【複素数の相等】
a, b, c, dは実数とするとき
a+bi=c+di ⇔ a=c, b=d
特に
a+bi=0 ⇔ a=b=0
※上記の式は，「複素数の実部と虚部がそれぞれ等しい」とき，「２つの複素数は等しい」といい，等号（＝）を使って表す，という定義を述べたものなので，この式に対する証明というものは考えない．

　　《難易度の目安》
教科書レベルの基本問題★
参考書などでよく出る問題★★
大学入試問題★★★

【例1】　★
　次の等式が成り立つように，実数a, bの値を定めてください．
(a+bi)(1−i)=1+5i

以下の問題において，見ているだけでは解説は出ません．採点すれば解説が読めます．

（解答）
両辺を実部と虚部に分けて比較する
2a+3ai+2bi+3bi2=1+8i
(2a−3b)+(3a+2b)i=1+5i
2a−3b=1
3a+2b=8
この連立方程式を解くと
a=2, b=1…（答）
（別解）方程式というよりは，単なる計算問題にする
\( \displaystyle a+ bi=\frac{1+ 8i}{2+ 3i}=\frac{(1+ 8i)(2-3i)}{2^2+ 3^2} \)
\( \displaystyle =\frac{2+ 16i-3i+ 24}{13}=\frac{26+ 13i}{13}=2+ i \)
a=2, b=1…（答）
→解答を隠す←

（解答）
（左辺）＝\( \displaystyle \frac{a}{1+ 2i}+\frac{b}{1-2i}=\frac{a(1-2i)}{(1-2i)(1+ 2i)}+\frac{b(1+ 2i)}{(1-2i)(1+ 2i)} \)
\( \displaystyle =\frac{a(1-2i)}{1-4i^2}+\frac{b(1+ 2i)}{1-4i^2}=\frac{a-2ai}{5}+\frac{b+ 2bi}{5} \)
\( \displaystyle =\frac{(a+ b)+ 2(-a+ b)i}{5} \)
両辺を実部と虚部に分けて比較すると
a+b=4
−a+b=0
a=2, b=2…（答）
→解答を隠す←

（解答）
a(4+4i+i2)+b(4−4i+i2)=6
a(4+4i−1)+b(4−4i−1)=6
a(3+4i)+b(3−4i)=6
(3a+3b)+(4a−4b)i=6
3(a+b)=6
4(a−b)=0
すなわち
a+b=2
a=b
この連立方程式を解くと
a=1, b=1…（答）
→解答を隠す←

【複素数の実数条件ほか】
　\( \displaystyle z \)を複素数，\( \displaystyle \bar{z} \)をその共役複素数とするとき
(1)　\( \displaystyle z \)が実数であるための必要十分条件は
\( \displaystyle z=\bar{z} \)
(2)　\( \displaystyle z \)が純虚数であるための必要十分条件は
\( \displaystyle z+\bar{z}=0 \)

【例2】　★
　次の式が実数となるように実数xの値を定めてください．
(x+2i)(1−i)

（解答）
\( \displaystyle \frac{4+ 2i}{a-i}=\frac{(4+ 2i)(a+ i)}{(a-i)(a+ i)} \)
\( \displaystyle =\frac{4a+ 2ai+ 4i+ 2i^2}{a^2-i^2}=\frac{(4a-2)+ (2a+ 4)i}{a^2+ 1} \)
この式が実数になるには
2a+4=0
a=−2…（答）
（別解）
この問題を，複素数の実数条件（z=z）を使って解くこともできるが，次のようにやや長い答案になる．
\( \displaystyle \frac{4+ 2i}{a-i}=\overline{\big(\frac{4+ 2i}{a-i}\big)} \)
複素数の実数条件で述べた(1)と(#3)の公式を使って，右辺を変形すると
\( \displaystyle \overline{\big(\frac{4+2i}{a-i}\big)}=\frac{\overline{4+ 2i}}{\overline{a-i}}=\frac{4-2i}{a+i} \)
したがって
\( \displaystyle \frac{4+ 2i}{a-i}=\frac{4-2i}{a+ i} \)
分母を払うと
\( \displaystyle (4+ 2i)(a+ i)=(4-2i)(a-i) \)
\( \displaystyle \cancel{4a}+ 2ai+ 4i+\cancel{2i^2}=\cancel{4a}-2ai-4i+\cancel{2i^2} \)
\( \displaystyle 4ai+8i=0 \)
\( \displaystyle 4(a+ 2)i=0 \)
a=−2…（答）
→解答を隠す←

