対数の計算

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■　対数の計算

≪解説≫

［要点］　対数の計算公式
(3)(4)(5)で変形して(1)(2)で締めくくるのが基本です。

○　数値に直す公式

log_a1=0・・・(1)
log_aa=1・・・(2)　･･･(2')

○　変形するための公式

（ただし，ａ＞０，ａ≠1，Ｍ，Ｎ＞0）

(証明)
次の対数の定義を用いると(1)～(5)が示せます。

(1)←
a>0 のとき，a⁰=1 だから，これを対数の形に直すと 0=log_a1 となります。
(2)←
a>0 のとき a¹=a だから，これを対数の形に直すと 1=log_aa となります。
(2')← log_a1 - log_aa　→　0 - 1 → -1
または，log_aa^-1 → - log_aa → -1 (3)← a^p=M，a^q=N ・・・(*) のとき MN = a^p・a^q= a^p+q だから、これを対数の形で表わすと p+q=log_aMN・・・(**) (*) よりp=log_aM，q=log_aN だから(**)に代入すると log_aM+log_aN=log_aMN

※変形は「分ける」のでなく「集める」方が多い
(3)(4)(5)
　　通常の教科書、歴史上の意義：右辺→左辺
　　高校生が出会う問題：　　　　左辺→右辺

　通常、教科書や参考書においては(3)(4)(5)は、左辺と右辺が逆になっています。しかし、高校レベルの対数計算、対数方程式、対数不等式などを解く上では、左辺を右辺に変形する場面の方が多く、このページでは、通常の書き方と左右を逆にしています。

数値計算の変形例　log₆2+log₆3 → log₆6 → 1
対数方程式の変形例　log₂x+log₂(x-1)=1
　　　　　→ log₂x(x-1)=log₂2

(例外)
「log₅18をlog₅2とlog₅3で表せ」というような問題では「分ける」方向で変形しますが、高校生が出会う問題の中ではわずかな量です。

※対数の歴史から言えば、かけ算、割り算（累乗）の計算が足し算、引き算などに直せること、すなわち、右辺を左辺に直して計算できることが重要でしたが、今日では対数を用いずに、電子計算機で大きな桁数のかけ算、割り算などができます。

(4)←

a^p=M，a^q=N ・・・(*) のとき M/N = a^p÷a^q= a^p-q だから、これを対数の形で表わすと p-q=log_a(M/N)・・・(**) (*) よりp=log_aM，q=log_aN だから(**)に代入すると log_aM-log_aN=log_a(M/N) (5)← a^p=M のとき a^pn=Mⁿ だから、これを対数の形で表わすと pn=log_aMⁿ p=log_aM　だから nlog_aM=log_aMⁿ

[参考]
(3)(4)
○　「和　→　積，　差　→　商」　ということですが

　や　

ではないことに注意。（この式の変形は、後で出てくる底の変換が考えられる程度。）

(5)

　一見むずかしそうですが、ダイナミックなジャンプに「味をしめて」使いこなせるようにしましょう。
　また，次のように「対数にする」変形もよく使います。 2 = 2log₃3 = log₃9
2 = 2log₂2 = log₂4

【問題１】　次の式を簡単にしてください．
（選択肢の中から正しいものをクリック）

(1)
$\log_3 3$

解説やり直す

0 1 2 3

(2)の公式
$\log_a a=1$
においてa=3を代入すると
$\log_3 3=1$ …（答）

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(2)
$\log_3 1$

解説やり直す

0 1 2 3

(2)の公式（底の値が何であっても，真数が1なら対数は0）
$\log_a 1=0$
においてa=3を代入すると
$\log_3 1=0$ …（答）

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(3)
$\log_3\hspace{3}\frac{1}{3}$

解説やり直す

$\frac{1}{3}$ −1 0 1

(2)’の公式
$\log_a\hspace{3}\frac{1}{a}=\log_a 1-\log_a a=0-1=-1$
もしくは
$\log_a\hspace{3}\frac{1}{a}=\log_a a^{-1}=-\log_a a=-1$
においてa=3を代入すると
$\log_3\hspace{3}\frac{1}{3}=-1$ …（答）

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(4)
$\log_28$

解説やり直す

1 2 3 4

(5)の公式
$\log_aM^n=n\log_aM$
において $a=2,\hspace{3}M=2,\hspace{3}n=3$ を代入すると
$\log_28=\log_22^3=3\log_22$
次に，(2)の公式を使うと $\log_22=1$ だから
（原式）=3…（答）

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(5)
$\log_{10}100$

解説やり直す

1 2 3 10

(5)の公式
$\log_aM^n=n\log_aM$
において $a=10,\hspace{3}M=10,\hspace{3}n=2$ を代入すると
$\log_{10}100=\log_{10}10^2=2\log_{10}10$
次に，(2)の公式を使うと $\log_{10}10=1$ だから
（原式）=2…（答）

