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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Bの「空間ベクトル・空間図形」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓空間座標と空間ベクトル(1)-現在地
↓空間座標と空間ベクトル(2)
↓空間における直線の方程式
↓空間における平面の方程式
空間における平面と直線の方程式

－図1－

（疲労回復は雑談で1）
　原点を表す記号はアルファベット大文字のＯオーです．数字の0（零れい）によく似ていますが，英語のOriginの頭文字だと思えばよい．x=0, y=0, z=0の3つを重ねると「太って」見える？実際，筆者が授業をしていた頃は，1と−1の間に0を大きめに書いていた．手書きでは区別はつかない．
（疲労回復は雑談で2）

座標軸	値
x1	150
x2	80
x3	120
x4	90

　実生活で，空間と言えば3次元までに限られると考えていると，それは違う．ベクトルの成分表示が使えるようになると，4次元でも，5次元でも，一般にｎ次元空間の点やベクトルは簡単に表せる．
（疲労回復は雑談で3）
　x軸，y軸，z軸は，右手の①親指，②人差し指，③中指の順に対応するように描きます．（右手系と呼ばれる）
　右手系では，x軸の正の向きからy軸の正の向きに向かって右ネジを回したときに，ネジが進む方向がz軸の正の向きになります．
　高校の数学では，右手系だけを使う．

－図3－

【例1】
　点P(a, b, c)について，次の各点の座標を求めてください．
(1) xy平面に関して
点Pと対称な点Q1の座標
(2) yz平面に関して
点Pと対称な点Q2の座標
(3) zx平面に関して点Pと対称な点Q3の座標
(4) x軸に関して点Pと対称な点R1の座標
(5) y軸に関して点Pと対称な点R2の座標
(6) z軸に関して点Pと対称な点R3の座標
(7) 原点Oに関して点Pと対称な点Sの座標

(1)
　点A(−2, 3, 4)に対して，xy平面に関して対称な点の座標

解説 やり直す

(2, 3, 4) (−2, 3, −4) (2, 3, −4) (2, −3, −4)

　Aからxy平面に垂線を引き，さらに同じ長さだけ反対側まで伸ばすと，z座標の符号だけが変わるから(−2, 3, −4)…（答）

(2)
　点B(2, −3, 4)に対して，z軸に関して対称な点の座標

解説 やり直す

(−2, 3, 4) (2, 3, −4)
(−2, −3, 4) (−2, 3, −4)

　Bからz軸に垂線を引き，さらに同じ長さだけ反対側まで伸ばすとx, y座標の符号が変わるから(−2, 3, 4)…（答）

(3)
　点C(2, 3, −4)に対して，原点に関して対称な点の座標

解説 やり直す

(2, 3, 4) (−2, 3, 4) (2, 3, −4) (−2, −3, 4)

　Cから原点に線を引き，さらに同じ長さだけ反対側まで伸ばすと，x, y, z座標の符号が変わるから(−2, −3, 4)…（答）

(4)
　点D(2, 3, 4)をx軸に関して対称移動してから，さらにxy平面に関して対称移動したときの点の座標

解説 やり直す

(−2, 3, 4) (2, 3, −4) (2, −3, 4) (−2, 3, −4)

　(2, 3, 4)→(2, −3, −4)→(2, −3, 4)…（答）

　2点$A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2)$間の距離は
$AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$
　特に，原点O(0, 0, 0)と点P(x, y, z)の間の距離は
$OP=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

