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○1 ２つの三角形の高さが等しいときは，面積の比は底辺の長さの比に等しい．
△ABC =  BC·h2
△ABD = BD·h2
ここで BC:BD=a:b ならば △ABC:△ABD = BC·h2 : BD·h2 = BC:BD = a:b
となって，△ABC と△ABD との面積比は底辺の長さの比に等しくなる．  -- 図１ --
【例１】
図２において△ABC と△ABD の高さは等しいから， △ABC:△ABD=2:3 △ABC:△ACD=2:1 |
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 -- 図２ -- |
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○２ ２つの三角形の底辺の長さが等しいときは，面積の比は高さの比に等しい．
○2の証明○３ 高さが書いていないときでも，１組の辺の比がm:n のときは，高さがm:n と考えてよい． 三角形の面積は（底辺）×（高さ）÷2で求められる．図３の△FBC と△ABC の面積は各々 △FBC = BC·FD2
△ABC = BC·AE2
ここで底辺 BC は共通だから △FBC : △ABC= BC·FD2 : BC·AE2 = FD : AE
 -- 図３ -- 図３の△FBD と△ABE は相似図形だから， FD:AE=FB:AB したがって △FBC : △ABC= FD : AE = FB : AB
【例２】
図４において△DBC と△ABC の底辺BC は共通だから， △DBC:△ABC=3:5 △DBC:△ADC=3:2 |
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 -- 図４ -- |
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○４
２つの三角形の底辺の比がa:b ，高さの比がm:n のとき，面積の比はam:bn になる． ○５ 図６のように２つの三角形で１つの角が共通のとき，この角をはさむ２辺の比が各々a:b ，m:n のとき，面積の比はam:bn になる．  -- 図５ -- △DBE = BE·DF2
△ABC = BC·AG2
だから △DBE : △ABC = am2 : bn2 = am : bn○５の証明  -- 図６ -- △DBE : △ABC = am : bn
【例３】
図７において
△DBE:△ABC=8:15
△DBE：(四角形)ADEC=8:(15-8)=8:7 |
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 -- 図７ -- |
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○６ 相似比がa:b となる２つの三角形の面積の比はa2:b2 になる．
 -- 図８ -- ○５において底辺の比も高さの比もa:b になるから， △DBE : △ABC = aa : bb = a2:b2  【例４】右図において △ADE:△ABC=4:9 △ADE：(四角形)DBCE=4:(9-4)=4:5 |
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【まとめ】
(1) 図９ののように２つの三角形の底辺の比がa:b，高さの比がm:n のとき，面積の比はam:bn になる．（右の図９では高さの比をm:n と読む．） -- 図９ -- △BEP△CEP = 23
△CEP△CAP = 45△BEP△CEP △CEP△CAP = 23 45 = 815△BEP:△CAP=8:15   -- 図10 -- |
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【例題１】
 -- 図11 -- (1) △BEP:△CEP=6:5
高さが等しく，底辺が6:5と見る
(2) △ABC:△PBC=11:4
底辺が等しく，高さが11:4と見る
 (3) △APC:△PEC=7:4
右図のようにAP , PE を底辺とみると，高さが等しく，底辺が7:4
(4) △APB:△BPC=21:22△APB△BPE = 74
△BPE△BPC = 611△APB△BPE △BPE△BPC = 74 611 = 4244 = 2122△APB:△BPC=21:22 |
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【例題２】  -- 図12 -- (1) △APB:△BPC=4:5
高さが等しく，底辺が4:5と見る
(2) △BPC:△CPD=3:7
高さが等しく，底辺が3:7と見る
(3) △APB:△CPD=12:35△APB△BPC = 45
△BPC△CPD = 37△APB△BPC △BPC△CPD = 45 37 = 1235△APB:△CPD=12:35 |