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(6)
$\log_{3}\hspace{3}\frac{1}{81}$

解説やり直す

$-4$ $-\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$ $4$

$81=3^4,\hspace{5}\frac{1}{81}=3^{-4}$
だから
$\log_{3}\hspace{3}\frac{1}{81}=\log_33^{-4}=-4\log_33=-4$ …（答）

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(7)
$\log_{6}2+\log_63$

解説やり直す

0 1 2 $\log_65$

(3)の公式
$\log_aM+\log_aN=\log_aMN$
を使うと
$\log_{6}2+\log_63=\log_6(2\times 3)$
$=\log_66=1$ …（答）

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(8)
$\log_{6}4+\log_69$

解説やり直す

0 1 2 $\log_6 13$

(3)の公式
$\log_aM+\log_aN=\log_aMN$
を使うと
$\log_{6}4+\log_6 9=\log_6(4\times 9)$
$=\log_6 36=\log_6 6^2=2\log_6 6=2$ …（答）

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(9)
$\log_{3}45-\log_35$

解説やり直す

0 1 2 $\log_3 40$

(4)の公式
$\log_aM-\log_aN=\log_a\frac{M}{N}$
を使うと
$\log_{3}45-\log_3 5=\log_3\frac{45}{5}$
$=\log_3 9=\log_3 3^2=2\log_3 3=2$ …（答）

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(10)
$\log_{10}3-\log_{10}300$

解説やり直す

−10 −2 −1 0

(4)の公式
$\log_aM-\log_aN=\log_a\frac{M}{N}$
を使うと
$\log_{10}3-\log_{10}300=\log_{10}\frac{3}{300}=\log_{10}\frac{1}{100}$
$=\log_{10}10^{-2}=-2\log_{10}10=-2$ …（答）

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(11)
$\log_{5}50-\log_5 6+\log_5 15$

解説やり直す

1 2 3 4

(3)(4)の公式を使うと
$\log_{5}50-\log_5 6+\log_5 15=\log_5\frac{50\times 15}{6}$
$=\log_5 125=\log_5 5^3=3\log_5 5=3$ …（答）

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(12)
$\log_{2}35-\log_{2}28-\log_2 10$

解説やり直す

−16 −8 −5 −3

(3)(4)の公式を使うと
$\log_{2}35-\log_{2}28-\log_2 10=\log_2\frac{35}{28\times 10}$
$=\log_{2}\hspace{3}\frac{1}{8}=\log_21-\log_28=0-\log_22^3$
$=-3\log_22=-3$ …（答）
※途中経過は
$\log_{2}\hspace{3}\frac{1}{8}=\log_2 2^{-3}=-3\log_2 2=-3$
としてもよい

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【問題２】　次の式を簡単にしてください．
（選択肢の中から正しいものをクリック）

分数

(1)
$\log_3\frac{45}{4}+\log_3\frac{12}{5}$

解説やり直す

1 2 3 4

$\log_3\frac{45}{4}+\log_3\frac{12}{5}=\log_3\frac{\overset{9}{\sout{45}}\times\overset{3}{\sout{12}}}{\sout{4}\times\sout{5}}=\log_3 27$
$=\log_3 3^3=3\log_3 3=3$ …（答）

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(2)
$\log_2\hspace{5}\frac{2}{3}-\log_2\hspace{5}\frac{1}{12}$

解説やり直す

1 2 3 4

$\log_2\hspace{5}\frac{2}{3}-\log_2\hspace{5}\frac{1}{12}=\log_2(\frac{2}{\sout{3}}\times\frac{\overset{4}{\sout{12}}}{1})=\log_2 8$
$=\log_2 2^3=3\log_2 2=3$ …（答）

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累乗根

(3)
$\log_3\hspace{3}9\sqrt{3}$

解説やり直す

$\frac{1}{2}$ $\frac{3}{2}$ $\frac{5}{2}$ $\frac{7}{2}$

$\log_3\hspace{3}9\sqrt{3}=\log_3\hspace{3}9+\log_3\sqrt{3}$
$=\log_3\hspace{3}3^2+\log_3\hspace{3}3^{\frac{1}{2}}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$ …（答）
（別解）
$\log_3\hspace{3}9\sqrt{3}=\log_3\hspace{3}(3^2\times3^{\frac{1}{2}})$
$=\log_3\hspace{3}3^{\frac{5}{2}}=\frac{5}{2}$ …（答）

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(4)
$\log_2\hspace{5}\sqrt[3]{4}$