（疲労回復は雑談で4）
　この数十年間，(*注)のように書いてある高校の数学の教科書は1冊も見たことがない．教科書には必ず，$AC=\mid x_2-x_1\mid$，$CD=\mid y_2-y_1\mid$と書いてある．それが正しいに決まっている．
　しかし，それをそのまま授業で教えようとすると，絶対値記号があるだけで半分以上の生徒の「目が点になって，目が泳ぎだして，頭が真っ白になって，頭の線がブチっと切れる音がして，この授業は聞くのをやめよう，公式だけ暗記することにしよう」という強い敵意を感じるようになる．
　そもそも教科書は「間違ったことを書いてはいけない」「無駄なく正確に書かなければならない」という使命を帯びているので，絶対値記号を付けざるを得ないのは当然である．しかし，これによって半分以上の生徒が理解できなくなったら，失うものが大き過ぎる．数学嫌いを生み出すために授業をやっているのではないのだ！
　上記のように書くとまずいのは，x2<x1，y2<y1のとき符号がマイナスになるからであるが，| 　|は理解できず
| 　|2はさらに理解できないが，結局は２乗するので| 　|という記号は何も残らない．だから，授業の中では「この式は負になることがあるが，2乗するので気にしない」と一言添えて，脱落者を減らすのが得策かなと…思う．
（疲労回復は雑談で5）
　誤解を恐れずにはっきり言えば，そもそも小中高で教えているのは，本物の数学そのものではなくて，児童生徒の心身の発達に応じて教育用に加工された教材で，消化不良を起こさないように離乳食を提供しているのと同様である．このページとの関係で言えば，100年以上も前から，ユークリッドの距離$\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$は空間についての唯一の真理ではなく，距離空間の公理を満たす１つの定義の仕方に過ぎないとされている．
　もちろん，高校ではユークリッドの意味での距離が唯一の距離なのであるが，数学ではそうではない． もともと高校数学といっても，消化しやすく加工された作り物に過ぎないのであるから， 未練たらしく親学問の影を残して無理するのでなく， 必要に応じて「やらせ」はやらせとして割り切って，おいしい所を食べやすくした方がよいと思う．実際，高校数学の基本問題では，測量で使う小数点付きの問題はまず出さない．

【例2】
　次の2点間の距離を求めてください．
(1) A(1, 2, 3), B(3, 5, 9)
(2) C(−1, 2, 7), D(1, −2, 3)
(3) O(0, 0, 0), P(3, −4, 5)

(1)
　点$A(-1,3,2),B(3,-1,0)$

解説 やり直す

4 5 6 7

$AB=\sqrt{(3+1{)}^2+(-1-3{)}^2+(0-2{)}^2}=\sqrt{36}=6$…（答）

(2)
　点$O(0,0,0),P(3,4,5)$

解説 やり直す

$5$ $5\sqrt{2}$ $5\sqrt{3}$ $10$

$OP=\sqrt{3^2+4^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$…（答）

(1) AB=BCなどとなったとき
→ 「AB=BCの二等辺三角形」などと答える
(2) AB=BC=CA=3などとなったとき
→ 「一辺の長さが3の正三角形」などと答える
(3) AB²+BC²=CA²などとなったとき
→ 「∠B=90°の直角三角形」などと答える
(4) AB²+BC²=CA²，AB=BCなどとなったとき
→ 「∠B=90°の直角二等辺三角形」などと答える

(1)
　点$A(1,2,3),B(2,3,1),C(3,1,2)$

解説 やり直す

1辺の長さが$\sqrt{3}$の正三角形
1辺の長さが$\sqrt{6}$の正三角形
AB=BCの二等辺三角形
∠B=90°の直角三角形

あらかじめ3辺の長さを計算しておきます
$AB=\sqrt{(2-1{)}^2+(3-2{)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{6}$
$BC=\sqrt{(3-2{)}^2+(1-3{)}^2+(2-1{)}^2}=\sqrt{6}$
$CA=\sqrt{(1-3{)}^2+(2-1{)}^2+(3-2{)}^2}=\sqrt{6}$
以上により，「1辺の長さが$\sqrt{6}$の正三角形」 …（答）

(2)
　点$A(1,-2,3),B(2,0,1),C(4,1,3)$

解説 やり直す

BC=CAの二等辺三角形
∠C=90°の直角三角形
∠A=90°の直角二等辺三角形
∠B=90°の直角二等辺三角形

あらかじめ3辺の長さを計算しておきます
$AB=\sqrt{(2-1{)}^2+(0+2{)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{9}=3$
$BC=\sqrt{(4-2{)}^2+(1-0{)}^2+(3-1{)}^2}=\sqrt{9}=3$
$CA=\sqrt{(1-4{)}^2+(-2-1{)}^2+(3-3{)}^2}=\sqrt{18}$
$=3\sqrt{2}$
以上により，AB²+BC²=CA²，AB=BCが成り立つから，「∠B=90°の直角二等辺三角形」 …（答）

