== 番号札のもらい方 ==

《解説》

■例1　「同質の赤玉３個，青玉２個を一列に並べる方法は何通りあるか」という問題を組合せで考えてみます.
　右上の図のような並べ方は，「並べた玉を動かす」という考え方以外に，「受付で番号札をもらう」という考え方でもできます.
　赤組は玉を３個並べるので，受付で番号札を３枚もらいます.青組は番号札を２枚もらいます.番号札には，座席が書かれていて，1番の番号札をもらえば1番のところに並べる，2番の番号札をもらえば2番のところに並べる・・・というように決めます.

　下の図は，赤組が１，３，４の番号札，青組が２，５の番号札をもらったようすを表しています.このとき，玉の並べ方はちょうど上の図のようになります.


　結局，同質の赤球３個，青玉２個を一列に並べる方法は，1から５までの番号札のうち赤が行き先の番号札３枚をもらえば決まります.（青の行き先は残り２か所で，これは赤が決まれば自動的に決まります.）
　だから5Ｃ3＝10通りです.・・・（答）

　青の行き先を先に決めても同じことになります：1から5までの番号札から青の行き先の番号札２枚をもらう方法は
５Ｃ２＝10通りです.
（このとき赤の行き先は，残りの３か所です.）
 
　このように，「並べ方の問題」なのに「組合せ」で解けるのは，番号札の組合せが並べ方を表しているからです.

■例２　「同質の赤球３個，青玉２個，黒玉２個を一列に並べる方法は何通りありますか」
　右の図は，1から7までの番号札のうち，赤組が５，３，４を，青組が２，６を，黒組が７，１をもらったようすを表しています.このときの並べ方は，下の図のようになります.

　このように考えると，問題の並べ方は，1から７の７枚の番号札のうち，赤の行き先を３枚、残りから青の行き先を２枚，（その残りは黒の行き先）というように番号札をもらう方法に等しいので，
7Ｃ3・4Ｃ2・2Ｃ2＝210通り・・・（答）
（2Ｃ2は1です.書いても書かなくてもよろしい.）
●●●●●●●
■例３　「10円硬貨を6回投げるとき，表が３回出るのは何通りありますか」
　右の図において，一番上の図は，1から6の番号札のうち表組が１，２，３の３枚の番号札をもらった場合を表しています.
・・・・・・・
　一番下の図は，表組が４，５，６の３枚の番号札をもらった場合を表しています.

1から6までの6枚の番号札のうち，表の行き先の番号札３枚をもらう方法は
6Ｃ3＝20通り・・・（答）
で1通り，
で1通り，
で1通り，
で1通り，
・・・・・・・・
・・・・・・・・
で1通り，
のように数えます.
■例4　「右図のような街路があるとき，Ａ地点からＢ地点へ最短経路で行く方法は何通りありますか」
　同じものがあるときの順列で考える方法もありますが，組合せでは次のように考えることができます.

　下の図で，北へ進むことをｎで，東へ進むことをeで表すと，青色の順路はnneenee，茶色の順路はｅｎｅｅｎｅｎとなります.

　どの順路もｎが３個，ｅが４個あります.青色の順路はｎが１，２，５の番号札をもらった場合に対応します.茶色の順路は，ｎが２，５，７の番号札をもらった場合に対応します.
　このように，1から7番のうちでｎの現れる番号を３枚もらえば順路が決まります.
　7Ｃ3＝35通り・・・（答）

《問題》
選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます．暗算では無理ですから計算用紙で計算してから答えてください．
≪1≫
　ａが４個，ｂが３個あるとき，これらを並べ替えてできる順列の総数を求めなさい.


≪2≫
　白玉2個，赤玉３個，青玉１個を一列に並べる方法は何通りありますか.


≪3≫
　10円硬貨を10回投げるとき，表が４回出る場合は何通りありますか.


≪4≫
　５枚の硬貨を投げるとき，2枚以上表が出る場合は何通りありますか.



≪5≫
　右図のような街路があるとき，Ａ地点からＢ地点へ行く最短経路は何通りありますか.


≪6≫
　赤玉４個，白玉３個を白玉同士が隣り合わないように一列に並べる方法は何通りありますか.


≪7≫
　赤玉４個，白玉３個，青玉２個の合計９個の玉を一列に並べるとき，青玉が隣り合う並べ方は何通りありますか.


≪8≫
　ａ，ａ，ａ，ｂ，ｂ，ｃの６文字のカードを机の上に円形に並べる方法は何通りありますか.


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■［個別の頁からの質問に対する回答］[番号札のもらい方について／18.10.2］
組み合わせの番号札のもらい方《6》で、赤玉の並べる方法を考慮して5！をかけないのですか？ 根本的に私が間違ってしまっていたらすみません。 お時間あるときに解説よろしくお願いします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．このページで「赤玉４個，白玉３個」というとき，各々同質で区別ができないものを扱っています．つまり，この問題は同じものがあるときの順列の総数の問題です．
○あなたの弱点⇒とにかく計算しようとしていますが，その計算のもとになっている根拠を確かめていません．
○順列，組合せの問題で「考え方」が正しいかどうかを確かめるには⇒数字を少なくし，単純化して具体例で調べるとよい．
例えば「赤玉2個，白玉2個を1列に並べるとき，白玉が隣り合わない（赤玉は隣り合ってもよい）並べ方は？」
［正しい考え方］
赤玉を並べておき，その両側を含む3つの隙間に白玉を並べる：
(1)●(2)●(3)
の3個の番号札の内で，白の入る座席の番号を２つとってくる方法は 3C2=3…（答）
（実際，〇●〇●，〇●●〇，●〇●〇の3通りが答えになる）
［あなたの間違った考え方］
(1)●(2)●(3)
(1)●(3)●(2)
(2)●(1)●(3)
(2)●(3)●(1)
(3)●(1)●(2)
(3)●(2)●(1)
のように，白玉を区別して並べかえている．それも白が3個あるとしている．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[番号札のもらい方について／17.6.28］
今日、初めてこのサイトを使いましたがとても気に入りました。 さくさくゲーム感覚で問題を解いていけるのはとても楽しいです。 希望としてはチャレンジ問題のような発展問題が最後に1問ほどあると良かったと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．サブメニューの章末問題などをやってみるとよいでしょう．
少しだけ難しい問題が作れればよいのですが，さじ加減を少しでも間違うと予期しない展開になることがあり，その頁で扱った方がよいかどうか判断が難しい場合が多いです．･･･たとえば，きまじめで努力型の人の場合，99問正しくて，１問だけ間違った場合に，その１問のミスのために気分が真っ暗になってしまうことがあるようです．99%楽しいことがあったのに，たった1%の暗い出来事で頭が一杯になってしまうということです．さじ加減が効き過ぎた場合，解答を見てもなぜそれが解答なのかもわからないことになり，何度も質問が来て対応しきれないといった展開になることもあります．
これとは逆に，100万人に１人だけが宝くじに当たるような話，すなわち真っ暗な暗闇の中で，たった１つの星の明かりだけでも救われたと感じる人もいます．
人それぞれですので，悲観的な人でも楽観的な人でも無難にこなせるようにしようとは考えていますが．
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