解説やり直す

$\frac{1}{4}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{2}{3}$

$\log_2\hspace{5}\sqrt[3]{4}=\log_2\hspace{3}4^{\frac{1}{3}}=\log_2\hspace{3}(2^2)^{\frac{1}{3}}=\log_2\hspace{3}2^{\frac{2}{3}}$
$=\frac{2}{3}$ …（答）

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係数が付いている場合

(5)
$3\log_2\hspace{3}\frac{3}{2}+\log_2\hspace{3}\frac{4}{27}$

解説やり直す

$-1$ $-\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $1$

$3\log_2\hspace{3}\frac{3}{2}+\log_2\hspace{3}\frac{4}{27}=\log_2\hspace{3}(\frac{3}{2})^3+\log_2\hspace{3}\frac{4}{27}$

$=\log_2\hspace{3}(\frac{\sout{27}}{\underset{2}{\sout{8}}}\times\frac{\overset{1}{\sout{4}}}{\sout{27}})=\log_2\hspace{3}\frac{1}{2}=\log_21-\log_22$
$=0-1=-1$ …（答）

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(6)
$2\log_{10}\hspace{3}\frac{1}{3}-3\log_{10}\hspace{3}\frac{1}{6}$

解説やり直す

$\log_{10}8$ $\log_{10}12$ $\log_{10}18$ $\log_{10}24$

$2\log_{10}\hspace{3}\frac{1}{3}-3\log_{10}\hspace{3}\frac{1}{6}=\log_{10}\hspace{3}(\frac{1}{3})^2-\log_{10}\hspace{3}(\frac{1}{6})^3$
$=\log_{10}\hspace{3}\frac{1}{9}-\log_{10}\hspace{3}\frac{1}{216}=\log_{10}\hspace{3}\frac{1}{\underset{1}{\sout{9}}}\times\frac{\overset{24}{\sout{216}}}{1}$
$=\log_{10}24$ …（答）

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総合問題

(7)
$\log_{15}\hspace{3}45\sqrt{3}-\log_{15}\hspace{3}\frac{\sqrt{2}}{25}+\frac{1}{2}\log_{15}\hspace{3}6$

解説やり直す

1 2 3 4

$\frac{1}{2}\log_{15}\hspace{3}6=\log_{15}\hspace{3}6^{\frac{1}{2}}=\log_{15}\hspace{3}\sqrt{6}$
だから
（原式） $=\log_{15}\hspace{3}(45\sqrt{3}\times\frac{25}{\underset{1}{\sout{\sqrt{2}}}}\times\overset{\sqrt{3}}{\sout{\sqrt{6}}})=\log_{15}\hspace{3}(5^3\times 3^3)$
$=\log_{15}\hspace{3}15^3=3$ …（答）

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(8)
$\frac{7}{2}\log_{10}\hspace{3}5-\frac{1}{2}\log_{10}\hspace{3}125+ 4\log_{10}\hspace{3}\sqrt{2}$

解説やり直す

1 2 3 4

$\frac{7}{2}\log_{10}\hspace{3}5=\log_{10}5^{\frac{7}{2}}=\log_{10}\hspace{3}(5^3\times 5^{\frac{1}{2}})=\log_{10}\hspace{3}125\sqrt{5}$
$\frac{1}{2}\log_{10}\hspace{3}125=\log_{10}125^{\frac{1}{2}}=\log_{10}\hspace{3}\sqrt{125}=\log_{10}\hspace{3}5\sqrt{5}$
$4\log_{10}\hspace{3}\sqrt{2}=\log_{10}\hspace{3}(\sqrt{2})^4=\log_{10}\hspace{3}4$
したがって
（原式） $=\log_{10}\hspace{3}125\sqrt{5}-\log_{10}\hspace{3}5\sqrt{5}+\log_{10}\hspace{3}4$

$=\log_{10}\hspace{3}\big(\overset{25}{\sout{125\sqrt{5}}}\times\frac{1}{\underset{1}{\sout{5\sqrt{5}}}}\times 4\big)=\log_{10}\hspace{3}100=2$ …（答）

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(9)
$2\log_{3}\hspace{3}\sqrt[3]{5}-\log_{3}\hspace{3}\sqrt[3]{50}+\frac{1}{3}\log_{3}\hspace{3}2$

解説やり直す

−1 0 1 2

$2\log_{3}\hspace{3}\sqrt[3]{5}=\log_{3}\hspace{3}(5^{\frac{1}{3}})^2=\log_{3}\hspace{3}5^{\frac{2}{3}}$
$\log_{3}\hspace{3}\sqrt[3]{50}=\log_{3}\hspace{3}(2\times 5^2)^{\frac{1}{3}}=\log_3\hspace{3}2^{\frac{1}{3}}\times 5^{\frac{2}{3}}$
$\frac{1}{3}\log_{3}\hspace{3}2=\log_{3}\hspace{3}2^{\frac{1}{3}}$
（原式） $=\log_{3}\hspace{3}\frac{5^{\frac{2}{3}}\times 2^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}\times 5^{\frac{2}{3}}}=\log_3 1=0$ …（答）