(3)
　点$A(1,-3,1),B(-1,1,-2),C(3,6,2)$

解説 やり直す

AB=BCの二等辺三角形
BC=CAの二等辺三角形
∠A=90°の直角三角形
∠B=90°の直角三角形

あらかじめ3辺の長さを計算しておきます
$AB=\sqrt{(-1-1{)}^2+(1+3{)}^2+(-2-1{)}^2}$
$=\sqrt{4+16+9}=\sqrt{29}$
$BC=\sqrt{(3+1{)}^2+(6-1{)}^2+(2+2{)}^2}$
$=\sqrt{16+25+16}=\sqrt{57}$
$CA=\sqrt{(1-3{)}^2+(-3-6{)}^2+(1-2{)}^2}$
$=\sqrt{4+81+1}=\sqrt{86}$
以上により，AB²+BC²=CA²が成り立つから
「∠B=90°の直角三角形」 …（答）

(4)
　点$A(-2,-3,-1),B(2,4,1),C(-1,-5,4)$

解説 やり直す

AB=BCの二等辺三角形
BC=CAの二等辺三角形
∠A=90°の直角三角形
∠C=90°の直角三角形

あらかじめ3辺の長さを計算しておきます
$AB=\sqrt{16+49+4}=\sqrt{69}$
$BC=\sqrt{9+81+9}=\sqrt{99}$
$CA=\sqrt{1+4+25}=\sqrt{30}$
以上により，AB²+CA²=BC²が成り立つから
「∠A=90°の直角三角形」 …（答）

　x軸と点(a, 0, 0)で交わり，yz平面に平行な平面の方程式は
x=a…(1)
　y軸と点(0, b, 0)で交わり，zx平面に平行な平面の方程式は
y=b…(2)
　z軸と点(0, 0, c)で交わり，xy平面に平行な平面の方程式は
z=c…(3)

　これらの方程式は，普通に見慣れているy=2x+1のような直線の方程式とは少し違うように感じますが，y=4の方は，傾きが0なのでy=0x+4とも書けます．
　そもそも，y=4の直線上の点の座標は
(0, 4), (1, 4), (2, 4), ...のように，
xの値は何でもよい（xの値には制限がない）
y=4
を満たしています．直線の方程式というのは，その直線上にあるために変数x, yが満たすべき関係式，すなわち「制限」のことですが，数学では「制限のないものは書かなくもよい．書かない．」ことになっているので，この直線の方程式はy=4になります．
　同様にして，x軸上の点(3, 0)を通り，x軸に垂直（y軸に平行）な直線上の点の座標は
(3, 0), (3, 1), (3, 2), ...のように，
x=3
yの値は何でもよい（yの値には制限がない）
を満たしています．「制限のないものは書かなくもよい．書かない．」ので，この直線の方程式はx=3になります．

同様にして，例えばy軸上の点(0, 4, 0)を通り，y軸に垂直（yz平面に平行）な平面上の方程式はy=4になります．
また，z軸上の点(0, 0, 5)を通り，z軸に垂直（xy平面に平行）な平面上の方程式はz=5になります．

【座標平面に平行な平面の方程式2】
点P(a, b, c)を通り，
yz平面に平行な平面の方程式は
x=a…(1)
zx平面に平行な平面の方程式は
y=b…(2)
xy平面に平行な平面の方程式は
z=c…(3)

(1)
　点A(3, 4, 5)を通り，y軸に垂直な平面の方程式

解説 やり直す

x=3 y=4 z=5

　y軸上の点(0, 4, 0)を通り，y軸に垂直な平面になるから，y=4 …（答）

(2)
　点B(−5, 6, −4)を通り，xy平面に平行な平面の方程式

解説 やり直す

x=−5 y=6 z=−4

　z軸上の点(0, 0, −4)を通り，xy平面に平行な平面になるから，z=−4 …（答）

平面の場合と同様に，３次元空間においても「図形的に矢印を用いて」ベクトルを導入することができる．またベクトルを「成分を使って」表すこともできる．

矢印を使って図形的に考えるベクトル

$\stackrel{⟶}{AB}+\stackrel{⟶}{BC}=\stackrel{⟶}{AC}$

$\stackrel{⟶}{AB}+\stackrel{⟶}{BC}+\stackrel{⟶}{CD}=\stackrel{⟶}{AD}$

【例3】
　$\stackrel{⟶}{BA}=-\stackrel{⟶}{AB}$などの変形を利用して次の式を簡単にしてください．
(1) $\stackrel{⟶}{CD}+\stackrel{⟶}{BA}-\stackrel{⟶}{CA}$
(2) $\stackrel{⟶}{QR}-\stackrel{⟶}{SR}-\stackrel{⟶}{QP}+\stackrel{⟶}{SP}$

