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○座標平面から座標平面への写像で，点(x, y)の像(x', y')が，次のような定数項のない１次式で表されるものを１次変換といいます．
.

	x'=ax+by…(1)
	y'=cx+dy…(2)

.

　一般の写像においては，集合Aを集合Bとは異なる集合である場合もあります．
【例】　ベクトルの内積
(a, b)·(c, d)→ ac+bd
は平面上の２つの点から１つの実数への対応になっています．

【重要】
１次変換f, gを表す行列が各々A, Bであるとき，
合成変換g○fを表す行列は，行列の積BAになります．

【例１】
　１次変換f, gを表す行列が各々

	1	0
	2	−1

.,

	2	3
	1	−1

.
であるとき，合成変換g○f, f○g, f○fを表す行列を求めてください．

【問題１】
　１次変換f, gを表す行列が各々

	−1	1
	3	2

.,

	1	0
	−2	−1

.
であるとき，合成変換g○f, f○g, f○fを表す行列を求めてください．（下の選択肢から選んでください）

【問題２】
　

	x'=2x+y
	y'=−x+2y

.,

	x''=3x'
	y''=x'+2y'

.
のとき，x'', y''をx, yで表す式を求めてください．HELP

【問題３】
　a≠0またはb≠0のとき，行列

	a	−b
	b	a

.で表される１次変換
は，原点の周りの角θの回転を表す１次変換f
.f:

	x'
	y'

.=

	cosθ	−sinθ
	sinθ	cosθ

.

	x
	y

.
と原点を中心とする相似拡大（または縮小）を表す１次変換g
.f:

	x
	y

.=r

	1	0
	0	1

.

	x
	y

.=

	r	0
	0	r

.

	x
	y

.
の合成変換で表すことができます．
　次の行列で表される１次変換を回転と拡大の合成と見なしたとき，回転角0≦θ<2πと拡大比r>0は各々幾らになりますか．HELP
${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 1\end{array}\right)}$

【合成変換を表す記号】
　点の座標(x, y), (x', y')はその位置ベクトル→xw, →x'ww, →x''wwで表すことができるので，
.→xw=(x, y)
.→x'ww=(x', y')
.→x''ww=(x'', y'')
とおくと
各々の１次変換が
.→x'ww=f(→xw)…(1)
.→x''ww=g(→x'ww)…(2)
で表されるとき，(1)を(2)に代入すると
.→x''ww=g(f(→xw))
となりますが，このg(f(→xw))を
記号g○f(→xw) またはg○fで表します．

【逆変換】
○　１次変換fを表す行列がAであるとき，Aの逆行列A−1が存在すれば
.f:

	x'
	y'

.=A

	x
	y

.…(1)
の逆変換f−1は，逆行列A−1で表され
.f−1:

	x
	y

.=A−1

	x'
	y'

.…(2)
となります．

○　１次変換f, gを表す行列が各々A, Bで，A, Bの逆行列A−1, B−1が存在するとき，
　合成変換f○gの逆変換
.(f○g)−1=g−1○f−1は(AB)−1=B−1A−1…(3)
で表されます．
　合成変換g○fの逆変換
.(g○f)−1=f−1○g−1は(BA)−1=A−1B−1…(4)
で表されます．

○　１次変換fを表す行列がAで，Aの逆行列A−1が存在するとき，逆変換の逆変換は元の変換と等しくなり，その行列はAになります．
.(f−1)−1=f ⇔ (A−1)−1=A…(5)
○　また，逆変換（逆行列）が存在するとき，１次変換fとその逆変換f−1との合成変換は恒等変換I（行列で書けばE）になります．
.f−1○f=I , f○f−1=I ⇔ A−1A=E , AA−1=E…(6)

【例２】
　次の１次変換について，逆変換の式を求めてください． .

	x'
	y'

.=

	2	1
	5	3

.

	x
	y

.
　

（復習）【逆行列の求め方】
　行列A=

	a	b
	c	d

.について，その行列式D=ad−bcが0で
なければ，行列Aの逆行列A−1が存在し
　A−1=.1Dnn

	d	−b
	−c	a

.
が成り立ちます．

（参考）
【逆行列が存在する場合と存在しない場合の対応の違い】
○　行列A=

	a	b
	c	d

.の行列式
D=ad−bcが0でないとき，
行列Aは正則であるといい，座標平面上の点(x, y)から(x', y')への対応は１対１になります． したがって，平面上の任意の(x', y')に対して（全射だから）,元の(x, y)がただ一つ（単射だから）存在します．

○　行列A=

	a	b
	c	d

.の行列式
D=ad−bcが0であるとき，
行列Aは正則でないと言われ，座標平面上の点(x, y)から(x', y')への対応は１対１になりません． したがって，平面上のある(x', y')に対して，元の(x, y)が存在しないことがあります．（元が全射でないから）
　平面上のある(x', y')に対して，元の(x, y)が複数個存在することがあります．（元が単射でないから）

○　以上のように，１次変換Aによる像(x', y')から原像(x, y)への対応が座標平面上のすべての点(x', y')に対して定義できるのは逆行列が存在する場合に限ります．

【例３】
　１次変換f, gを表す行列が各々
.A=

	2	5
	−1	−2

., B=

	−2	−3
	3	5

.
であるとき，(f○g)−1を表す行列を求めてください．

　f○gを表す行列はABで，その逆変換(f○g)−1を表す行列は(AB)−1=B−1A−1になります．
　実際に求めるには，ABを計算してからその逆行列を求めても，B−1 , A−1をそれぞれ求めてからその積を求めても同じになります．

【問題４】
　次の１次変換の逆変換を表す式を求めてください． .

	x'
	y'

.=

	1	2
	3	4

.

	x
	y

.
HELP

【問題５】
　１次変換f, gを表す行列が各々
.A=

	2	5
	−1	−2

., B=

	−2	−5
	3	7

.
であるとき，(f−1○g)−1を表す行列を求めてください．
HELP