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鼠

銀

黒

青

紺

茶

緑

桃

【2013年度センター試験.数学Ⅱ･B】第1問[2]（必答問題）
　連立方程式

を満たす実数x, y, zを求めよう。ただし，x≦y≦zとする。
　$X=2^x,Y=2^y,Z=2^z$とおくと，x≦y≦zによりX≦Y≦Zである。(＊)から，X, Y, Zの関係式
が得られる。

$X=2^x,Y=2^y,Z=2^z$だから
$XYZ=2^x\times 2^y\times 2^z$
$=2^{x+y+z}=2^3=8$→ソ
$2^x+2^y+2^z={\displaystyle \frac{35}{2}}$だから
$X+Y+Z={\displaystyle \frac{35}{2}}$
${\displaystyle \frac{1}{X}}+{\displaystyle \frac{1}{Y}}+{\displaystyle \frac{1}{Z}}={\displaystyle \frac{49}{16}}$だから
${\displaystyle \frac{XY+YZ+ZX}{XYZ}}={\displaystyle \frac{49}{16}}$
$XY+YZ+ZX={\displaystyle \frac{49}{16}}XYZ={\displaystyle \frac{49}{2}}$→タチツ
→解説を隠す←

　この関係式を利用すると,tの3次式(t−X)(t−Y)(t−Z)は
$(t-X)(t-Y)(t-Z)$
$=t^3-(X+Y+Z)t^2+(XY+YZ+ZX)t-XYZ$

$=t^3-{\displaystyle \frac{35}{2}}{t}^2+$

タチ

ツ

$t-$ソ

$=(t-{\displaystyle \frac{1}{2}})(t-$テ$)(t-$トナ$)$
となる。したがって，X≦Y≦Zにより
$X={\displaystyle \frac{1}{2}},Y=$テ，$Z=$トナ
となり，$x=\log$ニ$X,y=\log$ニ$Y,z=\log$ニ$Z$から
x=ヌネ，y=ノ，z=ハ
であることがわかる。

$(t-X)(t-Y)(t-Z)=t^3-{\displaystyle \frac{35}{2}}{t}^2+{\displaystyle \frac{49}{2}}t-8$
$=(t-{\displaystyle \frac{1}{2}})(t^2-17t+16)$
$=(t-{\displaystyle \frac{1}{2}})(t-1)(t-16)$→テ,トナ
$X={\displaystyle \frac{1}{2}},Y=1,Z=16$により
$x={\log }_{2}X,y={\log }_{2}Y,z={\log }_{2}Z$→ニ
$x={\log }_{2}X={\log }_2({\displaystyle \frac{1}{2}})=-1$→ヌネ
$y={\log }_{2}Y={\log }_{2}1=0$→ノ
$z={\log }_{2}Z={\log }_{2}16=4$→ハ
→解説を隠す←

【2014年度センター試験.数学Ⅱ･B】第1問[2]（必答問題）
　自然数m, nに対して，不等式
${\log }_2{m}^3+{\log }_3{n}^2\leqq 3$･･･④
を考える。
　m=2, n=1のとき，${\log }_2{m}^3+{\log }_3{n}^2=$ソであり，このm, nの組は④を満たす。
　m=4, n=3のとき，${\log }_2{m}^3+{\log }_3{n}^2=$タであり，このm, nの組は④を満たさない。
　不等式④を満たす自然数m, nの組の個数を調べよう。④は

${\log }_{2}m+$

チ

ツ

${\log }_{3}n\leqq$テ･･･⑤

と変形できる。
　nが自然数のとき，${\log }_{3}n$のとり得る最小の値はトであるから，⑤により，${\log }_{2}m\leqq$テでなければならない。${\log }_{2}m\leqq$テにより，m=ナまたはm=ニでなければならない。ただし，ナ<ニとする。

${\log }_2{2}^3+{\log }_3{1}^2=3{\log }_{2}2+2{\log }_{3}1=3+0=3$→ソ
${\log }_2{4}^3+{\log }_3{3}^2=3{\log }_{2}4+2{\log }_{3}3=6+2=8$→タ
$3{\log }_{2}m+2{\log }_{3}n\leqq 3$
${\log }_{2}m+{\displaystyle \frac{2}{3}}{\log }_{3}n\leqq 1$→チ,ツ,テ
nが自然数のとき，${\log }_{3}n\leqq 0$→ト(等号はn=1のとき)
${\log }_{2}m\leqq 1$により
m=1またはm=2→ナ,ニ
→解説を隠す←

