2点とその像→変換式

→ 携帯版は別頁

■２点とその像→変換式

■２点とその像が与えられた場合，元の変換式を求めることができます。
例

で表される１次変換によって，
（－２，１）が（－５，４）に移されるとき，

・・(1) （１，２）が（５，３）に移されるとき，

・・(2) (1)(2)は次のようにまとめて書くことができます。

・・(3) (3)において，行列

の逆行列が存在するとき，両辺に右から

^-1　をかけると

一般に

によって，
点（ｘ，ｙ）が点（ｓ，ｔ）に移され，点（ｚ，ｗ）が点（ｕ，ｖ）に移されるとき，

が成立しますので，

が存在する限り，

がいえます。

※　逆行列がないときは，求められません。

特に
ある1次変換によって，点（１，０）が（ａ，ｃ）に点（０，１）が点（ｂ，ｄ）に移されるとき，

だから，１次変換の行列は，基本ベクトル（１，０），（０，１）の像を列ベクトルとする行列となります。

■ 例題１
点（２，－１）を点（１，０）に，点（１，２）を点（８，５）に移す1次変換の行列を求めなさい。
[答案例]

だから，

・・答

■例題２
点（1，0）を点（3，5）に，点（0，1）を点（4，-3）に移す1次変換の行列を求めなさい。
[答案例]

だから

・・答

［問題］--計算用紙が必要です。
１
点（１，１）を点（２，４）に，点（２，３）を点（２，５）に移す1次変換の行列を求めなさい。

解説
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ だから
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ $\Big($ $\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}$ $\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}$ $\Big)$ $=\Big($ $\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix}$ $\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}$ $\Big)$
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}^{-1}$ $=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 7 & -3 \end{pmatrix}$

２
点（１，０）を点（３，２）に，点（０，１）を点（１，－５）に移す1次変換の行列を求めなさい。

解説
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix}$ だから
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ $\Big($ $\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}$ $\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}$ $\Big)$ $=\Big($ $\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}$ $\begin{matrix} 1 \\ -5 \end{matrix}$ $\Big)$
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}$

３
点（１，－１）を点（１，１）に，点（０，１）を点（２，４）に移す1次変換の行列を求めなさい。

解説
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ だから
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ $\Big($ $\begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix}$ $\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}$ $\Big)$ $=\Big($ $\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}$ $\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix}$ $\Big)$
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}^{-1}$ $=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$

○===高卒～大学数学基礎メニューに戻る　 ●===メニューに戻る