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高校数学 >> 高校数学Ⅰ・Ａ >> 順列・組合せ

【二項定理】
(a+b)nの展開式におけるan−rbr (0≦r≦n)の係数は
nCr
になる．

【問題1】★☆☆
　(x+2y)6の展開式におけるx2y4の係数はである．

(x+2y)6の展開式におけるx2(2y)4の係数は6C4だから
x2y4の係数は24×6C4
$2^4\times {\displaystyle \frac{6!}{4!2!}}=240$･･･（答）
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【問題2】★☆☆
　(x−2y)6の展開式におけるx4y2の係数はウであり，x3y3の係数はエである．

(x−2y)6の展開式におけるx4(−2y)2の係数は6C2だから
x4y2の係数は(−2)2×6C2
$4\times {\displaystyle \frac{6!}{2!4!}}=60$ →ウ･･･（答）
x3(−2y)3の係数は6C3だから
x4y2の係数は(−2)3×6C3
$-8\times {\displaystyle \frac{6!}{3!3!}}=-160$→エ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題3】★☆☆
　${({\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{x}})}^{10}$ の展開式におけるx2の係数はアである．

　${({\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{x}})}^{10}$の展開式における ${\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}^{10-r}{(-{\displaystyle \frac{1}{x}})}^r$の係数は10Cr (0≦r≦10)だから
　${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{10-r}(-1{)}^r{x}^{10-2r}$ の係数は10Cr
　$x^{10-2r}$の係数は${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{10-r}(-1{)}^r{\times }_{10}{C}_r$
　10−2r=2すなわちr=4のとき
${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^6(-1{)}^4{\times }_{10}{C}_4={\displaystyle \frac{1}{64}}\times {\displaystyle \frac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2}}={\displaystyle \frac{105}{32}}$･･･（答） →解説を隠す←

【問題4】★☆☆
　${\left({\displaystyle \frac{x^3+3}{x}}\right)}^6$を展開したとき，定数項は 3456である．

${(x^2+{\displaystyle \frac{3}{x}})}^6$を展開したとき，
　$(x^2{)}^{6-r}{\left({\displaystyle \frac{3}{x}}\right)}^r$ の係数は6Cr (0≦r≦6)
すなわち，$3^r\times x^{12-3r}$ の係数は6Cr
すなわち，$x^{12-3r}$の係数は$3^r\times {}_6{C}_r$
　定数項となるのは，12−3r=0すなわちr=4のとき
　このとき，係数は$3^4{\times }_6{C}_4=1215$･･･（答）
→解説を隠す←

【問題5】★★☆
　(x+1)8(x−1)4を展開したとき，x10の係数はウである．

ア）
(x−1)4を展開したとき，x4の係数は1
(x+1)8を展開したとき，x6の係数は8C2
x4×x6の係数は1×8C2=28
イ）
(x−1)4を展開したとき，x3の係数は(−1)×4C1
(x+1)8を展開したとき，x7の係数は8C1
x3×x7の係数は(−1)×4C1×8C1=−32
ウ）
(x−1)4を展開したとき，x2の係数は(−1)2×4C2
(x+1)8を展開したとき，x8の係数は8C0
x2×x8の係数は(−1)2×4C2×8C0=6
　　x10となる組合せは以上の3通り
　　28−32+6=2･･･（答） →解説を隠す←

【多項定理】
(a+b+c)nの展開式におけるapbqcrの係数は
${\displaystyle \frac{n!}{p!q!r!}}$
になる．（ただし，p+q+r=n, 0≦p, q, r≦n）

【問題6】★☆☆
(x+2y+3z)6を展開したとき，xy2z3の係数はである．

(x+2y+3z)6を展開したとき，x(2y)2(3z)3の係数は
${\displaystyle \frac{6!}{1!2!3!}}$
すなわち，xy2z3の係数は
$2^2\times 3^3\times {\displaystyle \frac{6!}{1!2!3!}}=6480$･･･（答）
→解説を隠す←