　

m=ナの場合，⑤は，${\log }_{3}n\leqq$

ヌ

ネ

となり，

n2≦ノハと変形できる。よって，m=ナのとき，⑤を満たす自然数nのとり得る値の範囲はn≦ヒである。したがって，m=ナの場合，④を満たす自然数m, nの組の個数はヒである。
　同様にして，m=ニの場合，④を満たす自然数m, nの組の個数はフである。
　以上のことから，④を満たす自然数m, nの組の個数はヘである。

m=1のとき，⑤は
${\log }_{2}1+{\displaystyle \frac{2}{3}}{\log }_{3}n\leqq 1$
${\displaystyle \frac{2}{3}}{\log }_{3}n\leqq 1$
${\log }_{3}n\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$→ヌ,ネ
$2{\log }_{3}n\leqq 3$
${\log }_3{n}^2\leqq 3$
$n^2\leqq 27$→ノハ
$n\leqq 5$→ヒ
m=2のとき，④は
${\log }_2{2}^3+{\log }_3{n}^2\leqq 3$
$3{\log }_{2}2+{\log }_3{n}^2\leqq 3$
${\log }_3{n}^2\leqq 0$
$n^2\leqq 1$
$n=1$→1(組)→フ
以上から，5組と1組で6組→ヘ →解説を隠す←

【2016年度センター試験.数学Ⅱ･B】第1問[1]（必答問題）

(1)　$8^{\frac{5}{6}}=$ア$\sqrt{}$イ　，${\log }_{27}{\displaystyle \frac{1}{9}}=$

ウエ

オ

である。

(2) $y=2^x$のグラフと$y=({\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^x$のグラフはカである。
$y=2^x$のグラフと$y={\log }_{2}x$のグラフはキである。
$y={\log }_{2}x$のグラフと$y={\log }_{\frac{1}{2}}x$のグラフはクである。
$y={\log }_{2}x$のグラフと$y={\log }_2{\displaystyle \frac{1}{x}}$のグラフはケである。
　カ～ケに当てはまるものを，次の⓪～③のうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。

(1)
$8^{\frac{5}{6}}=(2^3{)}^{\frac{5}{6}}=2^{\frac{5}{2}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$→ア,イ
${\log }_{27}{\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{{\log }_3{\displaystyle \frac{1}{9}}}{{\log }_{3}27}}={\displaystyle \frac{{\log }_3{3}^{-2}}{{\log }_3{3}^3}}$
$={\displaystyle \frac{-2{\log }_{3}3}{3{\log }_{3}3}}={\displaystyle \frac{-2}{3}}$→ウエ,オ
(2)
$f(x)=2^x,g(x)=({\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^x$とおくと
$g(x)=2^{-x}=f(-x)$だから
　　これらはy軸に関して対称:②→カ
$y=2^x$は$x={\log }_{2}y$に等しい．これに「y=xの直線に関して対称」なグラフは，$y={\log }_{2}x$
　　y=xの直線に関して対称:③→キ
${\log }_{2}x,g(x)={\log }_{\frac{1}{2}}x$とおくと
$g(x)={\displaystyle \frac{{\log }_{2}x}{{\log }_2{\displaystyle \frac{1}{2}}}}={\displaystyle \frac{{\log }_{2}x}{-1}}=-{\log }_{2}x=-f(x)$
だから，これらはx軸に関して対称:①→ク
$f(x)={\log }_{2}x,g(x)={\log }_2{\displaystyle \frac{1}{x}}$とおくと
$g(x)={\log }_2{x}^{-1}=-{\log }_{2}x=-f(x)$だから
　　これらはx軸に関して対称:①→ケ
→解説を隠す←

(3) x>0の範囲における関数$y=({\log }_2{\displaystyle \frac{x}{4}}{)}^2-4{\log }_{4}x+3$の最小値を求めよう。
　$t={\log }_{2}x$とおく。このとき，y=t2−コt+サである。また，xがx>0の範囲を動くとき，tのとり得る値の範囲はシである。シに当てはまるものを，次の⓪～③のうちから一つ選べ。