【ベクトルの１次独立の定義】
　零ベクトルでない3つのベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$が，
$s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}\overrightarrow{\leftarrow }s=t=u=0$…(1)
を満たすとき，これらのベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$は1次独立であるという．
　1次独立でないとき，ベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$は1次従属であるという．

【１次独立なベクトルによるベクトルの分解】
　ベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$が1次独立であるとき，3次元空間の任意のベクトル$\overrightarrow{p}$は
$\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}$…(2)
の形にただ1通りに表すことができる．
（このとき，この式を$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$による$\overrightarrow{p}$の分解という）

【例4】
　右図のような平行6面体ABCD-EFGHがあるとき，1次独立な3つのベクトル
$\stackrel{⟶}{CA}=\overrightarrow{a},\stackrel{⟶}{CF}=\overrightarrow{b},\stackrel{⟶}{CH}=\overrightarrow{c}$
を用いて，
$\stackrel{⟶}{CB}=\overrightarrow{p},\stackrel{⟶}{CG}=\overrightarrow{q},\stackrel{⟶}{CD}=\overrightarrow{r}$
をそれぞれ表してください．

※図形的に描かれたベクトルを用いて，ベクトルの分解を求める問題は，教科書や問題集でほとんど見かけない．ベクトルの分解の問題は，むしろ，ベクトルの成分表示に関連して出題されることが多い．
　例えば，ベクトル$\overrightarrow{p}=(6,-3,5)$を1次独立な3つのベクトル $\overrightarrow{a}=(1,2,-1)$， $\overrightarrow{b}=(2,-1,3)$， $\overrightarrow{c}=(-1,3,0)$で表すとき，
$\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}$
となる係数s, t, uを求める問題がこれに当たる．この問題は，連立方程式の解き方の問題となるが，ベクトルの成分表示の項で扱う．

【基本ベクトル表示】
$\stackrel{⟶}{OA}=a_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2}+a_3\overrightarrow{e_3}$
【成分表示】
$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$

偽物の記号を作ってはダメだ！

【例3】
$\overrightarrow{a}=(1,-2,0),\overrightarrow{b}=(-3,0,4)$のとき，次のベクトルの成分を求めてください．
(1)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$
(2)$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$
(3)$2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$

$A(a_1,a_2,a_3),B(b_1,b_2,b_3)$のとき，
$\stackrel{⟶}{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3)$
$\mid \stackrel{⟶}{AB}\mid =\sqrt{(b_1-a_1{)}^2+(b_2-a_2{)}^2+(b_3-a_3{)}^2}$

【例4】
$A(3,-2,1),B(4,0,-2)$のとき， $\stackrel{⟶}{AB},\mid \stackrel{⟶}{AB}\mid$を求めてください．

　２つのベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$のなす角を θ (0°≦θ≦180°)とするとき，ベクトル $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$の内積 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\mid \overrightarrow{a}\mid \mid \overrightarrow{b}\mid \cos \theta$…(1)
で定義する．
　$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$のとき
(2) $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$
(3) $\cos \theta ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\mid \overrightarrow{a}\mid \mid \overrightarrow{b}\mid }}$ $={\displaystyle \frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}}$
が成り立つ．

　高校の教科書での取り扱いと同様に，ここでは(1)を内積の定義として，(2)を性質とする．［(2)を定義として(1)が成り立つことを証明することもできる．(1)はベクトルを矢印を用いて図形的に考えるときに適しており，(2)は成分表示に対応している］
a1