【問題7】★☆☆
　(x2−2x+3)5の展開式におけるxの係数はウであり，x3の係数はエであ．

　(x2−2x+3)5の展開式における(x2)p(−2x)q3rの係数は
${\displaystyle \frac{5!}{p!q!r!}}$
（ただし，p+q+r=5, 0≦p, q, r≦5）
　すなわち，x2p+q(−2)q3rの係数は
${\displaystyle \frac{5!}{p!q!r!}}$
　すなわち，x2p+qの係数は
$(-2{)}^q\times 3^r{\displaystyle \frac{5!}{p!q!r!}}$
　ここで，2p+q=1, p+q+r=5, 0≦p, q, r≦5となるのは，p=0, q=1, r=4の場合だけだから,係数は
$(-2{)}^1\times 3^4{\displaystyle \frac{5!}{0!1!4!}}=-810$→ウ･･･（答）
また，2p+q=3, p+q+r=5, 0≦p, q, r≦5となるのは， ア） p=0, q=3, r=2の場合から,係数は
$(-2{)}^3\times 3^2{\displaystyle \frac{5!}{0!2!3!}}=-720$
イ） p=1, q=1, r=3の場合から,係数は
$(-2{)}^1\times 3^3{\displaystyle \frac{5!}{1!1!3!}}=-1080$
　合計で，−1800→エ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題8】★☆☆
　(1+x+x2)5を展開したときのx6の係数はサである．

(1+x+x2)5の展開式における1pxq(x2)rの係数は
${\displaystyle \frac{5!}{p!q!r!}}$
（ただし，p+q+r=5, 0≦p, q, r≦5）
　すなわち，xq+2rの係数は
${\displaystyle \frac{5!}{p!q!r!}}$
　ここで，q+2r=6, p+q+r=5, 0≦p, q, r≦5となるのは
ア） r=0のときq=0となって適さない
イ） r=1のときq=4, p=0 ${\displaystyle \frac{5!}{p!q!r!}}=5$
ウ） r=2のときq=2, p=1 ${\displaystyle \frac{5!}{p!q!r!}}=30$
エ） r=3のときq=0, p=2 ${\displaystyle \frac{5!}{p!q!r!}}=10$
オ） r≧4のときq<0となって適さない
以上から，45･･･（答） →解説を隠す←

【問題9】★☆☆
　${(x^2+{\displaystyle \frac{2}{x}}+1)}^6$を展開したとき，xを含まない項はである．

　${(x^2+{\displaystyle \frac{2}{x}}+1)}^6$を展開したとき，$(x^2{)}^p{\left({\displaystyle \frac{2}{x}}\right)}^q{1}^r$の係数は
${\displaystyle \frac{6!}{p!q!r!}}$
（ただし，p+q+r=6, 0≦p, q, r≦6）
　すなわち，$x^{2p-q}\times 2^q$の係数は
${\displaystyle \frac{6!}{p!q!r!}}$
　すなわち，$x^{2p-q}$の係数は
$2^q\times {\displaystyle \frac{6!}{p!q!r!}}$
　ここで，xを含まない項となるのは，2p−q=0となるとき

ア） p=0のとき，q=0, r=6
$2^q\times {\displaystyle \frac{6!}{p!q!r!}}=1$
イ） p=1のとき，q=2, r=3
$2^q\times {\displaystyle \frac{6!}{p!q!r!}}=240$
ウ） p=2のとき，q=4, r=0
$2^q\times {\displaystyle \frac{6!}{p!q!r!}}=240$
エ） p≧3のとき，q=2p≧6となって，解なし
以上から，481･･･（答） →解説を隠す←

【二項係数の性質】
(1)${}_n{C}_0+{}_n{C}_1+{}_n{C}_2+\cdots +{}_n{C}_n=2^n$
(2)${}_n{C}_0+{}_n{C}_2+{}_n{C}_4+\cdots ={}_n{C}_1+{}_n{C}_3+{}_n{C}_5+\cdots =2^{n-1}$
(3)${}_n{C}_1+2_n{C}_2+3_n{C}_3+\cdots +n{}_n{C}_n=n{2}^{n-1}$
(4)${}_n{C}_0+{\displaystyle \frac{1}{2}}{}_n{C}_1+{\displaystyle \frac{1}{3}}{}_n{C}_2+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n+1}}{}_n{C}_n={\displaystyle \frac{2^{n+1}-1}{n+1}}$
(5)${{}_n{C}_0}^2+{{}_n{C}_1}^2+{{}_n{C}_2}^2+\cdots +{{}_n{C}_n}^2={\displaystyle \frac{(2n)!}{n!n!}}$