　したがって，yはt=スのとき，すなわちx=セのとき，最小値ソタをとる。

$y=({\log }_2{\displaystyle \frac{x}{4}}{)}^2-4{\log }_{4}x+3$
$=({\log }_{2}x-{\log }_{2}4{)}^2-4{\displaystyle \frac{{\log }_{2}x}{{\log }_{2}4}}+3$
$=({\log }_{2}x-2{)}^2-4{\displaystyle \frac{{\log }_{2}x}{2}}+3$
$=({\log }_{2}x-2{)}^2-2{\log }_{2}x+3$
$t={\log }_{2}x(x>0)$とおくと
$y=(t-2{)}^2-2t+3=t^2-6t+7$ (tは全実数)→コ,サ
tのとり得る値の範囲は，③実数全体→シ
$y=(t-3{)}^2-2$と変形できるから
t=3すなわちx=8のとき，最小値−2をとる→ス,セ,ソ,タ
→解説を隠す←

【2017年度センター試験.数学Ⅱ･B】第1問[2]（必答問題）
　座標平面上に点$\mathrm{A}(0,{\displaystyle \frac{3}{2}})$をとり，関数$y={\log }_{2}x$のグラフ上に2点$\mathrm{B}(p,{\log }_{2}p),\mathrm{C}(q,{\log }_{2}q)$をとる。線分ABを1:2に内分する点がCであるとき， p, qの値を求めよう。
　真数の条件により，p>タ，q>タである。ただし，対数${\log }_{a}b$に対し，aを底といい，bを真数という。
　線分ABを1:2に内分する点の座標は，pを用いて

$($

チ

ツ

p,

テ

ト

${\log }_{2}p+$ナ$)$

と表される。これがCの座標と一致するので

が成り立つ。

真数条件よりp>0→タ
$\mathrm{A}(0,{\displaystyle \frac{3}{2}}),\mathrm{B}(p,{\log }_{2}p)$を1:2に内分する点の座標は
$=({\displaystyle \frac{2\times 0+1\times p}{1+2}},{\displaystyle \frac{2\times {\displaystyle \frac{3}{2}}+1\times {\log }_{2}p}{1+2}})$
$=({\displaystyle \frac{1}{3}}p,{\displaystyle \frac{1}{3}}{\log }_{2}p+1)$→チ,ツ,テ,ト,ナ
→解説を隠す←

　⑤は

p=

ニ

ヌ

qネ　･･････⑥

と変形できる。④と⑥を連立させた方程式を解いて，
p>タ，q>タに注意すると
p=ノ$\sqrt{}$ハ　，q=ヒ$\sqrt{}$フ　
である。
　また，Cのy座標${\log }_2($ヒ$\sqrt{}$フ　$)$の値を，小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めると，ヘである。ヘに当てはまるものを，次の⓪～ⓑのうちから一つ選べ。ただし，${\log }_{10}2=0.3010,{\log }_{10}3=0.4771,$
${\log }_{10}7=0.8451$とする。
　⓪ 0.3　① 0.6　② 0.9　③ 1.3　④ 0.6　⑤ 1.9
　⑥ 2.3　⑦ 2.6　⑧ 2.9　⑨ 3.3　ⓐ 3.6　ⓑ 3.9

⑤は
${\log }_{2}p+3=3{\log }_{2}q$
${\log }_{2}p+lo{g}_{2}8={\log }_2{q}^3$
${\log }_{2}8p={\log }_2{q}^3$
$8p=q^3$
$p={\displaystyle \frac{q^3}{8}}$→ニ,ヌ,ネ
と変形できる．④⑥の連立方程式を解くと
$p=6\sqrt{6},q=2\sqrt{6}$→ノ,ハ,ヒ,フ
${\log }_2(2\sqrt{6})={\log }_{2}2+{\log }_2\sqrt{6}$
$=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_{2}6$
$=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}({\log }_{2}2+{\log }_{2}3)$
$={\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{{\log }_{10}3}{{\log }_{10}2}}$
$=1.5+0.5\times {\displaystyle \frac{0.4771}{0.3010}}$
=1.5+0.5×1.585
≒1.5+0.792≒1.5+0.8=2.3→⑥ ヘ
→解説を隠す←