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(10)
$\frac{1}{2}\log_{2}\hspace{3}\frac{4}{45}-\frac{3}{2}\log_{2}\hspace{3}\frac{1}{\sqrt[3]{15}}+ \log_{2}\hspace{3}\sqrt{3}$

解説やり直す

1 2 3 4

$\frac{1}{2}\log_{2}\hspace{3}\frac{4}{45}=\log_{2}\hspace{3}\big(\frac{4}{45}\big)^{\frac{1}{2}}=\log_{2}\hspace{3}\frac{4^{\frac{1}{2}}}{45^{\frac{1}{2}}}$
$=\log_2\hspace{3}\frac{(2^2)^{\frac{1}{2}}}{(3^2\times 5)^{\frac{1}{2}}}=\log_2\hspace{3}\frac{2}{3\times 5^{\frac{1}{2}}}$
$\frac{3}{2}\log_{2}\hspace{3}\frac{1}{\sqrt[3]{15}}=\log_2\hspace{3}\big(\frac{1}{\sqrt[3]{15}}\big)^{\frac{3}{2}}=\log_2\hspace{3}\frac{1}{((3\times 5)^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{2}}}$
$=\log_2\hspace{3}\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}\times 5^{\frac{1}{2}}}$
$\log_{2}\hspace{3}\sqrt{3}=\log_2\hspace{3}3^{\frac{1}{2}}$
したがって
(原式) $=\log_2\hspace{3}\frac{2}{3\times 5^{\frac{1}{2}}}\times\frac{3^{\frac{1}{2}}\times 5^{\frac{1}{2}}}{1}\times 3^{\frac{1}{2}}=\log_2 2=1$ …（答）

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の計算について／17.5.9］

途中でlog/logやlog×logは当てはまらないと出て来ますがその場合の計算方法も載せて欲しい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そこに書いていますように「この式の変形は、後で出てくる底の変換が考えられる程度」です．すなわち，
$\log_2 3\cdot\log_2 5$ …(1)や $\frac{\log_2 3}{\log_2 5}$ …(2)の形になっていたら，それを変形する公式はないということです．
ただし，そこに書いていますように「底の変換の頁」を見てもらうと(2)は $\log_5 3}$ に変形することはできます．･･･この質問は少々ずれています．「後に出てくる底の変換が考えられる」と書いてあるのだから，後に出てくる底の変換の頁を見るのが普通です．
もう１点，どんな式でも変形できる公式があるに違いないと思い込んでいませんか？上記の(1)のような式は，もっと複雑にすることはできますが，これ以上簡単にする公式はありません．ないからないと書いているのです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の計算について／17.3.22］

累乗根の問題で分母をアとウ、分子をイとエとするとわかりやすいと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．例えば「３分の２」の場合，３を先に読むじゃないかという話のようですが，センター試験問題などマークシート方式の問題で分母と分子を空欄にする場合は，分子から分母への順に名前を付けていくのが普通です．単なる習慣の違いで間違う生徒が出ないように，広く用いられる流儀に合わしています．なお，英語，コンピュータでは分子を先に読むようです：「３分の２」の場合，two thirds; 2 over 3; 2 by 3; fraction{2}{3}

■［個別の頁からの質問に対する回答］[対数の計算について／17.4.3］

√の外し方教えてください
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「√の外し方」と言えば中学校の話になりますが，対数計算とのかかわりで言えば，あなたが今やらなければならないのは対数関数の真数部分を累乗根から分数指数（有理指数）に直す変形です…(*1)．（急がばまわれ：この頁とかこの頁を先に読まなければなりません）
もう一つは，蚤の三段跳びの変形です…(*2)．
すなわち

$\log_2\sqrt{8}$ とか $\log_2\sqrt[3]{16}$ のような式を簡単にするには，対数計算の前に累乗根を分数指数（有理指数）に変形できなければなりません．

具合的には，(*1)により

$\log_2\sqrt{8}=\log_2 8^{\frac{1}{2}}$
$\log_2\sqrt[3]{16}=\log_2 16^{\frac{1}{3}}$

のように分数（有理数）の指数に直すこと．
次に「蚤の三段跳びの変形」(*2)

$\log_a M^n=n\log_a M$

を使って

$\log_2 8^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\log_2 8=\frac{1}{2}\log_2 2^3=\frac{3}{2}\log_2 2=\frac{3}{2}$
$\log_2 16^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}\log_2 16=\frac{1}{3}\log_2 2^4=\frac{4}{3}\log_2 2=\frac{4}{3}$

のように変形します．