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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「高次方程式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓複素数の定義・計算
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓複素数の対称式,値の代入
↓複素数のいろいろな問題
↓共役複素数
↓２次方程式の解の公式
↓同(2)
↓解と係数の関係
↓判別式
↓二直線を表す方程式
↓剰余の定理
↓同(2)
↓同(3)
↓試験問題(剰余の定理)
↓因数定理
↓高次方程式
↓3次方程式の解と係数の関係
↓同(2)
↓１の虚数３乗根ω-現在地
実係数方程式，有理係数方程式

← PC用は別頁

【 要約 】
１の虚数３乗根の１つをωとするとき 　　ω3=1 （ ω≠1 ）···(A)
　　ω2+ω+1=0 ···(B) が成り立つ．

（覚え方） 　　ω3=1 ···(特急券)
　　ω2+ω+1=0 ···(急行券) 「特急券」と「急行券」を両方とも使って，次数を下げる．

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(1)
${\omega }^7+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^7}}$

解説 やり直す

1 2 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ −1 −2 $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

${\omega }^7={\omega }^6\times \omega =({\omega }^3{)}^2\times \omega =1^2\times \omega =\omega$
だから
${\omega }^7+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^7}}=\omega +{\displaystyle \frac{1}{\omega }}$…(*1)
ここで（上の教材で「急行券」と書いてある式）
${\omega }^2+\omega +1=0$
の両辺を$\omega$で割ると
$\omega +1+{\displaystyle \frac{1}{\omega }}=0$
$\omega +{\displaystyle \frac{1}{\omega }}=-1$…(*2)
(*2)→(*1)
${\omega }^7+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^7}}=-1$ …（答）

(2)
${\omega }^8+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^8}}$

解説 やり直す

1 2 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ −1 −2 $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

${\omega }^8={\omega }^6\times {\omega }^2=({\omega }^3{)}^2\times {\omega }^2=1^2\times {\omega }^2={\omega }^2$
だから
${\omega }^8+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^8}}={\omega }^2+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^2}}$
$={\omega }^2+{\displaystyle \frac{\omega }{{\omega }^3}}$
$={\omega }^2+\omega$
$=-1$ …（答）

(3)
nが正の整数のとき${\omega }^n+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^n}}$の値は
ア）n=3k (k=1, 2, 3, …)のとき，2
イ）n=3k+1, 3k+2 (k=1, 2, 3, …)のとき，(次の値から選んでください)

解説 やり直す

1 2 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ −1 −2 $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

ア）n=3k (k=1, 2, 3, …)のとき，
${\omega }^n=({\omega }^3{)}^k=1^k=1$
だから
${\omega }^n+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^n}}=1+1=2$
イ）i) n=3k+1 (k=1, 2, 3, …)のとき，
${\omega }^n={\omega }^{3k+1}=({\omega }^3{)}^k\times \omega =1^k\times \omega =\omega$
だから
${\omega }^n+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^n}}=\omega +{\displaystyle \frac{1}{\omega }}=\omega +{\displaystyle \frac{{\omega }^2}{{\omega }^3}}=\omega +{\omega }^2=-1$
　ii) n=3k+2 (k=1, 2, 3, …)のとき，
${\omega }^n={\omega }^{3k+2}=({\omega }^3{)}^k\times {\omega }^2=1^k\times {\omega }^2={\omega }^2$
だから
${\omega }^n+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^n}}={\omega }^2+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^2}}={\omega }^2+{\displaystyle \frac{\omega }{{\omega }^3}}={\omega }^2+\omega =-1$
したがって，
n=3k+1, 3k+2 (k=1, 2, 3, …)のとき，−1…（答）

(4)
${\displaystyle \frac{{\omega }^{10}}{{\omega }^{10}+1}}$
の値に等しいものを次の中から選んでください

解説 やり直す

1 −1 $\omega$ $-\omega$ ${\omega }^2$ $-{\omega }^2$

${\omega }^{10}=({\omega }^3{)}^3\times \omega =1^3\times \omega =\omega$
だから
${\displaystyle \frac{{\omega }^{10}}{{\omega }^{10}+1}}={\displaystyle \frac{\omega }{\omega +1}}$
ここで
${\omega }^2+\omega +1=0$
だから
$\omega +1=-{\omega }^2$
したがって
${\displaystyle \frac{\omega }{\omega +1}}={\displaystyle \frac{\omega }{-{\omega }^2}}=-{\displaystyle \frac{1}{\omega }}=-{\displaystyle \frac{{\omega }^2}{{\omega }^3}}=-{\omega }^2$ …（答）

