【虚数単位iの定義】
　x2=−1の１つの解を虚数単位といい、iで表します。
すなわち
i= …(1)
i2=−1 …(2)

(1)　−=−i
(2)　===i
(3)　===i
(4)　===2i
(5)　===i
(6)　\( \sqrt{-\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}\times (-1)}=\sqrt{\frac{2}{3}}\sqrt{-1}=\sqrt{\frac{2}{3}}i \)

※　負の数のルートについて，次のようなものは必ずしも等しいとはいえません．
※　次の変形規則が自由に使えるのは，a>0, b>0の場合であり，それ以外の場合は必ずしも成り立つとは限りません．
\( \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab},\hspace{10px}\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}} \)
（解説）
\( a\gt 0,\hspace{2px}b\gt 0 \)のとき
\( a\gt 0,\hspace{10px}b\gt 0 \)のとき

×=i×i=i2 =−
=
になります．

(1)
解説

5i −5i i −i ±i

負の数のルートを取り除いて代わりに正の数のルートと虚数単位iを付けます．
=i
※負の数のルート=iは，x2=−5の２つある解のうちの一方を表しており，両方を表している訳ではありません．もう一方は−=−iになります．

(2)
解説

9i −9i 3i −3i

負の数のルートを取り除いて代わりに正の数のルートと虚数単位iを付けます．
=i
正の数のルートについては，中学校以来の計算規則に従って計算します．
i=3i

(3)
解説

12i −12i ±2i 2i

負の数のルートを取り除いて代わりに正の数のルートと虚数単位iを付けます．
=i
正の数のルートについては，中学校以来の計算規則に従って計算します．
i=i=2i

(4) −
解説

18i −18i 3i −3i ±3i

負の数のルートの部分を虚数単位iで表し，他の部分はそのままにします．
−=−i
正の数のルートについては，中学校以来の計算規則に従って計算します．
−i=−i=−3i

(5)
解説

6i −6 ±6i 216i −216i

負の数のルートを「各々」虚数単位iで表します．（根号の中を先に計算してはいけません．）
=(i)(i)
正の数のルートについては，中学校以来の計算規則に従って計算します．
(2i)(3i)=6i2
虚数単位iの計算規則に従って虚数単位i2を−1に変えます．
6i2=−6

【複素数の定義】
　a+bi　（a , bは実数）の形の数を複素数といい、aを実部、bを虚部という。（２つの要素から成り立っている数･･･複素数）
　複素数のうちで、特にb=0のものを実数という。
例　5+0iすなわち5は実数
　これに対してb≠0のものを虚数という。
例　5−3iは虚数
　複素数のうちで、特にa=0のものを純虚数という。
例　0+3iすなわち3iは純虚数

【複素数の計算規則】
(1)虚数単位iを含んだ式の和差積商は，普通の文字式におけるaやxと同じように，係数をまとめて簡単にしたり，展開，約分など行うことができます．
それでは，虚数単位の定義はどうなったのかと心配になりますが，普通の文字とは次の点が異なります．

(2)虚数単位i2が登場したら−1に書き換えます．（登場するたびに書き換えてもよく，まとめて書き換えてもよい．）

(1+2i)+(3+4i)=4+6i
(1+2i)−(5+7i)=−4−5i
(1+2i)(1−3i)=1−i−6i2=1−i+6=7−i

分母がa+bi ⇒ 分母分子にa−biを掛ける．
分母がa−bi ⇒ 分母分子にa+biを掛ける．

===
と同様にして ===−i
（※iで割ることが符号を変えることと同じ結果になり，奇妙に見えますが，

i2=−1だから=−i

が成り立ちます．）

====−1+
と同様にして ===
（i2=−1に注意）

※一般には，分母を２乗にしても実数にはできません．分母を実数にするためには，分母a+biの虚部の符号が逆のa−bi（共役複素数）を掛けなければなりません．
=== ←× ==== ←○

※正確に言えば
のような分数は，複素数としてa+bi (a, bは実数)の形で「実部と虚部に分けて表す」と +i（a=, b=ということ） になりますが，「いつでも分けられる」ということが分かるので，最終形として は許容されます．

※これに対して， や のような式をそのまま放置しておいてはいけません．これらの式では，実部と虚部が分かりません．

(1) (1−3i)−(2−5i)
解説

−3+2i −1+2i −1−8i −3−8i

13+11i −13−11i

(1−3i)−(2−5i)=1−3i−2+5i=−1+2i

(2) (2+3i)(1−i)
解説

3+2i −1+5i 5+i 5−5i

普通の文字式と同様に展開します．
(2+3i)(1−i)=2−2i+3i−3i2
i2を−1に書き換えます．
2−2i+3i−3i2=2−2i+3i+3=5+i

(3) (1−i)2
解説

0 2i −2i 2−2i

普通の文字式と同様に展開します．
(1−i)2=1−2i+i2
i2を−1に書き換えます．
1−2i+i2=1−2i−1=−2i

(4) i3+i4+i5+i6
解説

0 2 4 2i 4i

i2ずつ束にします．
i2×i+i2×i2+i2×i2×i+i2×i2×i2
i2を−1に書き換えます．
(−1)×i+(−1)×(−1)+(−1)×(−1)×i+(−1)×(−1)×(−1)=−i+1+i−1=0

(5)
解説

1 2+3i 3+2i −2+3i −2−3i

分母分子にiを掛けます．
==
i2を−1に書き換えます．
=−2−3i

(6)