【2018年度センター試験.数学Ⅱ･B】第1問[2]（必答問題）
　cを正の定数として，不等式
$x^{{\log }_{3}x}\leqq ({\displaystyle \frac{x}{c}}{)}^3$　･･･②
を考える。
　3を底とする②の両辺の対数をとり，$t={\log }_{3}x$とおくと
tソ−タt+タ${\log }_{3}c\geqq 0$　･･･③
となる。ただし，対数${\log }_{a}b$に対し，aを底といい，bを真数という。
　c=$\sqrt[3]{9}$のとき，②を満たすxの値の範囲を求めよう。③により
t≦チ，t≧ツ
である。さらに，真数の条件も考えて
テ<x≦ト，x≧ナ
となる。

$x^{{\log }_{3}x}\geqq ({\displaystyle \frac{x}{c}}{)}^3$
の両辺に3を底とする対数をとると
${\log }_3(x^{{\log }_{3}x})\geqq {\log }_3({\displaystyle \frac{x}{c}}{)}^3$
$({\log }_{3}x)({\log }_{3}x)\geqq 3{\log }_3({\displaystyle \frac{x}{c}})$
$({\log }_{3}x)({\log }_{3}x)\geqq 3({\log }_{3}x-{\log }_{3}c)$
$t={\log }_{3}x$とおくと
$t^2\geqq 3(t-{\log }_{3}c)$
$t^2-3t+3{\log }_{3}c\geqq 0$→ソ,タ
$c=\sqrt[3]{9}$のとき
$3{\log }_{3}c=3{\log }_3\sqrt[3]{9}=3{\log }_3{9}^{\frac{1}{3}}=3\times {\displaystyle \frac{1}{3}}{\log }_{3}9$
$={\log }_3{3}^2=2{\log }_{3}3=2$だから，不等式は
$t^2-3t+2\geqq 0$
$(t-1)(t-2)\geqq 0$
t≦1, t≧2→チ,ツ
さらに
${\log }_{3}x\leqq 1,{\log }_{3}x\geqq 2$
より，真数条件も考えると
0<x≦3, x≧9→テ,ト,ナ
→解説を隠す←

　次に，②がx>テの範囲でつねに成り立つようなcの値の範囲を求めよう。
　xがx>テの範囲を動くとき，tのとり得る値の範囲はニである。ニに当てはまるものを，次の⓪～③のうちから一つ選べ。


　この範囲のtに対して，③がつねに成り立つための必要十分条件は，

${\log }_{3}c\geqq$

ヌ

ネ

である。すなわち，c≧ノ$\sqrt{}$ハヒ

である。

xがx>0の範囲を動くとき
$t={\log }_{3}x$のとり得る値の範囲は，実数全体②→ニ
この範囲のtに対して
$t^2-3t+3{\log }_{3}c\geqq 0$
がつねに成り立つための必要十分条件は
$D=(-3{)}^2-12\cdot {\log }_{3}c\leqq 0$
${\log }_{3}c\geqq {\displaystyle \frac{9}{12}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$→ヌ,ネ
すなわち
$c\geqq 3^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{27}$→ノ,ハヒ
→解説を隠す←

【2019年度センター試験.数学Ⅱ･B】第1問[2]（必答問題）
　連立方程式
${\log }_2(x+2)-2{\log }_4(y+3)=-1$　･･･②
$({\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^y-11({\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^{x+1}+6=0$　･･･③
を満たす実数x, yを求めよう。
　真数の条件により，x, yのとり得る値の範囲はタである。タに当てはまるものを，次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。ただし，対数${\log }_{a}b$に対し，aを底といい，bを真数という。


　底の変換公式により

${\log }_4(y+3)=$

${\log }_2(y+3)$

チ

である。よって，②から
y=ツx+テ　･･･④
が得られる。

真数条件から
x+2>0, y+3>0
x>−2, y>−3→②タ
底の変換公式から
${\log }_4(y+3)={\displaystyle \frac{{\log }_2(y+3)}{{\log }_{2}4}}={\displaystyle \frac{{\log }_2(y+3)}{2}}$→チ
よって②から
${\log }_2(x+2)-2\times {\displaystyle \frac{{\log }_2(y+3)}{2}}=-1$
${\log }_2(x+2)-{\log }_2(y+3)=-1$
${\log }_2(x+2)+1={\log }_2(y+3)$
$2(x+2)=y+3$
$y=2x+1$→ツ,テ ④
→解説を隠す←

