 ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る*** 科目 *** 数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数 指数関数対数関数微分不定積分定積分 高次方程式数列漸化式と数学的帰納法 平面ベクトル空間ベクトル確率分布 ※高校数学Ⅱの「対数関数」について，このサイトには次の教材があります．
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【センター試験 2006年度：数学II・Ｂ（本試験） 第１問】
[1] 0°≦θ<180°の範囲で関数f(θ)=3cos2θ+4sinθを考える． sinθ=tとおけば cos2θ=ア−イ t ウ であるから，y=f(θ)とおくと y=−エ t ウ+オ t +カ である．したがって，yの最大値は  キク3であり，最小値はケである．また，aが0°<α<90°を満たす角度でf(α)=3のとき sin(α+30°)= コ√サ+√シスである．
cos2θ=cos2θ−sin2θ=1−2sin2θだから
cos2θ=1−2t2 y=3(1−2t2)+4t=−6t2+4t+3  y=−6t2+4t+3=−6(t2− 23t)+3=−6{ (t−13)2−19}+3=−6(t− 13)2+23+3=−6(t−13)2+113ここで0°≦θ<180°により0≦t≦1 右図のようなグラフになるから t= 13→M=113t=1→m=10°<α<90°のとき0<sinα, cosα<1で f(α)=−6t2+4t+3=3より t(3t−2)=0→t=sinα= 23 (>0)このときcosα= √53 (>0)だからsin(α+30°)=sinαcos30°+cosαsin30° = 23√32+√5312=2√3+√56 |
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[2] 不等式
2log3 x−4logx 27≦5 ……(*) が成り立つようなxの値の範囲を求めよう． (1) 不等式(*)において，xは対数の底であるから x>セ かつ x≠ソ を満たさなければならない．また logx 27= タlog3x
である．(2) 不等式(*)は セ<x<ソのとき チ(log3 x)2−ツlog3 x−テト≧0 x>ソのとき チ(log3 x)2−ツlog3 x−テト≦0 と変形できる．したがって，求めるxの値の範囲は セ<x≦ √ナニ, ソ<x≦ヌネ
である．
対数の底xは，x>0かつx≠1を満たさなければならない
底の変換公式 logab= logcblogcaにより logx27= log327log3x=3log3x0<x<1のとき，log3x<0だから 2log3x−4 3log3x≦5より2(log3x)2−12≧5(log3x)2(log3x)2−5(log3x)−12≧0 0<x<1→log3x<0のとき (2log3x+3)(log3x−4)≧0より log3x≦− 32, 4≦log3xlog3x<0だから log3x≦− 320<x≦3− 32=1√33=13√3=√39 |
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【センター試験 2007年度：数学II・Ｂ（本試験） 第１問】
[1] 不等式 sin 2x> √2cos(x+π4)+12を満たすxの範囲を求めよう．ただし，0≦x<2πとする． a=sin x, b=cos xとおくと，与えられた不等式は アab+イa−ウb−1>0 となる．左辺の因数分解を利用してxの範囲を求めると πエ<x<オカπまたはキクπ<x<ケコπ
である．
sin2x=2sinxcosx
cos(x+ π4)=cosxcosπ4−sinxsinπ4=1√2(cosx−sinx)だから2sin x cos x>cos x−sin x+ 124 sinx cos x+2a−2b−1>0(2a−1)(2b+1)>0より （ア）a> 12, b>−12または（イ）a<12, b<−12  （ア）のとき，右図の共通部分からπ6<x<23π  （イ）のとき，右図の共通部分から56π<x<43π |
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[2] 不等式
2+log √y3<log y81+2 log y(1−x2)の表す領域を求めよう． yと √yは対数の底であるからy>サ, y≠シである．真数は正であるからx<スである．ただし，対数logabに対し，aを底といい，bを真数という．また log √y3=セlog3y, logy81=ソlog3yであるから，与えられた不等式は 1< タlog3y+log3(1−x2)log3yとなる．よって y>チのとき，log3y<log3{ ツ(1− x2)}テ<y<チのとき，log3y>log3{ ツ(1− x2)}となる．
求める領域を図示すると，次の図のトの影をつけた部分となる．ただし，境界（境界線）は含まない．トに当てはまるものを，次の0～3のうちから一つ選べ．
   
y>0, y≠1
1− 12>0よりx<2 底の変換公式logab=logcblogcaを使うと log √y3=log33log3√y=log3312log3y=2log3y底の変換公式logab=logcblogcaを使うと logy81= log381log3y=4log3y2+ 2log3y<4log3y+2log3(1−x2)log3y1+ 1log3y<2log3y+log3(1−x2)log3y1< 1log3y+log3(1−x2)log3yy>1のとき，log3y>0だから 分母を払うと log3y<1+log3{3(1− x2)}0<y<1のとき，log3y<0だから 分母を払って符号を変えると log3y>1+log3{3(1− x2)}y>1, y<3(1− x2)0<y<1, y>3(1− x2), x<2→1 |
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【センター試験 2008年度：数学II・Ｂ（本試験） 第１問】
