで」距離を表します．
　→nw·→P0P=|→nw|·|→P0P|cosθ=|→nw|·lだから，内積を→nw·→P0P=|→nw|で割ると距離（表側は符号が正，裏は負）lになります．
　このl=.ax0+by0+cz0+d.√a2+b2+c2√nnnnnnnninnnnnnnnnnnnnは上記のように符号の付いた 数字で，負の値になることもありますので，絶対値を付けると「距離」を表すことになります． 　したがってP0H=.|ax0+by0+cz0+d|.√a2+b2+c2√nnnnnnnninnnnnnnnnnnnnn

　以下，正しい番号を選択してください．

［問題１］
点(2, −3, 0)を通り，法線ベクトル→nw=(3, 0, 1)に垂直な平面の方程式を求めてください．

13x+z+6=0 23x+z−6=0

33x+y+z+3=0 43x+y+z−3=0

解説

3(x−2)+0(y+3)+1(z−0)=0だから
3x+z−6=0になります

［問題２］
点(3, 2, 5)から平面2x+2y−z+4=0に下ろした垂線の長さを求めてください．

11 22 33 44

解説

.|2×3+2×2−5+4|.√22+22+(−1)2√nnnnnnnnnnninnnnnnnnnnnnnnn=.93n=3

［問題３］
点(3, 2, −1)を通り，平面x+y+2z+3=0に平行な平面の方程式を求めてください．

1x+y+2z−6=0 2x+y+2z+6=0

3x+y+2z−3=0 4x+y+2z=0

解説

点(3, 2, −1)を通り，法線ベクトル→nw=(1, 1, 2)に垂直な平面と考えればよいから
1(x−3)+1(y−2)+2(z+1)=0
すなわち
x+y+2z−3=0

［問題４］
原点O(0, 0, 0)から平面2x−3y+6z+7=0に下ろした垂線の長さを求めてください．

11 22 33 44
解説

.|2×0−32×0+6×0+7|.√22+(−3)2+62√nnnnnnnnnnninnnnnnnnnnnnnnnnnn=.77n=1

【例３】
　平行な２平面
4x−2y+.√5√niz−5=0…(1)
4x−2y+.√5√niz+10=0…(2)
間の距離を求めてください．

平面(1)上のどの点からでも同じ距離になるので，どの点から求めてもよい．

［問題５］
　平行な２平面
2x−.√3√niy+3z+8=0…(1)
2x−.√3√niy+3z−12=0…(2)
間の距離を求めてください

13 25 37 49

解説

(1)上の点(−4, 0, 0)と(2)の距離を求めるものとする．
.|2×(−4)−.√3√ni×0+3×0−12|.√4+3+9√nnnnnninnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn=.|−8−12|4nnnnnnn=5

○　３次元空間において，２つの平面は「平行である」か「交わる」かのいずれかになります．
　２つの平面が交わるとき，図１のように両方の平面に垂直な断面の中で２平面のなす角を測ります．
○　このとき，
　２平面のなす角は，θとπ−θの２つ考えることができますが，通常は鋭角0≦θ≦.π2nとなる角で答えます．
　これは，図２の→n1wwと→n’2wwのように，２つの法線ベクトルのなす角を単純に計算すれば鈍角θ’>.π2nになるときは，
小さい方の角を考えて θ=π−θ’ (≦.π2n) で答えるということです．