【問題10】★★☆
　nは正整数とする．等式
${}_n{C}_0+{}_n{C}_{1}x+{}_n{C}_2{x}^2+\cdots +{}_n{C}_n{x}^n=(1+x{)}^n$を用いて，次の等式が成り立つことを示せ．
(1)${}_n{C}_0-{}_n{C}_1+{}_n{C}_2-\cdots +(-1{)}^n{}_n{C}_n=0$
(2)${}_n{C}_1+2\cdot {}_n{C}_2+3\cdot {}_n{C}_3+\cdots +n\cdot {}_n{C}_n=n\cdot 2^{n-1}$
(3)
${}_n{C}_0+2\cdot {}_n{C}_1+3\cdot {}_n{C}_2+\cdots +(n+1)\cdot {}_n{C}_n=(n+2)\cdot 2^{n-1}$

(1)
与えられた等式
${}_n{C}_0+{}_n{C}_{1}x+{}_n{C}_2{x}^2+\cdots +{}_n{C}_n{x}^n=(1+x{)}^n$にx=−1を代入する．
${}_n{C}_0-{}_n{C}_1+{}_n{C}_2-\cdots +(-1{)}^n{}_n{C}_n=0$･･･■証明終■
(2)
与えられた等式の両辺をxで微分すると
${}_n{C}_1+2{}_n{C}_{2}x+\cdots +n{}_n{C}_n{x}^{n-1}=n(1+x{)}^{n-1}$
（なお,右辺の微分は合成関数の微分法による）
できた式の両辺にx=1を代入すると
${}_n{C}_1+2\cdot {}_n{C}_2+3\cdot {}_n{C}_3+\cdots +n\cdot {}_n{C}_n=n\cdot 2^{n-1}$
･･･■証明終■
(3)
与えられた等式の両辺にxを掛けると
${}_n{C}_{0}x+{}_n{C}_1{x}^2+{}_n{C}_2{x}^3+\cdots +{}_n{C}_n{x}^{n+1}=x(1+x{)}^n$
両辺をxで微分すると
${}_n{C}_0+2{}_n{C}_{1}x+3{}_n{C}_2{x}^2+\cdots +(n+1){}_n{C}_n{x}^n$
$=(1+x{)}^n+x\cdot n(1+x{)}^{n-1}=(1+x{)}^{n-1}(1+x+nx)$
$=(1+x{)}^{n-1}\{1+(n+1)x\}$
できた式の両辺にx=1を代入すると
${}_n{C}_0+2\cdot {}_n{C}_1+3\cdot {}_n{C}_2+\cdots +(n+1)\cdot {}_n{C}_n=(n+2)\cdot 2^{n-1}$
･･･■証明終■
→解説を隠す←

【問題12】★★☆
　自然数nに対して${\displaystyle \sum _{r=0}^n{}_n{C}_r=}$101n
${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}r{}_n{C}_r=}$n102n−103
${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}r(r+1){}_n{C}_r=}$n(n+104)105n−106
となる．${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}r(r+1){}_n{C}_r\geqq 10000}$となる最小のnは108107である．

