■回転移動の1次変換
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点(x,y)を原点の周りに角θだけ回転すると点(x’,y’)に移されるものすると, y’=xsinθ+ycosθ
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■説明1
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■説明2
まず,基本ベクトル 次に, =(cosθ,sinθ),=(-sinθ,cosθ) =(xcosθ-ysinθ,xsinθ+ycosθ) |
■説明3
他のページに次の記述があります。 ある1次変換によって,点(1,0)が(a,c)に点(0,1)が点(b,d)に移されるとき, 1次変換の行列は,=(1,0),=(0,1)が =(cosθ,sinθ),=(-sinθ,cosθ) に移されるのだから, 三角関数の加法定理との関係 x=rcosα,y=rsinα・・(1) x’=rcos(α+θ),y’=rsin(α+θ)・・(2)において 三角関数の加法定理 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ x’=r(cosαcosθ-sinαsinθ) =rcosαcosθ-rsinαsinθ =xcosθ-ysinθ y’=r(sinαcosθ+cosαsinθ) =rsinαcosθ+rcosαsinθ =ycosθ+xsinθ=xsinθ+ycosθ |
例題
1 原点のまわりに30°回転する1次変換の行列は, |
2
点(1,−√3)を原点のまわりに60°回転した点の座標は, |
原点のまわりに次の角度だけ回転することを表す1次変換の行列を求めなさい。(初めに角度を選び,次に行列を選びなさい。正しければ消えます。)
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次の点を原点のまわりに角度θだけ回転した点の座標を求めなさい。(初めに問題を選び,次に選択肢を選びなさい。正しければ消えます。)---計算用紙が必要です。
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■ 原点以外の点の周りの回転
(解説)点P(x, y)を点A(a, b)の周りに角θだけ回転した点を Q(x”, y”)とすると 原点の周りの回転移動の公式を使って,一般の点A(a, b)の周りの回転の公式を作ります. すなわち,右図のように,扇形APQと合同な図形を扇形OP’Q’として作り,次にQ’を平行移動してQを求めます. (1) はじめに,点A(a, b)を原点に移す平行移動により,点Pが移される点を求めると P(x, y) → P’(x−a, y−b) (2) 次に,原点の周りに点P’(x−a, y−b)を角θだけ回転すると (3) 求めた点Q’(x’, y’)を平行移動して元に戻すと |
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【例1】
(解答)点P(, 1)を点A(0, 2)の周りに30°だけ回転するとどのような点に移されますか. (1) 点A(0, 2)を原点に移す平行移動(x方向に0,y方向に−2)により, P(, 1) → P’(, −1) と移される. (2) P’(, −1)を原点の周りに30°だけ回転してできる点Q’(x’, y’)の座標は次の式で求められる (3) 最後に,点Q’(x’, y’)を逆向きに平行移動(x方向に0,y方向に2)すると Q’(2, 0) → Q(2, 2)…(答) |
【例2】
(解答)原点O(0, 0)を点A(3, 1)の周りに90°だけ回転するとどのような点に移されますか. (1) 点A(3, 1)を原点に移す平行移動(x方向に−3,y方向に−1)により, O(0, 0) → P’(−3, −1) と移される. (2) P’(−3, −1)を原点の周りに90°だけ回転してできる点Q’(x’, y’)の座標は次の式で求められる (3) 最後に,点Q’(x’, y’)を逆向きに平行移動(x方向に3,y方向に1)すると Q’(1, −3) → Q(4, −2)…(答) |
[問題3]次の各点の座標を求めてください.(正しいものを選んでください) (1) 点Pをx方向に−1,y方向に0だけ平行移動すると P(−1, 2) → P’(−2, 2) (2) 点P’を原点の周りに45°だけ回転すると P’(−2, 2) → Q’(−2, 0) (3) 点Q’をx方向に1,y方向に0だけ平行移動すると Q’(−2, 0) → Q(1−2, 0) |
(1) 点Pをx方向に−2,y方向に−2だけ平行移動すると P(4, 0) → P’(2, −2) (2) 点P’を原点の周りに60°だけ回転すると P’(2, −2) → Q’(4, 0) (3) 点Q’をx方向に2,y方向に2だけ平行移動すると Q’(4, 0) → Q(6, 2) |