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【例題３】  -- 図13 -- (1) △ABQ∽△FDQ （相似比は9:3=3:1）だから
△ABQ:△FDQ=32:12=9:1
(2) △BEP∽△ADP （相似比は4:8=1:2）だから△ABP:△ABQ=4:9 （高さが等しく底辺が4:9） ゆえに △ABP:△FDQ=4:1
△BEP :△ADP=1:4
△APQ :△APD=5:8 （高さが等しく底辺が5:8）
ゆえに
△BEP:△APQ = 14 : 58 = 2:5
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【例題４】
(5)の証明 -- 図14 -- (1)
△APE∽△CPB （相似比は AP:PC=2:7）
EP:PB=2:7 △APE と△APB は高さが等しく底辺が 2:7
△APE:△APB=2:7
(2)△APE△CPB = 449 ← 相似比2:7の相似図形
△CPB△QPB = 74 ← 高さが等しく底辺が7:4△APE△CPB △CPB△QPB = 449 74 = 17
△APE:△QPB=1:7
(3)
△BQA∽△FQC
だから BQ:QF=AQ:QC=6:3=2:1 △CQB と△FQC は高さが等しく底辺が 2:1
△CQB:△FQC=2:1
(4)
△CQF:△FED=7:15
(5)
△BQP:△DEF=56:45
△BQP△ABC = 49 ←【まとめ】
△DAC△DEF = 145 ←【まとめ】
AP:PC=2:7だからAE:BC=2:7
したがってAE:ED=2:5 AQ:QC=6:3だからAB:CF=6:3 したがってCD:CF=6:3，CF:FD=3:3=1:1
△ABC=△CAD ←平行四辺形だから
ゆえに
△BQP△CAD △CAD△DEF = 49 145 = 5645
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(2)の別解△APE△APB = 27 ← (1)の結果
△APB△QPB = 24 = 12 ← 高さが等しく底辺が2:4△APE△APB △APB△QPB = 27 12 = 17
△APE:△QPB=1:7
(4)の証明
△APE∽△CPB だから AE:CB=AP:CP=2:7 AE:DA=2:7 （←平行四辺形だから） AE:ED=2:5 ----------------------- △AQB∽△CQF だから AB:CF=AQ:QC=6:3=2:1 DC:CF=2:1 （←平行四辺形だから） CF:FD=1:1 ----------------------- △CQF△CAD = 318 ←【まとめ】
△CAD△FED = 145 ←【まとめ】△CQF△CAD △CAD△FED = 318 145 = 715
△CQF:△FED=7:15
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【問題１】
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(1) △BEP と△CEP は高さが等しく，底辺が7:4 だから △BEP: △CEP=7:4 (2) △ABC と△PBC は底辺が等しく，高さが5:2 だから △ABC: △PBC=5:2 (3) △APC と△PEC の底辺を各々AP , PE と見ると，高さが等しく，底辺が3:2 だから △APC: △PEC=3:2 (4) △BCP△ECP = 114
△ECP△CAP = 23△BCP△ECP △ECP△CAP = 114 23 = 2212 = 113△BCP:△CAP=11:6 |
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【問題２】
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(1) △APB:△APD=4:3
△APB△APD = 43
△APD△CPD = 15△APB△APD△APD△CPD = 43 15△APB△CPD = 415
(2) △APD:△CPD=1:5 △APD△CPD = 15
△CPD△CPB = 34△APD△CPD△CPD△CPB = 15 34△APD△CPB = 320
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【問題３】
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(1) △EPA∽△DPC で相似比が 4:11 だから面積比は
△EPA△DPC = 16121
△DPC:△DPQ=11:5 △DPC△DPQ = 115△EPA△DPC△DPC△DPQ = 16121 115ゆえに △EPA△DPQ = 1655
△CQF△AQD = 8136 = 94 ← 相似比6:9の相似図形
△AQD△PQD = 95 ← 高さが等しく底辺が9:5△CQF△AQD △AQD△PQD = 49 95 = 45
だから △CQF:△PQD=4:5 |
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