　次に，$t=({\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^x$とおき，④を用いて③をtの方程式に書き直すと
t2−トナt+ニヌ=0　･･･⑤
が得られる。また，xがタにおけるxの範囲を動くとき，tのとり得る値の範囲は
ネ<t<ノ　･･･⑥
である。
　⑥の範囲で方程式⑤を解くと，t=ハとなる。したがって，連立方程式②，③を満たす実数x, yの値は

$x={\log }_3$

ヒ

フ

，$y={\log }_3$

ヘ

ホ

であることがわかる。

④の$y=2x+1$を③に代入すると
$({\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^{2x+1}-11({\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^{x+1}+6=0$
$\{({\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^x{\}}^2\times {\displaystyle \frac{1}{3}}-11({\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^x\times {\displaystyle \frac{1}{3}}+6=0$
$t=({\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^x$とおくと
$t^2\times {\displaystyle \frac{1}{3}}-11t\times {\displaystyle \frac{1}{3}}+6=0$
$t^2-11t+18=0$→トナ,ニヌ
x>−2のとき，0<t<9→ネ,ノ
⑤の解t=2, 9のうち，⑥の範囲にあるのは，t=2→ハ
このとき
$x={\log }_{\frac{1}{3}}2={\displaystyle \frac{{\log }_{3}2}{{\log }_3{\displaystyle \frac{1}{3}}}}=-{\log }_{3}2={\log }_3({\displaystyle \frac{1}{2}})$→ヒ,フ $y=2x+1=2{\log }_3({\displaystyle \frac{1}{2}})+1={\log }_3{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\log }_{3}3$
$={\log }_3{\displaystyle \frac{3}{4}}$→ヘ,ホ →解説を隠す←

【2020年度センター試験.数学Ⅱ･B】第1問[2]（必答問題）
(2)　x, yは正の実数とする。連立不等式
${\log }_3(x\sqrt{y})\leqq 5$　･･･②
${\log }_{81}{\displaystyle \frac{y}{x^3}}\leqq 1$　･･･③
について考える。
　$X={\log }_{3}x,Y={\log }_{3}y$とおくと，②は
ヌX+Y≦ネノ　･･･④
と変形でき，③は
ハX−Y≧ヒフ　･･･⑤
と変形できる。
　X, Yが④と⑤を満たすとき，Yのとり得る最大の整数の値はヘである。また，x, yが②，③と${\log }_{3}y=$ヘを同時に満たすとき，xのとり得る最大の整数の値はホである。

②より
${\log }_{3}x+{\log }_3\sqrt{y}\leqq 5$
${\log }_{3}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_{3}y\leqq 5$
$2{\log }_{3}x+{\log }_{3}y\leqq 10$
$X={\log }_{3}x,Y={\log }_{3}y$とおくと
$2X+Y\leqq 10$→ヌ,ネノ
③より
${\log }_{81}y-{\log }_{81}{x}^3\leqq 1$
${\displaystyle \frac{{\lg }_{3}y}{{\log }_{3}81}}-{\displaystyle \frac{{\log }_3{x}^3}{{\log }_{3}81}}\leqq 1$
ここで，${\log }_{3}81={\log }_3{3}^4=4{\log }_{3}3=4$だから
${\displaystyle \frac{{\lg }_{3}y}{4}}-{\displaystyle \frac{{\log }_3{x}^3}{4}}\leqq 1$
${\log }_{3}y-{\log }_3{x}^3\leqq 4$
${\lg }_{3}y-3{\log }_{3}x\leqq 4$
$X={\log }_{3}x,Y={\log }_{3}y$とおくと
$Y-3X\leqq 4$
$3X-Y\geqq -4$→ハ,ヒフ
2X+Y=10と3X−Y=−4の交点の座標は$({\displaystyle \frac{6}{5}},{\displaystyle \frac{38}{5}})$
したがって，Y≦7→ヘ
Y=7と3X−Y=−4の交点のX座標は
$X=1$
Y=7と2X+Y=10の交点のX座標は
$X={\displaystyle \frac{3}{2}}$
したがって，Y=7のとき
$1\leqq X\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$
$1\leqq {\log }_{3}x\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$
$3^1\leqq x\leqq 3^{\frac{3}{2}}$
$3\leqq x\leqq \sqrt{27}$
整数ではx≦5→ホ
→解説を隠す←