$f(x)={}_n{C}_0+{}_n{C}_{1}x+{}_n{C}_2{x}^2+\cdots +{}_n{C}_n{x}^n=(1+x{)}^n$にx=1を代入すると
${\displaystyle \sum _{r=0}^n{}_n{C}_r=2^n}$ →101･･･（答）
$f^{\prime }(x)={}_n{C}_1+2{}_n{C}_{2}x+\cdots +n{}_n{C}_n{x}^{n-1}=n(1+x{)}^{n-1}$にx=1を代入すると
${}_n{C}_1+2{}_n{C}_2+\cdots +n{}_n{C}_n=n\cdot 2^{n-1}$
すなわち
${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}r{}_n{C}_r=n\cdot 2^{n-1}}$ →102103
g(x)=xf(x)とおく，すなわち
$g(x)={}_n{C}_{0}x+{}_n{C}_1{x}^2+{}_n{C}_2{x}^3+\cdots +{}_n{C}_n{x}^{n+1}$
$=x(1+x{)}^n$
両辺をxで微分すると
g'(x)
$={}_n{C}_0+2{}_n{C}_{1}x+3{}_n{C}_2{x}^2+\cdots +(n+1){}_n{C}_n{x}^n$
$=(1+x{)}^n+x\cdot n(1+x{)}^{n-1}$
$=(1+x{)}^{n-1}\{1+x+nx\}$
$=(1+x{)}^{n-1}\{1+(n+1)x\}$
さらに両辺をxで微分すると
g"(x)
$=2\cdot 1{}_n{C}_1+3\cdot 2{}_n{C}_{2}x+\cdots +(n+1)n{}_n{C}_n{x}^{n-1}$
$=(n-1)(1+x{)}^{n-2}\{1+(n+1)x\}+(1+x{)}^{n-1}(n+1)$
$=(1+x{)}^{n-2}\{(n-1)+(n^2-1)x+n+1+(n+1)x\}$
$=(1+x{)}^{n-2}\{2n+n(n+1)x\}$
x=1を代入すると
$2\cdot 1{}_n{C}_1+3\cdot 2{}_n{C}_2+\cdots +(n+1)n{}_n{C}_n$
$=2^{n-2}\{2n+n(n+1)\}$
$=2^{n-2}(n^2+3n)$
$=n(n+3)2^{n-2}$ →104105106･･･（答）
n=8のとき$n(n+3)2^{n-2}=5632$
n=9のとき$n(n+3)2^{n-2}=13826$
だから，n=09→107108･･･（答）
→解説を隠す←

【問題11】★★☆
　以下の計算をせよ．
(ⅰ)${\displaystyle \sum _{k=0}^8{}_8{C}_k=}$ オカキ
(ⅱ)${\displaystyle \sum _{k=0}^8(-1{)}^k{}_8{C}_k+\sum _{k=0}^8{}_8{C}_k=}$クケコ

(ⅰ)
${}_n{C}_0+{}_n{C}_{1}x+{}_n{C}_2{x}^2+\cdots +{}_n{C}_n{x}^n=(1+x{)}^n$にx=1, n=8を代入すると
${}_8{C}_0+{}_8{C}_1+{}_8{C}_2+\cdots +{}_8{C}_8=2^8=256$･･･（答）
(ⅱ)
${}_n{C}_0+{}_n{C}_{1}x+{}_n{C}_2{x}^2+\cdots +{}_n{C}_n{x}^n=(1+x{)}^n$にx=−1, n=8を代入すると
${\displaystyle \sum _{k=0}^8(-1{)}^k{}_8{C}_k=(1-1{)}^8=0}$
${}_n{C}_0+{}_n{C}_{1}x+{}_n{C}_2{x}^2+\cdots +{}_n{C}_n{x}^n=(1+x{)}^n$ にx=1, n=8を代入すると
${\displaystyle \sum _{k=0}^8{}_8{C}_k=2^8}$
これらを加えると，256･･･（答） →解説を隠す←

【問題13】★★☆
　nは自然数で，a>0, b>0とするとき，次の不等式(1),(2)を証明せよ．
(1)$(1+a{)}^n\geqq 1+na$
(2)$(1+b{)}^{\frac{1}{n}}\leqq 1+{\displaystyle \frac{b}{n}}$

(1)
二項定理を用いて展開すると
$(1+a{)}^n={}_n{C}_0+{}_n{C}_{1}a+{}_n{C}_2{a}^2+{}_n{C}_3{a}^3+\cdots +{}_n{C}_n{a}^n$
ここで，a>0だから，右辺の第３項以下はすべて正の数になる
$(1+a{)}^n\geqq 1+na$
（等号はn=1のとき．n>1のときは，不等号が成立する）
(2)
(1)の結果において，$a={\displaystyle \frac{b}{n}}(>0)$を代入すると
$(1+{\displaystyle \frac{b}{n}}{)}^n\geqq 1+n{\displaystyle \frac{b}{n}}=1+b$
両辺のｎ乗根をとると
$1+{\displaystyle \frac{b}{n}}\geqq (1+b{)}^{\frac{1}{n}}$
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