品目	$\overrightarrow{a}$ 単価	$\overrightarrow{b}$ 個数
りんご	a1 150	b1 2
かき	a2 200	b2 3
みかん	a3 80	b3 5
なし	a4 120	b4 4

　(1)を定義として導入する方法では，なぜそのように定義するのか，なぜcosθを使うのかについて納得のいく説明がないまま「頭ごなし」に「覚えなさい」と言う他ない…高校2年生では，まだ力積とか仕事を習っていないことが多い．また，文系の生徒の場合は，そもそも物理を選択しないから，(1)の定義が必要な場面を考えにくい．
　(2)を定義とする方法なら，小学生が買い物をする場面でも使う平易な計算になる．すなわち，単価×個数を足したものが内積で，合計金額を表す．（また，4次元でも品目が4種類になっただけだから，平気で扱える．）

【例5】
(1) 基本ベクトル$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}$について，次の内積を求めてください．
(2) 右図のベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めてください．

基本ベクトル$\overrightarrow{e_m},\overrightarrow{e_n}(1\leqq m,n\leqq 3)$は，
同一物との内積が1 → $\overrightarrow{e_n}\cdot \overrightarrow{e_n}=1$
異なる物との内積が0 → $\overrightarrow{e_m}\cdot \overrightarrow{e_n}=0(m\ne n)$
になる

*** 表1 ***

内積	$\overrightarrow{e_1}$	$\overrightarrow{e_2}$	$\overrightarrow{e_3}$
$\overrightarrow{e_1}$	1	0	0
$\overrightarrow{e_2}$	0	1	0
$\overrightarrow{e_3}$	0	0	1

※この表１は，後に使う．

${\overrightarrow{a}}^2,{\overrightarrow{b}}^2,{\overrightarrow{e_1}}^2$
などと書いてはいけません．

これはあり！→$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b},\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_1}$
これはあり！→$\mid \overrightarrow{a}{\mid }^2,\mid \overrightarrow{b}{\mid }^2,\mid \overrightarrow{e_1}{\mid }^2$
これはない！→${\overrightarrow{a}}^2,{\overrightarrow{a}}^3,{\overrightarrow{b}}^2,{\overrightarrow{b}}^3$

【例6】
　右図の直方体ABCD-EFGHにおいて，次の内積を求めてください．
(1)$\stackrel{⟶}{DA}\cdot \stackrel{⟶}{DC}$
(2)$\stackrel{⟶}{HA}\cdot \stackrel{⟶}{HE}$
(3)$\stackrel{⟶}{AB}\cdot \stackrel{⟶}{EG}$
(4)$\stackrel{⟶}{AC}\cdot \stackrel{⟶}{AF}$

HEに沿ってx軸を，HGに沿ってy軸を，HDに沿ってz軸を導入し，成分で計算する場合（以下同様）
$\stackrel{⟶}{DA}=(3,0,0),\stackrel{⟶}{DC}=(0,4,0)$だから
$\stackrel{⟶}{DA}\cdot \stackrel{⟶}{DC}=3\times 0+0\times 4+0\times 0=0$…（答）

成分で計算する場合
$\stackrel{⟶}{HA}=(3,0,5),\stackrel{⟶}{HE}=(3,0,0)$だから
$\stackrel{⟶}{HA}\cdot \stackrel{⟶}{HE}=3\times 3+0\times 0+5\times 0=9$…（答）

成分で計算する場合
$\stackrel{⟶}{AB}=(0,4,0),\stackrel{⟶}{EG}=(-3,4,0)$だから
$\stackrel{⟶}{AB}\cdot \stackrel{⟶}{EG}=0\times (-3)+4\times 4+0\times 0=16$…（答）

成分で計算する場合
$\stackrel{⟶}{AC}=(-3,4,0),\stackrel{⟶}{AF}=(0,4,-5)$だから
$\stackrel{⟶}{AC}\cdot \stackrel{⟶}{AF}=-3\times 0+4\times 4+0\times (-5)=16$…（答）

$\stackrel{⟶}{a}=(a_1,a_2,a_3),\stackrel{⟶}{b}=(b_1,b_2,b_3)$のとき
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\mid \overrightarrow{a}\mid \mid \overrightarrow{b}\mid \cos \theta$…(1)
を定義として
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$…(2)
を証明する方法