[1] 実数x, yは を満たしている．このとき K= 5y3+3−log10xの最小値を求めよう． 真数の条件によりx>アである．ただし，対数logabに対し，aを底といい，bを真数という．次に，(*)により 5y=イ·3log10x−1 である．z=3log10xとおくと，5y>0であるから，zのとり得る値の範囲は z> ウエとなる．さらに K=z+ オz−1カとなるから，Kはz=キのとき，最小値 クケをとる．このとき，x=コ , y=logサシである．
真数だからx>0
(*)を変形すると 5y=31+log10x−1=3·3log10x−15y=3z−1>0より z> 13K= 5y3+3−log10x=3z−13+1z=z+ 1z−13z> 13>0だから，（相加平均）≧（相乗平均）の関係よりz+ 1z≧2√z·1z=2（等号はz=1のとき） Kはz=1のとき最小値2− 13=53をとる3log10x=1=30より x=1 5y=3×30−1=2 y=log52 |
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[2] aを正の定数とする．点Oを原点とする座標平面において，中心がOで，半径が1の円と半径が2の円をそれぞれC1 , C2とする．θ≧0を満たす実数θに対して，角aθの動径
とC1との交点をPとし，角 π2−θ3の動径とC2との交点をQとする．ここで，動径はOを中心とし，その始線はx軸の正の部分とする． (1) θ=πのとき，Qの座標は( √ス, セ)である．(2) ３点O, P, Qがこの順に一直線上にあるような最小のθの値は ソタa+チπ
である．θが0≦θ≦ ソタa+チπ
の範囲を動くとき，円C2において点Qの軌跡を弧とするツテa+トπ
である．(3) 線分PQの長さの２乗PQ2は ナ−ニsin( ヌa+ネノθ)
である．(4) xの関数f(x)を f(x)=ナ−ニsin( ヌa+ネノx)
とおき，f(x)の正の周期のうち最小のものが4πであるとすると，
a=ハヒである．
θ=πのとき
π2−θ3=π6だからQの座標は(2cos π6, 2sinπ6)=(√3, 1)aθ=π2−θ3より(a+13)θ=π23a+13θ=π2θ=33a+1π2=36a+2π0≦θ≦36a+2πのときπ2−π6a+2≦π2−θ3≦π2になり扇形の中心角はα=π6a+2【扇形の面積の公式】 面積はS=半径r，中心角αの扇形の面積は S= 12r2α1222π6a+2=13a+1πOPの偏角aθとOQの偏角π2−θ3のなす角はaθ−( π2−θ3)=3a+13θ−π2OP=1, OQ=2だから，余弦定理により PQ2=12+22−2×1×2×cos( 3a+13θ−π2)ここでcos(θ− π2)=cos(π2− θ)=sinθだからPQ2=5−4sin( 3a+13θ)sinkθの基本周期は 2πkだから33a+12π=4π6a+2=3a= 16 |
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【センター試験 2009年度：数学II・Ｂ（本試験） 第１問】
[1] x≧2, y≧2, 8≦xy≦16のとき，z=log2 √x+log2 yの最大値を求めよう．s=log2x , t=log2 yとおくと，s, t, s+tのとり得る値の範囲はそれぞれ s≧ア , t≧ア , イ≦s+t≦ウ となる．また z= エオ s+tが成り立つから，zはs=カ , t=キのとき最大値 クケをとる．
したがって，zはx=コ , y=サのとき最大値クケをとる．
x≧2のとき，s=log2x≧log22=18≦xy≦16のとき，log2xy=log2x+log2y=s+tだから
3=log28≦s+t≦log216=4 log2 √x=log2x12=12log2xだからz=12s+t s≧1, t≧1, 3≦s+t≦4を満たす領域内におけるz=12s+t → t=−12s+zzのとり得る値の範囲を考えると，s=1, t=3の点において最大値をとることがわかる．最大値はz= 12+3=72s=log2x=1よりx=2 t=log2y=3よりy=8 |
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[2] 0≦θ<2πの範囲で
5 sin θ−3 cos 2θ=3 ……(*) を満たすθについて考えよう． 方程式(*)をsin θを用いて表すと シsin2θ+5 sinθ−ス=0 となる．したがって，−1≦sin θ≦1より sinθ= セソであり，0≦θ<2πの範囲での範囲でこの等式を満たすθのうち，小さい方をθ1，大きい方をθ2とすると cosθ1= √タソ , cosθ2=チ√タソである． θ1について不等式ツが成り立つ．ツに当てはまるものを，次の0～5のうちから一つ選べ． 0 0<θ1< π12
1
π12<θ1<π6
2
π6<θ1<π5
3
π5<θ1<π4
4
π4<θ1<π3
5
π3<θ1<π2
ただし，必要ならば，次の値
cosπ5=1+√54 , cosπ12=√6+√24
を用いてもよい．さらに，不等式nθ1>θ2を満たす自然数nのうち最小のものはテである．
cos2θ=cos2θ−sin2θ=1−2sin2θ
だから 5 sin θ−3(1−2sin2θ)=3 6sin2θ+5 sinθ−6=0 因数分解すると (3sin θ−2)(2sinθ+3)=0 sin θ= 23 , −32ここで−1≦sin θ≦1だから sin θ= 23 cos2θ=1−sin2θ=1−(23)2=59cos θ=± √53右図のようになるから cos θ1= √53 , cos θ2=−√53cos π12=√6+√24≒0.95cos π6=√32≒0.86cos π5=1+√24≒0.80cos θ1=  √53≒0.74cos π4=√22≒0.70cos π3=12=0.5cos π2=0だから π5<θ1<π4π5<θ1<π4 , 3π4<θ2<4π5だから 3θ1< 3π4<θ2θ2< 4π5<4θ1<πとなるから n=4が最小 |