【例４】
　２平面2x+.√3√niy−3z+1=0, −y+.√3√niz−2=0のなす角を求めてください．

［問題６］
２平面x+3y−2z−1=0, 4x−2y−z+2=0のなす角を求めてください．

1.π6n 2.π4n 3.π3n 4.π2n

解説

　法線ベクトルは各々
→n1ww=(1, 3, −2)
→n2ww=(4, −2, −1)
だから
→n1ww·→n2ww=4−6+2=0
θ=.π2n

【例５】
　３点(0, 0, 0), (3, 1, 2), (1, 5, 3)を通る平面の方程式を求めてください．

　この連立方程式は，未知数がa,b,c,dの４個で方程式の個数が(1)(2)(3)の３個なので，解は確定しません．
　すなわち，１文字分が未定のままの不定解になります．
　もともと，空間における平面の方程式は，4x−2y+3z−1=0を例にとって考えてみると，
8x−4y+6z−2=0
12x−6y+9z−3=0, ...のいずれも同じ平面を表し，
4tx−2ty+3tz−t=0 (t≠0)の形の方程式はすべて同じ平面です．
　通常は，なるべく簡単な整数係数を「好んで」書いているだけです．
　これは，１文字dについては解かずに，他の文字をdで表したもの：4dx−2dy+3dz−d=0 (d≠0)と同じです．
　このようにして，上記の連立方程式を解くときは，１つの文字については解かずに，他の文字をその１つの文字で表すようにします．（ただし，この問題ではたまたま，d=0なので，cで表すことを考えます．）

【要点】
　本来，空間における平面の方程式ax+by+cz+d=0においては，a:b:c:dの比率だけが決まり，a,b,c,dの値は確定しない．
　したがって，１つの媒介変数（例えばt≠0）を用いて，
a’tx+b’ty+c’tz+t=0
のように書かれる．これは，dを媒介変数に使うときは
a’dx+b’dy+c’dz+d=0
の形になる．
　この場合に，なるべく簡単な整数の係数で方程式を表すと
a’x+b’y+c’z+1=0
となる．
　ただし，d=0のときは，他の１つの係数（例えばc≠0）を使って
a’cx+b’cy+cz=0
などと書かれる．
　この場合に，なるべく簡単な整数の係数で方程式を表すと
a’x+b’y+z=0
となる．

【例６】
　３点(1, 4, 2), (2, 1, 3), (3, −2, 0)を通る平面の方程式を求めてください．

［問題７］
３点(1, 2, 3), (1, 3, 2), (0, 4, −3)を通る平面の方程式を求めてください．

14x−y−z+1=0 24x−y+z+1=0

34x−y−5z+1=0 44x−y+5z+1=0

解説

　求める平面の方程式をax+by+cz+d=0とおくと
点(1, 2, 3)を通るから
a+2b+3c+d=0 …(1)
点(1, 3, 2)を通るから
a+3b+2c+d=0 …(2)
点(0, 4, −3)を通るから
4b−3c+d=0 …(3)
この連立方程式の解をd≠0を用いて表すことを考える
(1)(2)(3)より
a+2b+3c=(−d) …(1’)
a+3b+2c=(−d) …(2’)
4b−3c=(−d) …(3’)
(1’)+(3’)
a+6b=(−2d) …(4)
(2’)×3+(3’)×2
3a+17b=(−5d) …(5)
(4)×3−(5)
b=(−d)
これより，a=(4d), c=(−d)
求める方程式は
4dx−dy−dz+d=0 (d≠0)
なるべく簡単な整数係数を選ぶと
4x−y−z+1=0

［問題８］
４点(1, 1, −1), (0, 2, 5), (2, 4, 1), (1, −2, t)が同一平面上にあるように，実数tの値を定めてください．

11 2−3 35 4−7

解説

　３点(1, 1, −1), (0, 2, 5), (2, 4, 1)を通る平面の方程式を求めると
4x−2y+z−1=0
　点(1, −2, t)がこの平面上にあるのだから
4+4+t−1=0
t=−7

非常にためになった。僕が持っている教科書や参考書クリアー数学には２問しか載っていない、しかもこのサイトにあるような定理、法則が詳しく載ったページはどこにもない。解答を見ても、数式が羅列しているだけです。どうしても具体的な解法が知りたかったのでこの解説文は非常に役立ちました。ある本を読むと京都大学の理系クラスで3変数の1次方程式が3次元空間の平面を表すことを知っていた学生が皆無だったそうです。正直に言ってかなり危ない事じゃないかと思いました。僕もこの本を読むまで全く素通りしていたのです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．