maximaの初歩的な操作10･･･指数関数・対数関数の不定積分

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== maximaの初歩的な操作10･･･指数関数・対数関数の不定積分 == ○Xmaxima，wxMaxima のインストール方法，基本操作については［この頁］参照

○Xmaximaでは，数式がアスキーアート風に出力されることが多い．wxMaximaでは数学で通常用いる記号に近い形で結果が示される．以下ではwxMaiximaを用いた場合の積分計算の例と答を示す．

○wxMaximaで関数の不定積分を求めるには，メニューから［微積分］→［積分］を選び，対話型メニューに「関数」「変数」を入力して（定積分にチェックを付けないで）「ＯＫ」ボタンを押すと
integrate(..., x)
のように，入力すべき式が書き込まれるようになっている．画面上で (%inn) の右にある入力欄を直接書き換えてもよい．

　入力に当たっては，2xなどの書き慣れた記号を2*xと書かなければならないことに注意しましょう．

　以下においてはいずれも積分定数は省略されている．

■教科書や問題集でよく出てくるもの

【指数関数・対数関数の不定積分】

(1)　 $\int e^{ax} dx$

・Maximaでは自然対数の底eは%eという記号で表される．したがって，この不定積分は
$\frac{e^{ax}}{a}+ C$ になることを表している．
・a≠0は省略されている．

○wxMaximaでの入力例
integrate(%e^(a*x),x);
○結果
$\frac{%e^{ax}}{a}$ （積分定数は省略されている）

(2)　 $\int xe^{ax} dx$

・%eの意味，a≠0の省略は上と同様
・普通の書き方では
$\frac{(ax-1)e^{ax}}{a^2}+ C$

○wxMaximaでの入力例
integrate(x*%e^(-a*x),x);
○結果
$\frac{(ax- 1)%e^{ax}}{a^2}$

≪筆算で行うときは≫
次のように対応させると，部分積分で求められる
$f(x)=x\rightarrow f'(x)=1$
$g'(x)=e^{ax}\rightarrow g(x)=\frac{e^{ax}}{a}$
部分積分の公式
$\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$
に代入すると
$\int xe^{ax}dx=\frac{xe^{ax}}{a}-\int \frac{e^{ax}}{a}dx$
$=\frac{xe^{ax}}{a}- \frac{e^{ax}}{a^2}+ C=\frac{(ax-1)e^{ax}}{a^2}+ C$

(3)　 $\int x^2e^{ax} dx$

・%eの意味，a≠0の省略は上と同様
・普通の書き方では
$\frac{(a^2x^2-2ax+ 2)%e^{ax}}{a^3}+ C$

○wxMaximaでの入力例
integrate(x^2*%e^(a*x),x);
○結果
$\frac{(a^2x^2-2ax+ 2)%e^{ax}}{a^3}$

≪筆算で行うときは≫
次のように対応させると，部分積分で求められる
$f(x)=x^2\rightarrow f'(x)=2x$
$g'(x)=e^{ax}\rightarrow g(x)=\frac{e^{ax}}{a}$
部分積分の公式
$\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$
に代入すると
$\int x^2e^{ax}dx=\frac{x^2e^{ax}}{a}-2\int \frac{xe^{ax}}{a}dx$
ここで最後の項を $\frac{2}{a}\int xe^{ax}dx$ と書き変えて(2)の結果を使うと
$\frac{x^2e^{ax}}{a}-\frac{2}{a}\cdot \frac{(ax-1)e^{ax}}{a^2}+ C$
$=\frac{(a^2x^2-2ax+ 2)e^{ax}}{a^3}+ C$

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