（解答）
\( \displaystyle \frac{1+ i}{a+ i}=\frac{(1+ i)(a-i)}{(a+ i)(a-i)} \)
\( \displaystyle =\frac{a+ ai-i-i^2}{a^2-i^2}=\frac{(a+ 1)+ (a-1)i}{a^2+ 1} \)
この式が純虚数になるには
a+1=0
a=−1…（答）
（別解）
この問題を，複素数の純虚数条件（z+z=0）を使って解くこともできるが，次のようにやや長い答案になる．
\( \displaystyle \frac{1+ i}{a-i}+\overline{\big(\frac{1+ i}{a-i}\big)}=0 \)
複素数の実数条件で述べた(2)と(#3)の公式を使って，第２項を変形すると
\( \displaystyle \frac{1+ i}{a-i}+\frac{1-i}{a+ i}=0 \)
分母を払う
\( \displaystyle (1+ i)(a+ i)+ (1-i)(a-i)=0 \)
\( \displaystyle a+ i+ ai+ i^2 + a-i-ai+ i^2=0 \)
\( \displaystyle 2a+ 2=0 \)
a=−1…（答）
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（解答）
xを実数解とすると
(x2+ax+2)−(x2+x+2a)i=0
となるから，実部，虚部を分けると
x2+ax+2=0…(1)
x2+x+2a=0…(2)
(1)−(2)により必要条件を絞る
x2+ax+2=0
) x2+x+2a=0
(a−1)x+2(1−a)=0
(a−1)(x−2)=0
ア） a=1のとき，(1)(2)から
x2+x+2=0
この２次方程式は，判別式がD=1−8<0となって実数解をもたないから，a=1は不適当
イ） a≠1のとき，x=2を(1)(2)に代入すると
2a+6=0
a=−3…（答）
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【複素数の値の代入】
　「x=a+biのとき，cx4+dx3+···+ex+fの値を求めよ」という形の問題では，xの値を3次式，4次式などに直接代入して「体力仕事」「根性物語」で答を出すこともできますが，そのやり方は「美的でない」「計算が複雑で間違いやすい」などの事情があって，歓迎されません．（部分点となる場合でも低評価です）．
　この形の問題では，xが満たす２次方程式などを利用して，下の例3のように「商と余りに分けて」，次数の低い「余りに代入する」というのが，昔からある十八番おはこ問題です．

【例3】　★★
　\( \displaystyle x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \)のとき，\( \displaystyle x^3+ 4x^2-4x+ 5 \)の値を求めてください．

（解答）
\( \displaystyle x=1+\sqrt{2}i\leftrightarrow x-1=\sqrt{2}i\rightarrow (x-1)^2=(\sqrt{2}i)^2 \)
\( \displaystyle \leftrightarrow x^2-2x+ 1=-2\leftrightarrow x^2-2x+ 3=0 \)
\( \displaystyle x^3-x^2-x-1=(x^2-2x+ 3)(x+ 1)-2x-4 \)
\( \displaystyle =-2x-4=-2(1+\sqrt{2}i)-4=-6-2\sqrt{2}i \)…（答）
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（解答）
\( \displaystyle z=-\sqrt{5}+ i\leftrightarrow z+\sqrt{5}=i\rightarrow(z+ \sqrt{5})^2=i^2 \)
\( \displaystyle \leftrightarrow z^2+ 2\sqrt{5}z+ 5=-1\leftrightarrow z^2+ 2\sqrt{5}z+ 6=0 \)
次に
\( \displaystyle z^4+\sqrt{5}z^3+ z^2+ 4\sqrt{5}z \)
\( \displaystyle =(z^2+ 2\sqrt{5}z+ 6)(z^2-\sqrt{5}z+ 5)-30 \)
だから
\( \displaystyle z^4+\sqrt{5}z^3+ z^2+ 4\sqrt{5}z=-30 \)…（答）
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（解答）
\( \displaystyle \alpha=2-\sqrt{3}i \)のとき
\( \displaystyle \alpha-2=-\sqrt{3}i\rightarrow (\alpha-2)^2=(-\sqrt{3}i)^2 \)
\( \displaystyle \leftrightarrow \alpha^2-4\alpha+ 4=3i^2=-3 \)
\( \displaystyle \leftrightarrow \alpha^2-4\alpha+ 7=0 \)
このとき
\( \displaystyle \alpha^3\!-\!5\alpha^2\!+\! 13\alpha\!-\!6\!=\!(\alpha^2\!-\!4\alpha\!+\! 7)(\alpha\!-\!1)\!+\! 2\alpha\!+\! 1 \)
\( \displaystyle = 2\alpha+ 1=2(2-\sqrt{3}i)+ 1=5-2\sqrt{3}i \) …（答）
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