(5)
${\displaystyle \frac{{\omega }^{11}}{{\omega }^{11}+1}}$
の値に等しいものを次の中から選んでください

解説 やり直す

1 −1 $\omega$ $-\omega$ ${\omega }^2$ $-{\omega }^2$

${\omega }^{11}=({\omega }^3{)}^3\times {\omega }^2=1^3\times {\omega }^2={\omega }^2$
だから
${\displaystyle \frac{{\omega }^{11}}{{\omega }^{11}+1}}={\displaystyle \frac{{\omega }^2}{{\omega }^2+1}}$
ここで
${\omega }^2+\omega +1=0$
だから
${\omega }^2+1=-\omega$
したがって
${\displaystyle \frac{{\omega }^2}{{\omega }^2+1}}={\displaystyle \frac{{\omega }^2}{-\omega }}=-\omega$ …（答）

(6)
nが正の整数のとき${\displaystyle \frac{{\omega }^n}{{\omega }^{2n}+1}}$の値は
ア）n=3k (k=1, 2, 3, …)のとき，${\displaystyle \frac{1}{2}}$
イ）n=3k+1, 3k+2 (k=1, 2, 3, …)のとき，(次の値から選んでください)

解説 やり直す

1 −1 $\omega$ $-\omega$ ${\omega }^2$ $-{\omega }^2$

ア）n=3k (k=1, 2, 3, …)のとき，
${\omega }^n=({\omega }^3{)}^k=1^k=1$
だから
${\displaystyle \frac{{\omega }^n}{{\omega }^{2n}+1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$
イ）i) n=3k+1 (k=1, 2, 3, …)のとき，
${\omega }^n={\omega }^{3k+1}=({\omega }^3{)}^k\times \omega =1^k\times \omega =\omega$
だから
${\displaystyle \frac{{\omega }^n}{{\omega }^{2n}+1}}={\displaystyle \frac{{\omega }^n}{({\omega }^n{)}^2+1}}={\displaystyle \frac{\omega }{{\omega }^2+1}}={\displaystyle \frac{\omega }{-\omega }}=-1$
　ii) n=3k+2 (k=1, 2, 3, …)のとき，
${\omega }^n={\omega }^{3k+2}=({\omega }^3{)}^k\times {\omega }^2=1^k\times {\omega }^2={\omega }^2$
だから
${\displaystyle \frac{{\omega }^n}{{\omega }^{2n}+1}}={\displaystyle \frac{{\omega }^n}{({\omega }^n{)}^2+1}}={\displaystyle \frac{{\omega }^2}{{\omega }^4+1}}={\displaystyle \frac{{\omega }^2}{\omega +1}}={\displaystyle \frac{{\omega }^2}{-{\omega }^2}}=-1$
したがって，
n=3k+1, 3k+2 (k=1, 2, 3, …)のとき，−1…（答）

すみません💦ω17+1/ω17-1=ってなんになりますか？ 分数になると分からなくなる、
＝＞［作者］：連絡ありがとう．当教材にある問題については，質問に答えますが，各自の宿題などについては原則として回答していません．
　そこで，尋ねられた問題に答えずに，尋ねられていない問題に答えて，各自の答は各自で考えてもらうことがあります．
の値を求めたい場合
そのページの用語で［特急券］を使うと，


次に，そのページの用語で［急行券］を使うと
より

問題1ー5のkは何故はずれるんですか？ωの6k乗は1の2k乗になるんじゃないですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「特急券」は使いましたか？ω3=1だからω3k=(13)k=1k=1, ω6k=(13)2k=12k=1だよね．他に何か言う必要ありますか？

非常にわかりやすい 練習問題があるのは高評価
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

最初に因数分解をすれば良いということが分かれた
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

教科書を学校に忘れて演習問題を解けずに困っていたのですが、これを見ながらだと演習問題を解くことができました！ 要点だけをまとめていて、とっても見やすかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．