解説

2+4i 3+i 6+2i 6−2i

分母分子に1−iを掛けます．
==
i2を−1に書き換えます．
=3+i

【複素数の相等】
a, b, c, dが実数のとき

○　２つの複素数が等しいのは，実部も虚部も等しいときに限る．
a+bi=c+di ⇔ a=cかつb=d…(1)
○　特に，
a+bi=0 ⇔ a=0かつb=0…(2)

（※複素数の等式１つは，実部と虚部に分けた１組の連立方程式と同じ値打があるということです．）

(1)を使って，両辺の実部と虚部をそれぞれ比較すれば得られます．
ただし，(1)から(2)，(2)から(1)のどちらも導けますので，(2)でやってもかまいません．
たとえば，
x+3i=4+yi
⇔(x−4)+(3−y)i=0
⇔x−4=0かつ3−y=0
⇔x=4かつy=3
とすれば(2)で考えていることになります．

(1) x+4i=5+yi
解説

x=5, y=4 x=4, y=5 x=5, y=4i x=4i, y=5

実部の比較からx=5，虚部の比較からy=4となります．
（なお，yi=4iという答案をよく見かけますが，iを取り除いた形で答えるようにしましょう．）

(2) 3x+yi+(6−i)=0
解説

x=2, y=1 x=2, y=−1

x=−2, y=1 x=−2, y=−1

(3x+6)+(y−1)i=0⇔3x+6=0かつy−1=0
⇔x=−2かつy=1

(3) (−2+i)x+(3−i)y=−7+3i
解説

x=2, y=1 x=2, y=−1

x=−2, y=1 x=−2, y=−1

(−2x+3y)+(x−y)i=−7+3i
(A)+(B)×2
−2x+3y=−7
+)2x−2y=6
y=−1
(B)に代入:x=2

(4) (x+yi)(2−3i)=−7−9i
解説

x=1, y=3 x=1, y=−3

x=−1, y=3 x=−1, y=−3

2x−3xi+2yi−3yi2=−7−9i
(2x+3y)+(−3x+2y)i=−7−9i
(A)×2−(B)×3
4x+6y=−14
−)−9x+6y=−27
13x=13
x=1
(A)に代入:y=−3

【問題４】　（実係数方程式の虚数解）
　x=2−iが２次方程式x2+ax+b=0の解となるように実数a, bの値を定めてください．
（下の選択肢から選んでください.）
解説

a=4, b=5 a=4, b=−5

a=−4, b=5 a=−4, b=−5

慣れていないと難しい問題に見えますが，x=2−iが２次方程式x2+ax+b=0の解だから，代入すると成り立つはずです．
(2−i)2+a(2−i)+b=0
ここでa, bが実数だから，複素数の相等を使えば，係数比較の問題となります．
4−4i+i2+2a−ai+b=0
(3+2a+b)+(−a−4)i=0
(B)より
a=−4
(A)に代入:b=5

【問題５】　（実係数方程式の虚数解）
　x=1+iが３次方程式x3+ax+b=0の解となるように実数a, bの値を定めてください．
（下の選択肢から選んでください.）
解説

a=2, b=4 a=2, b=−4

a=−2, b=4 a=−2, b=−4

x=1+iが３次方程式x3+ax+b=0の解だから，代入すると成り立つはずです．
(1+i)3+a(1+i)+b=0
ここでa, bが実数だから，複素数の相等を使えば，係数比較の問題となります．
⇔1+3i+3i2+i3+a+ai+b=0
⇔1+3i−3−i+a+ai+b=0
⇔(−2+a+b)+(2+a)i=0
(B)より
a=−2
(A)に代入:b=4

【問題６】　（複素係数方程式の実数解）
　２次方程式x2+(a+2i)x−(4+8i)=0が実数解をもつように実数aの値を定めてください．
（下の選択肢から選んでください.）
解説

a=2 a=−2 a=3 a=−3 a=4 a=−4

実数a, xに対して，x2+(a+2i)x−(4+8i)=0が成り立つのだから，複素数の相等を使えば，係数比較の問題となります．
x2+ax+2xi−4−8i=0
⇔(x2+ax−4)+(2x−8)i=0
(B)より
x=4
(A)に代入:a=−3

「√{2×(−1)}=√2√−1」と「次の変形規則が自由に使えるのは，a>0, b>0の場合であり，それ以外の場合は必ずしも成り立つとは限りません√a√b=√ab」が少し気になりました 自由に使ってないのかもわかりませんが、a,bの少なくとも一方が正であれば良いような気がします 「√{2×(−1)}=√2√−1」が成り立つ根拠となるものはどこを見たら良いでしょうか 分数の方を計算してみると分母が鬼門なので、少なくともb>0であれば掛け算も分数も良さそうです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．注意深く読んでもらっているということがよくわかります．
ご質問の場合については，その通り少なくとも一方が正なら成り立ちます．東京図書の教科書には，
(1) a>0, b>0 (2) a>0, b<0 (3) a<0, b>0 (4) a<0, b<0 の各場合について
(A) \( \displaystyle \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} \)　 (B) \( \displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} \)
のどれが成り立つか一覧表を作りなさい．という問題が出ています．その問題は深く考えさせる良問だと思う．
私の教材で「次の変形規則が自由に使えるのは，a>0, b>0の場合であり，それ以外の場合は必ずしも成り立つとは限りません．」とは，成り立つ場合と成り立たない場合があるということです．いわゆる部分否定です．とりあえずにっこり笑って「安全に変形できる」のは，「両方とも正の場合」ということで，それ以外は正誤様々です．